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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-10


浙江省 2013 年高考模拟试卷 数 学(文科)

本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用 笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项:
参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A , B 相互独立,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?
V ? Sh 棱柱的体积公式 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱 的高 其中

棱锥的体积公式

1 Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 V?
V? 1 h 1 ? S 3

在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好
k 发生 k 次的概率是 Cn pk ?1 ? k ? n ?k

棱台的体积公式

?

1

S S? S 2 2

?



其中 S1, S2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h 表示棱台的高球的表面积公式 S ? 4? R 2

其中 p 表示在一次试验中事件 A 发生的概率 4 球的体积公式 V ? ? R3 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每题所给的四个选项中,只有一个是正 确的) 1. 【原创】 .设集合 U ? {x ? N | 0 ? x ? 8} , S ? {1, 2, 4,5} ,T ? {3,5, 7} ,则右图韦恩 图中阴影部分表示的集合为( )

A {1, 2, 4}
m]

B {1, 2,3, 4,5, 7}

C {1, 2}

D {1, 2, 4,5, 6,8}

S

T

U (命题意图:考查函数定义域、值域、集合运算) 2. 【原创】已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z ? (a ? 2i)(1? i) 在复平面内对应的点为 M,则“ a ?

1 ”是“点 M 在第四象限”的( 2

) B 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件

A 充分而不必要条件 C 充要条件

(命题意 图:考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件)

?2 x ? y ? 4 ? 3. 【原创】设 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x+y: ?x ? 2 y ? 2 ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 (命题意图:考查线性规划)

(

)

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

4.[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时,发现号码的最 后一个数字被撕掉了,于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字,且用过了的数字不再重复. 则拨号不超过 3 次而拨对甲的手机号码的概率是( ). (A)

3 10

(B)

2 10

(C)

1 10

(D)

1 3

(命题意图:考查古典概型的计算)

5. 【改编教材必修 4】 为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? 只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 ( ) ? 的图像, 3?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
②若 l //? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ④若 l ? ? , 且 l ? ? , 则 ? ? ? ; )

(命题意图:诱导公式及函数图象的平移) 6.[原创] 已知: m, l 是直线, ? , ? 是平面,给出下列四个命题: ①若 l 垂直于 ? 内的无数条直线,则 l ? ? ; ③若 m ? ? , l ? ? , 且 l ? m, 则 ? ? ? ;

⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? // ? , 则 m// l 。其中正确命题的个数是( (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (命题意图:考查空间位置关系) 7.[原创] 的是( )
2 2 C. x1 ? x2 D. x1 ? x2

函数 f ( x) ? x sin x , x ? [?

? ?

, ], 若f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列不等式一定成立 2 2

2 2 A. x1 ? x2 ? 0 B. x1 ? x2

(命题意图:考查函数奇偶性、单调性、三角函数)
2 2 8. 【2010 年福建高考题改编】已知双曲线 x ? y 2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 , 2 b

其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 ? PF2 =( A. -12 B. -2 C. (命题意图:考查双曲线的性质、向量的数量积) 9. 【原创】在等差数列 ?an ? 中,若 小正值时, n ? ( ) A.18 B.19 0 D. 4

)

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 S n 有最小值,那么当 S n 取得最 a10
C.20 D.21

(命题意图:考查等差数列的概念、性质) 10. 【改编】 曲线 x2+y2-ay=0 与 ax2+bxy+x=0 有且只有 3 个不同的公共点,那么必有 ( 4 4 A.(a +4ab+4)(ab+1)=0 B.(a -4ab-4)(ab+1)=0 4 C.(a +4ab+4)(ab-1)=0 D.(a4-4ab-4)(ab-1)=0 (命题意图:考查直线与圆、创新思维) )

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11 . 由 2012 浙 江 省 高 考 考 试 说 明 样 卷 改 编 】 已 知 【

? 3 s i n ( ? x) ? ,则 sin2 x 的值为 4 5



(命题意图:考查同角三角函数关系、两倍角关系、两角和与 差)

1

3
正视图

2 侧视图

1 1

3

12. 【原创】设 a ? (2, 4), b ? (1,1) ,若 b ? ( a ? mb ) ,则实数 m ? ________。 (命题意图:考查向量的坐标运算) (13 题) 13. 【改编】 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 . (命题意图:考查三视图、几何体积) 14. 【改编由 2013 浙江省高考考试说明样卷第 5 题】如下左图是某学校举行十佳歌手比赛, 七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数是 ,方差是 .
i ? 0, x ? 1, y ? 1
开始

?

?

?

?

?

(命题意图:考查平均数、方差的计算) 15. 【改编】 (命题意图:考查) 某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是 _____________________

i ? 3?




x? x? y
输出 x ? y

7 8 9
(14 题)

5 3 4 5 6 1

7
7 7

y? x? y
i ?i ?1
(15 题)

结束

| x ?1| 16.若函数 f ( x ) ? log t 在区间(-2,-1)上恒有 f ( x) ? 0, ,则关于 t 的不等式

f (8t ? 1) ? f (1) 的解集为____________
(命题意图:考查对数函数、指数函数、不等式) 17. 【2011 徐州高三第三次质量检测】 如 图 , 在 △ ABC 和 △ AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB=EF=1 , CA=CB=2 , 若 ???? ???? ???? ???? ? ??? ??? ? A B? A E? A C A F 2 ,则 EF 与 BC 的夹角等于__________________。 ? ? (命题意图:向量的运算

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 【根据 2011 年全国高考山东卷改编】 (本题满分 14 分) cos B b 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. (命题意图:考查正弦定理的运用、三角函数的性质)

19. 【2012 浙江省高考 19 改编】 (本题满分 14 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn , an , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
2 (Ⅱ)若 an ? 2 ? bn

1 成等差数列. 2

,设 cn ?

bn 求数列 {cn } 的前项和 Tn . an

(命题意图:考查数列的性质和应用)

20. 【2009 浙江省高考卷 17 改编】 (本题满分 14 分) 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=2, AD=1, 为 CD 的中点, ?ADE 沿 AE 折起, E 将 使平面 ADE ? 平面 ABCE,得到几何体 D ? ABCE . (1)求证: BE ? 平面 ADE ; (2)求 BD 和平面 CDE 所成的角的 D 正弦值. D E C E

C

A

B (第 20 题图)

A

B

(命题意图:考查立体几何中的位置关系、空间角的计算)

(21). 【2009 年浙江省高卷 22 题改编】 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g( x) ? xe1?x .(a ?R, e为自然对数的底数) (I)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间; 时 (II)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , 在? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2) ,使得

f ( xi ) ? g( x0 )成立, 求a 的取值范围。
(命题意图:考查函数、导数、不等式的应用及分类讨论问题。 ) 22. 【选自 2012 届嘉兴二检】 (本题满分 15 分) 已知抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的准线方程为 y ? ?1 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设 F 是抛物线的焦点,直线 l : y ? kx ? b (k ? 0) 与抛物线交于 A, B 两点,记直线

AF, BF 的斜率之和为 m .求常数 m ,使得对于任意的实数 k(k ? 0) ,直线 l 恒过定点,并求
出该定点的坐标.

(命题意图:考查求曲线的轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置 备注: 1..原题(必修 1 第十二页习题 1.1B 组第一题)已知集合 A={1,2},集合 B 满足 A∪B={1, 2},则这样的集合 B 有 个 14.原题(2013 浙江省高考考试说明样卷第 5 题)在某学 校组织的校十佳歌手评选活动中,八位评委为某学生的 演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高 分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为 A.86,3 B.86, 7 8 9 9 4 2
(第 5 题图)

4

5

7

8

8

5 3

C.85,3

D.85,

5 3

2 19.原题(2012 浙江省高考考试 19 题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n

∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
20.原题(2009 浙江省高考考试 17 题)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端点除外)上一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面 ABC .在平面 ABD 内过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 .

21.原题(2009 浙江省高考考试 22 题)已知函数 f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ?1)x2 ? 5x ? 2 ,

g( x) ? k 2 x2 ? kx ?1, 其中 k ? R . (I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 k 的取值范围; ...
(II)设函数 q ( x ) ? ?

? g ( x), x ? 0, ? f ( x), x ? 0.

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一

的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存 在,请说明理由.

浙江省 2013 年高考模拟试卷 数学(文科)答题卷

一.选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每题所给的四个选项中,只有一个是正确 的) 题号 答案 二. 填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 15. ;12. 16. ;13. 17. ; 14 . ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题:本大题共 6 小题,共 72 分。解答应定出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、 (本题满分 14 分) cos B b 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

19、 (本题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn , an , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
2 (Ⅱ)若 an ? 2 ? bn

1 成等差数列. 2

,设 cn ?

bn 求数列 {cn } 的前项和 Tn . an

20. (本题 14 分)如图,在矩形 ABCD中, AB ? 2 2 , AD ? D

2 , E 为 CD 的中点。
E C

将 ?ADE沿AE 折起,使平面 ADE ? 平面 ABCE , 得到几何体 D - ABCE。 (Ⅰ)求证: AD ? 平面 BDE ; (Ⅱ) 求 CD 与平面 ADE 所成角的正切值。 D

E A B

C

21、本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g( x) ? xe1?x .(a ?R, e为自然对数的底数) (I)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间; 时 (II)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; (III)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , 在? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2) ,使得

1 2

f ( xi ) ? g( x0 )成立, 求a 的取值范围。

22、 (本题 15 分) (本题满分 15 分) 已知抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的准线方程为 y ? ?1 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设 F 是抛物线的焦点,直线 l : y ? kx ? b (k ? 0) 与抛物线交于 A, B 两点,记直线

AF, BF 的斜率之和为 m .求常数 m ,使得对于任意的实数 k(k ? 0) ,直线 l 恒过定点,并求
出该定点的坐标.

备注:

2011 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: 每小题 5 分,共 50 分. (1)C (2)A (3)B (4 )A (6) B (7)B (8)C (9) C 二、二、填空题:每小题 4 分,满分 28 分。 (11). (5) A (10) B

7 . 25

(12).-3

(13).3

(14) 0.85

(15) .-1

(16) (0,

1 ) 3

(17)

? 3

三、本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

(18). (本题满分 14 分) (Ⅰ)由正弦定理, 可得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, cos B b 将上式代入已知的 =- , cos C 2a+c 得 cos B sin B =- ,…………………………(3 分) cos C 2sin A+sin C

即 2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 即 2sin Acos B+sin(B+C)=0. ?A? B ?C ? ? , 因为 A+B+C=π ,所以 sin(B+C)=sin A, 1 故 2sin Acos B+sin A=0.因为 sin A≠0,故 cos B=- , 2 2 又因为 B 为三角形的内角, 所以 B= π . …………………………………… (7 分) 3 方法二 由余弦定理,得 a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= ,cos C= . 2ac 2ab cos B b 将上式代入 =- , cos C 2a+c a2+c2-b2 2ab b 得 × 2 , 2 2=- 2ac a +b -c 2a+c 整理得 a +c -b =-ac, a2+c2-b2 -ac 1 所以 cos B= = =- , 2ac 2ac 2 2 因为 B 为三角形内角,所以 B= π . 3 2 (Ⅱ)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 的变形式: 3 b2=(a+c)2-2ac-2accos B. ………………(9 分) 1 所以 13=16-2ac?1-2?,即得 ac=3, ? ? 1 3 所以 S△ABC= acsin B= 3.……………………(14 分). 2 4
2 2 2

(19). (本题满分 14 分)
解: (Ⅰ)由题意知 2a n ? S n ?

1 , an ? 0 2 1 1 当 n ? 1时, 2a1 ? a1 ? ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2时,S n ? 2an ? , S n?1 ? 2an?1 ? 2 2
两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ( n ? 2 ) 整理得:

an ? 2(n ? 2) an?1

………………………………………………4 分

∴数列 ?an ? 是

an ? a1 ? 2 n?1
2 (Ⅱ) a n ? 2

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 ……………………………………6 分 ? ? 2 n?1 ? 2 n?2 2
? 2 2 n ? 4 ?bn ? 4 ? 2n
………………………………7 分

? bn

cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n …… ① ? 2 ? 3 ? ... ? ? 2 2 2 2 n?1 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n …… ② Tn ? 2 ? 3 ? ... ? ? n?1 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ... ? n ) ? 2 2 2 2 2 n?1

……………9 分

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? 4(1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n 2
? Tn ? 8n 2n

………………………12 分

………………………………………………………14 分

(20). (本题满分 14 分) 证明: (1)过 D 作 DH ? AE 于 H. ………………………………2 分 由平面 ADE ? 平面 ABCE 得, DH ? 平面 ABCE ,所以 DH ? BE , 分 由题意可得 AE ? BE ,因此 BE ? 平面 ADE 。 ………………………………6 分 (2) 在平面 CDE 内, C 作 CE 的垂线, 过 与过 D 作 CE 的平行线交于 F, 再过 B 作 BG ? CF 于 G,连结 DG,CH,BH 可得 BG ? 平面 CDE ; 所以 ?BDG 为 BD 和平面 CDE 所成的 角. …………10 分 ……………4

在 ?DHC 中 , ?DHB 中 , 可 得 DC ? BD ? 3 , 又 D E?

E ?1 , 因 此 C
题 意 得

?DCE ?

?CDF ? 300 ,

? CF ? DF ,?CF ?

3 2

.



BC ? 1, FB ?

3 6 BG 2 ,因此 sin ?BDG ? ,BD 和平面 CDE 所成的角的 ,? BG ? ? 2 3 BD 3

正弦值为

2 .………………………………14 分 3

(21). (本小题满分 15 分) 解:解: (I)当 a ? 1 , f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, 则f ?( x) ? 1 ? 时 由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. 故 f ( x)的单调减区间为? 0, 2? , 单调增区间为? 2, ?? ? . (II) g ?( x) ? e1?x ? xe1?x ? (1 ? x)e1?x ,

2 , …………2 分 x
…………5 分 …………6 分

当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g ( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,
所以,函数 g ( x)在 ? 0, e? 上的值域为? 0,1?. …………9 分

当a ? 2时, 不合题意;
2 (2 ? a) x ? 2 ? ? x x (2 ? a)( x ? x 2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e

当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? 当x ?

?

2 时, f ?( x) ? 0. 2?a 由题意得, f ( x)在 ? 0, e? 上不单调,
故0 ?

2 2 ? e,即a ? 2 ? 2?a e



…………12 分

此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

(0,
f ?( x) f ( x)

2 ) 2?a
— ↘

2 2?a
0 最小值

? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+ ↗

又因为,当x ? 0时, f ( x) ? ??, 2 2 ) ? a ? 2 ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 2?a 2?a 所以,对任意给定的x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), f( 使得f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 当且仅当a满足下列条件 :

2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1. ? ?
令h(a ) ? a ? 2 ln

② ③

2 2 , a ? (??, 2 ? ), 2?a e 2 a 则h ?(a) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令h ?( a) ? 0, 2?a a?2 得a ? 0或a ? 2, 故当a ? (??, 0)时, h ?(a) ? 0, 函数h(a)单调递增; 2 当a ? (0, 2 ? )时, h ?(a) ? 0, 函数h(a)单调递减. e 2 所以, 对任意a ? (??, 2 ? ), 有h( a) ? h(0) ? 0, e 2 即②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 e 3 由③式解得: a ? 2 ? ④ . e ?1
综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ?

…………13 分 …………14 分

? ?

3 ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1? ?

在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), 使 f ( xi ) ? g( x0 ) 成立。…………15 分 (22). (本题满分 15 分)
1 y. a 1 ∴抛物线 C 的准线方程为: y ? ? . 4a

解: (Ⅰ)∵ y ? ax2 ,∴ x 2 ?

…3 分

∴?

1 1 ? ?1 ,解得 a ? . 4a 4
…6 分

∴抛物线 C 的方程是 x 2 ? 4 y . (Ⅱ) F (0,1) ,设 A ( x1 ,
2 x1 x2 ) ,B ( x2 , 2 ) , 4 4

? y ? kx ? b 由? 2 ,得 x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 . x ? 4y ?
∴ x 1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4b , ? ? 16k 2 ? 16b ? 0 . …8 分

k AF ? k BF

2 2 x1 x2 ?1 ?1 2 x 2 x ? 4 x 2 ? x 2 x 1 ? 4 x 1 ( x 1 ? x 2 )( x 1 x 2 ? 4) ? 4 ? 4 ? 1 2 ? x1 x2 4 x1 x 2 4 x1 x 2

?

4k (?4b ? 4) k (b ? 1) ? ?m. 4(?4b) b
k k .∴直线 l : y ? kx ? . m?k m?k

…10 分

∴b ?

令 xk 2 ? (mx ? y ? 1)k ? my ? 0 对任意的 k(k ? 0) 恒成立.

…12 分

?x ? 0 ?x ? 0 ? ? K 则 ?mx ? y ? 1 ? 0 ,解得 ? y ? ?1 .KKsss555uuu ?my ? 0 ?m ? 0 ? ?
所以, m ? 0 ,直线 l 过定点 (0,?1) . …15 分



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