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第一章 数 列


§ 1 1.1

数 数列的概念



(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系. 2.过程与方法 按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程,进行启发式教学,体会归 纳思想. 3.情感、态度与价值观 通过本节课学习,体会数学源于生活,提高数学学习兴趣. ●重点难点 重点:了解数列的概念,了解数列是一种特殊函数.根据数列的前 n 项写出 它的一个通项公式. 难点:将数列作为一种特殊函数去认识,了解数列与函数之间的关系.

(教师用书独具)

●教学建议 问题/情境 设计意图师生活动

同学们都知道大自然是美丽的,但如果我说,大自然还是懂数学的,你相信 吗?下面,请看图片. 师:多媒体课件展示生动丰富的大自然场景:花菜、向日葵、菠萝等,这些 事物似乎都与这列数有关:1,1,2,3,5,8,13,21?? 生:观察图片,投入到教学活动中来. 如果细心观察, 就会发现自然界的一些看似千差万别的事物,似乎都能在这 一列数中找到联系, 这是巧合, 还是别的什么原因?同学们若感兴趣, 想研究它, 就需要先来学习我们今天的内容:数列的概念. ●教学流程 创设问题情境,提出3个问题 ? ? ? ? ? 引导学生解答问题,引出数列的有关概念 通过例1及变式训练,使学生进一步认识数列的有关概念 通过例2及变式训练,使学生掌握数列的通项公式的求法 通过例3及互动探究,让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正

(对应学生用书第 1 页)

1.了解数列、通项公式的概念. 2. 了解数列是自变量为正整数的一类函数(难 课标解读 点). 3. 能根据通项公式确定数列的某一项(重点). 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式(重点、难点).

数列的有关概念及表示 【问题导思】 小山想利用电子邮箱发送一个 E-mail,但是由于长时间未登录邮箱,从而 他忘记了邮箱的密码,只记得密码由 3~8 这 6 个数字构成,如:(1)3 7 8;(2)4 6 8 7 3 5;(3)7 6 5 3 8 4. 4 5 6

1.这三组数字有什么异同之处? 【提示】 都是由 3~8 这 6 个数字构成,但是排列顺序不同.

2.小山把上面 3 组数当成密码来试验时,都没有打开邮箱,他说: “仅仅知 道数字及个数还不能确定密码” .那么,找到密码还需要确定什么? 【提示】 数字的排列顺序.

1.数列的有关概念

数列

按一定次序排列的一列数叫作数 列 数列中的每一个数叫作这个数列 的项 数列的第 1 项常称为首项 数列中的第 n 项 an, 叫数列的通项

项 首项 通项 2.数列的表示

①一般形式:a1,a2,a3,?,an,?;

②字母表示:上面数列也记为{an}.

数列的分类 【问题导思】 nπ 当 n 分别取 1, 2, 3,4, ?时,sin 2 的值排成一个数列:1, 0,-1, 0?; nπ 当 n 分别取 1,2,3,4,5 时,sin 2 的值排成一个数列:1,0,-1,0,1.这 两个数列是同一数列吗?若不是同一数列,这两个数列有何区别与联系? 【提示】 不是同一数列.第一个数列有无穷多项,第二个数列共有 5 项,

这 5 项恰好是第一个数列的前 5 项. 按数列的项数,数列分为有穷数列与无穷数列. (1)项数有限的数列叫作有穷数列; (2)项数无限的数列叫作无穷数列.

数列的通项公式 【问题导思】 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题, 他们在 沙滩上画点或用小石子来表示数.如图:

图 1-1-1 上图表示的数可构成数列 1,4,9,16,?,这个数列的第 n 项 an 与 n 之间 能否用一个函数式表示?怎样表示? 【提示】 可以.函数式可表示为 an=n2.

1.如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an =f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函 数的解析式. 2.数列可以看作定义域为正整数集 N+(或它的有限子集)的函数,当自变量 从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.

(对应学生用书第 2 页)

数列的有关概念 下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. (1){0,1,2,3,4}是有穷数列; (2)所有自然数能构成数列; (3)同一个数在数列中可能重复出现; (4)数列 1,2,3,4,?,2n 是无穷数列. 【思路探究】 【自主解答】 紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合条件. (1)错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.

(2)正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. (3)正确.数列中的数可以重复出现. (4)错误.数列 1,2,3,4,?,2n,共有 2n 项,是有穷数列.

1.数列{an}表示数列 a1,a2,a3,?,an,?,不是表示一个集合,与集合 表示有本质的区别. 2.从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么 它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一 个数在数列中可以重复出现.

下列说法正确的是(

)

A.数列 3,5,7 与数列 7,5,3 是相同数列 B.数列 2,3,4,4 可以记为{2,3,4}
?1? 1 1 1 C.数列 1,2,3,?,n,?可以记为?n? ? ?

D.数列{2n+1}的第 5 项是 10 【解析】 数列是有序的,选项 A 错;数列与数集是两个不同的概念,选

项 B 错;对于 D,当 n=5 时,a5=2×5+1=11,选项 D 错,故选 C. 【答案】 C

由数列的前 n 项写出数列的一个

通项公式 写出下列数列的一个通项公式. (1)1,-3,5,-7,9,?; (2) 3,3, 15, 21,3 3,?; 22-1 32-1 42-1 52-1 (3) 2 , 3 , 4 , 5 ,?; (4)0.9,0.99,0.999,0.9999,?; 3 7 9 (5)2,1,10,17,?. 【思路探究】 分析各项 an 与对应序号 n 之间的关系,从中发现规律,得

到一个合适的函数解析式,再验证是否正确即可. 【自主解答】 (1)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,?是连续的正奇数, 考虑(-1)n+1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n -1). (2)数列可化为 3, 9, 15, 21, 27,?, 即 3×1, 3×3, 3×5, 3×7, 3×9,?,

每个根号里面可分解成两个数之积,前一个因数为常数 3,后一个因数为 2n -1,故原数列的一个通项公式为 an= 3(2n-1)= 6n-3. (3)这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1,分子都是分母的平方减去 1, (n+1)2-1 所以它的一个通项公式是:an= . n+1 1 1 1 1 (4)原数列可变形为:1-10,1-102,1-103,1-104,?,故所给数列的

1 一个通项为 an=1-10n. 3 5 7 9 (5)将数列统一为2,5,10,17,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn=2n+1;对于分母 2,5,10,17,?联想到 数列 1,4,9,16,?即数列{n2},可得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得原数列的一个通项公式为 an= 2 . n +1

1.本题通过观察各项与项数的关系,再进行比较,归纳出结论,主要从以 下几个方面来考虑:(1)符号用(-1)n 或(-1)n+1 来调节.(2)分式形式的数列,分 子、分母分别找通项,要充分借助分子、分母的关系. (3)将数列的各项分解成 若干个基本数列后再进行分析归纳. 2.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可 以用添项、还原、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.

根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式. 2 4 6 8 1 9 25 (1)3,15,35,63,?;(2)2,2,2,8, 2 ,?; (3)2,22,222,2 222,?. 【解】 (1)分子均为偶数,分母分别为 1×3,3×5,5×7,7×9 是相邻两 个奇数的乘积, 2n 故 an= . (2n-1)(2n+1) 1 4 9 16 25 (2)将分母统一成 2,在数列 , , , , ,?中分母为 2,分子为 n2, 2 2 2 2 2 n2 故 an= 2 . (3)由 9, 99, 999, 9 999, ?的通项公式 an=10n-1 可知, 2, 22, 222, 2 222, ? 2 的通项公式为 an=9(10n-1).

利用通项公式确定数列的项 已知数列{an}的通项公式为 an=3n2-28n. (1)写出数列的第 4 项和第 6 项; (2)-49 和 68 是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由. 【思路探究】 (1)将 n=4,6 代入 an 即可.

(2)若某个数是数列的某一项,则在通项中必存在一个正整数 n 与其对应, 否则就不是数列中的项. 【自主解答】 (1)∵an=3n2-28n,

∴a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60. (2)令 3n2-28n=-49,即 3n2-28n+49=0, 7 解得 n=7,或 n=3(舍). ∴-49 是该数列的第 7 项, 即 a7=-49. 令 3n2-28n=68,即 3n2-28n-68=0, 34 解得 n=-2,或 n= 3 . 34 ∵-2?N+, 3 ?N+,∴68 不是该数列的项.

1.数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的关系,只要用 序号代替公式中的 n,就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项,需假定它是数列中的项去列方程.若方 程的解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的 一项.

若本例的条件不变,(1)试写出该数列的第 3 项和第 8 项;(2)问 20 是不是该 数列的一项,若是,应是第几项? 【解】 (1)∵an=3n2-28n,

∴a3=3×32-28×3=-57, a8=3×82-28×8=-32. 2 (2)设 3n2-28n=20,解得 n=10 或 n=-3(舍去). ∵n∈N+,∴20 是该数列的第 10 项.

(对应学生用书第 3 页)

归纳推理在求数列通项公式中的应用 (12 分)根据下面的图形及相应的点数, 在空格及括号中分别填上适当的图 形和点数,并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式.

(1) (3)

(6)

图 1-1-2 【思路点拨】 观察图形的构成规律,寻找点数构成的数列中 a1 与 a2,a2

与 a3 的关系,便可发现 a4,a5,?,an 的取值规律及图形的构成特征. 【规范解答】 观察前 3 个图形和点数,易知

(10) 4分 记图形中的点数构成的数列为{an}.观察可知: 2 1×2 a1=1=2= 2 , 6 2×3 a2=3=2= 2 , 12 3×4 a3=6= 2 = 2 , 20 4×5 a4=10= 2 = 2 ,

(15)

30 5×6 a5=15= 2 = 2 .9 分

n(n+1) ∴数列{an}的通项公式为 an= .12 分 2

本题先观察数列前 n 项的共同特点,再概括出数列的通项公式.这种推理就 是归纳推理. 归纳推理就是由个别事实概括出一般结论的推理,归纳推理是一种 重要的推理方法,在数学领域有着广泛的应用.

1.对通项公式的理解 (1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的,如数列:1,0,-1,0,1, n-1 nπ 0,-1,0,?,通项公式可以是 an=sin 2 ,也可以是 an=cos 2 π(n∈N+). (2)并不是所有数列都能写出通项公式. 如由π 的精确度的数值排列: 3, 3.1, 3.14,3.141,3.1415,?就写不出通项公式. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴涵着 “从特殊到一般”的思想. 3. 数列是一类特殊函数, 因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法, 但要注意其定义域为正整数集或其有限子集.

(对应学生用书第 4 页)

1.下列说法中,正确的是(

)

A.数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列 n+1 1 C.数列{ n }的第 k 项为 1+ k D.数列 0,2,4,6,8,?可记为{2n} 【解析】 【答案】 由数列定义知 A 错,B 中排列次序不同,D 中 n∈N. C )

1 2 3 4 2.(2013· 宝鸡高二检测)数列3,4,5,6,?的一个通项公式是( A.an= 1 n-1 D.an= n 2n+1 B.an= n 2n-1

n C.an= n+2 【解析】 【答案】

n 观察前 4 项的特点易知 an= . n+2 C

n2-1 3.(原创题)在数列{ n }中,第 7 项是________. 【解析】 【答案】 n2-1 72-1 48 令 n=7,则 n = 7 = 7 . 48 7

4.已知数列{an},an=kn-5,且 a8=1,求 a16. 【解】 3 由 a8=1,得 8k-5=1,解得 k=4,

3 ∴an=4n-5, 3 ∴a16=4×16-5=7.

(对应学生用书第 79 页)

一、选择题 1.下列解析式中不是数列 1,-1,1,-1,1,?的通项公式的是( A.an=(-1)n C.an=(-1)n-1 B.an=(-1)n+1 ?1 D.an=? ?-1 n为奇数, n为偶数. )

【解析】 A 中当 n=1 时,a1=-1,n=2 时,a2=1,显然不是数列 1,- 1,1,-1,1,?的通项公式. 【答案】 A )

2.已知数列{an}的通项公式是 an=n2+2,则其第 3、4 项分别是( A.11,3 B.11,15 C.11,18 D.13,18 【解析】 【答案】 a3=32+2=11,a4=42+2=18. C )

3.已知数列 1, 3, 5, 7,?, 2n-1,?则 3 5是它的( A.第 22 项 C.第 24 项 【解析】 【答案】 B.第 23 项 D.第 28 项

令 2n-1=3 5,解得 n=23. B )

4.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是( A.380 B.39 C.32 D.23

【解析】

分别令 n(n+1)=380,39,32,23 解出 n∈N+即可,验证知 n

=19 时,19×20=380. 【答案】 A 1 2 3 4 , ,- , ,?的通项公式 3×5 5×7 7×9 9×11

5.(2013· 德州高二检测)数列- an 为( )

A.(-1)n+1 B.(-1)n+1 C.(-1)n

1 (2n+1)(2n+3)

n (2n+1)(2n+3)

1 (2n+1)(2n+3) n (2n+1)(2n+3)

D.(-1)n

【解析】 观察式子的分子为 1,2,3,4,?,n,?,分母为 3×5,5×7, 7 × 9 , ? , (2n + 1)(2n + 3) , ? , 而 且 正 负 间 隔 , 故 通 项 公 式 an = ( - 1)n n . (2n+1)(2n+3) 【答案】 二、填空题 3 1 5 3 7 6.数列5,2,11,7,17,?的一个通项公式是________. 【解析】 n+2 = . 3n+2 【答案】 n+2 an= 3n+2 3 1 5 3 7 3 4 5 6 7 数列5,2,11,7,17,?即数列5,8,11,14,17,?,故 an D

7 .已知数列 {an} 的通项公式 an =- n2 + 7n + 9 ,则其第 3 、 4 项分别是 ________、________. 【解析】 【答案】 a3=-32+7×3+9=21,a4=-42+7×4+9=21. 21 21

8.已知曲线 y=x2+1,点(n,an)(n∈N+)位于该曲线上,则 a10=________.

【解析】 ∵点(n,an)位于曲线 y=x2+1 上,∴an=n2+1,故 a10=102+1 =101. 【答案】 三、解答题 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3)2,4,-8,16,-32,64,? 【解】 (1)符号可通过(-1)n 表示,后面的数的绝对值总比前面的数的绝对 值大 6, 故通项公式为 an=(-1)n· (6n-5). 8 8 8 8 1 (2)将数列变形为9(1-0.1),9(1-0.01),9(1-0.001),?,∴an=9(1-10n). (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?,易看出第 2,3,4 项的分子分别 2-3 比分母少 3.因此把第 1 项变为- 2 . 21-3 22-3 23-3 24-3 原数列可化为- 21 , 22 ,- 23 , 24 ,?, 2n-3 ∴an=(-1)n· 2n . 10.已知数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是项数 n 的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)88 是否是数列{an}中的项? 【解】 (1)设 an=an+b.∴a1=a+b=2,① 101

a17=17a+b=66.② ②-①,得 16a=64,∴a=4,b=-2. ∴an=4n-2(n∈N+). 45 (2)令 4n-2=88?4n=90,n= 2 ?N+, ∴88 不是数列{an}中的项.

图 1-1-3 11. 如图 1-1-3 所示, 有 n(n≥2)行 n+1 列的士兵方阵: (1)写出一个数列, 用它表示当 n 分别为 2,3,4,5,6,?时方阵中的士兵人数. (2)说出(1)中数列的第 5,6 项,用 a5,a6 表示; (3)若把(1)中的数列记为{an},求该数列的通项公式 an; (4)求 a10,并说明 a10 所表示的实际意义. 【解】 (1)当 n=2 时, 表示士兵的人数为 2 行 3 列,人数为 6;当 n=3 时, 表示 3 行 4 列,人数为 12,依此类推,故所求数列为 6,12,20,30,42,?. (2)方阵的行数比数列的序号大 1,因此第 5 项表示的是 6 行 7 列,第 6 项表 示 7 行 8 列,故 a5=42,a6=56. (3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式. 前 4 项分别为:6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6 因此 an=(n+1)(n+2). (4)由(3)知 a10=11×12=132, a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵中士兵的人数.

(教师用书独具)

n2-21n 数列{an}的通项公式是 an= 2 (n∈N+). (1)0 和 1 是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项? (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项? 【思路探究】 若某个数是数列的某一项,则在通项中必存在一个正整数 n 与其对应,否则就不是数列中的项.

【自主解答】

n2-21n (1)若 0 是{an}中的第 n 项,则 2 =0,

∵n∈N+,∴n=21.∴0 是{an}中的第 21 项. n2-21n 若 1 是{an}中的第 n 项,则 2 =1, ∴n2-21n=2,即 n2-21n-2=0. ∵方程 n2-21n-2=0 不存在正整数解, ∴1 不是{an}中的项. (2)假设{an}中存在第 m 项与第 m+1 项相等,即 am=am+1,则解得 m=10. ∴数列{an}中存在连续的两项第 10 项与第 11 项相等.

1.本题易忽视 n∈N+,导致解方程 n2-21n-2=0 出错. 2.数列通项公式反映了一个项与项数的函数关系,通项公式的作用: (1)求数列中任意一项; (2)检验某数是否是该数列中的一项.

在上述例题中,当 n 为何值时,an<0? 【解】 由 an<0,得 0<n<21,

又∵n∈N+, ∴当 n=1,2,3,?,20 时,an<0. 1.2 数列的函数特性

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能

了解递增数列、递减数列、常数列的概念.掌握判断数列增减性的方法. 2.过程与方法 通过画数列图像,观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减 性,学习过程采用启发、引导式教学. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习培养学生数形结合思想,函数思想的应用. ●重点难点 判定数列的增减性.

(教师用书独具)

●教学建议 针对判断数列的增减性问题可以从以下两种方法着手解决: (1)图像法:利用数列的图像的升、降趋势进行判断. (2)定义法:根据相邻两项 an 与 an+1 的大小关系来判断.判断这两项的大小 可采用作差或作商的方法. ●教学流程 根据本节知识,提出问题:从函数的单调性上观察数列特点 ? ? ? ? ? 引导学生回答问题引出递增、递减、常数列,讲解各自特点 通过例1及变式训练,使学生掌握数列的图像及应用 通过例2及变式训练,让学生掌握数列增减性的判断 通过例3及变式训练,使学生会求数列的最大(小)项问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正 (对应学生用书第 4 页)

1.了解数列的几种简单的表示方法(列表、图 课标解读 像、通项公式)(重点). 2. 了解递增数列、 递减数列、 常数列的概念. 3.掌握判断数列增减性的方法(难点).

数列的表示法 表示一个数列我们可以用图像、列表、通项公式.

数列增减性 【问题导思】 观察以下几个数列:①1,2,3,4,?;②-2,-4,-6,-8,?;③ 1,1,1,1,?. 从函数的单调性上考查,以上三个数列有何特点? 【提示】 ①是递增的数列 ②是递减的数列 ③是常数列

名称 递增数列

定义 从第 2 项起,每一项都 大于它前面的一项 从第 2 项起,每一项都 小于它前面的一项 各项都相等

表达式 an+1>an

图像特点 上升

递减数列 常数列

an+1<an an+1=an

下降 不升不降

(对应学生用书第 5 页)

数列的图像及应用 2 已知数列{an}的通项公式为 an= ,画出它的图像,并判断增减性. 2n-9 【思路探究】 借助函数 y= 像的升降趋势判断单调性. 【自主解答】 图像如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5, 2 的图像作出数列{an}的图像,然后根据图 2x-9

6,?}上也是递减的.

1.解答本题的关键是借助函数 y=

9的图像. x-2

1

2.若数列的通项公式 an=f(n)所对应的函数 y=f(x)是基本初等函数,则可 利用对应函数的图像及性质,研究数列的性质. 把数列{n2-9n}用列表法表示出来,在直角坐标系中画出它的图像,并根据 图像指出它的增减性. 【解】 列表法表示为:

序号 项

1 -8

2 -14

3 -18

4 -20

5 -20

6 -18

7 -14

8 -8

? ?

记 an=n2-qn,数列图像如图所示:

由图像直观地看出它在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,7,8,?}上是 递增的.

数列增减性的判断 n 已知数列{an}的通项公式 an= 2 ,试判断该数列的增减性. n +1

【思路探究】 【自主解答】

可用作差法或作商法判断数列的增减性. n+1 n an+1-an= - (n+1)2+1 n2+1

1-n2-n = . [(n+1)2+1](n2+1) 因为 n∈N+,所以 1-n2-n<0, 所以 an+1-an<0, 即 an+1<an.故该数列为递减数列.

1.本题中 1-n2-n 的符号判断是关键,不要忽视 n∈N+这一条件. 2.应用函数单调性的判断方法来判断数列的单调性,常用的方法有:作差 an+1 法,将 an+1-an 与 0 进行比较;作商法,将 a 与 1 进行比较(在作商时,要注意 n an<0 还是 an>0). 2 3 4 判断数列 1,3,5,7,?, 【解】 n 设 an= . 2n-1 n ,?的增减性. 2n-1

n+1 -1 n ∵an+1-an= - = <0, 2n+1 2n-1 (2n+1)(2n-1) ∴an+1<an,∴{an}是递减数列.

求数列的最大(小)项 10 已知数列{an}的通项公式 an=(n+1)( )n(n∈N+),试问数列{an}有没有最 11 大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由. 【思路探究】 确定最大项 【自主解答】 ∵an+1-an 法一 假设数列{an}中存在最大项. 假设存在最大项 → 作差an+1-an → 讨论差式的符号 →

10 + 10 10 9-n =(n+2)(11)n 1-(n+1)(11)n=(11)n·11 , 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12?, 所以数列中有最大项,最大项为第 9、10 项, 1010 且 a9=a10= 119 . 法二 ?ak≥ak-1 假设数列{an}中有最大项,并设第 k 项为最大项,则? 对任意 ?ak≥ak+1

的 k∈N+且 k≥2 都成立. 10 k 10 k 1 ( k + 1 )( ) ≥ k ( ? ? 11 11) , 即? 10 k 10 k ? ?(k+1)(11) ≥(k+2)(11)


+1



10 ? ?11(k+1)≥k, ∴? 10 ? ?k+1≥11(k+2), 解得 9≤k≤10. 又 k∈N+, ∴数列{an}中存在的最大项是第 9 项和第 10 项, 1010 且 a9=a10= 119 .

1.解答探索性题目的方法: 首先假设存在,然后在此前提下,利用已知条件进行推理,若推出合理的结 论,则说明存在;若推出矛盾的结论,则说明不存在. 2.求数列的最大(小)项的两种方法: (1)利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大 项或最小项.

?ak≥ak-1 (2)设 ak 是最大项,则有? 对任意的 k∈N+且 k≥2 都成立,解不等式 ?ak≥ak+1 组即可.

4n-12 已知数列{an}的通项公式为 an= ,求数列{an}的最大项和最小项. 2n-7 【解】 = = 4n-8 4n-12 ∵an+1-an= - 2n-5 2n-7

(4n-8)(2n-7)-(4n-12)(2n-5) (2n-5)(2n-7) (8n2-44n+56)-(8n2-44n+60) (2n-5)(2n-7) 4 =- (2n-5)(2n-7) 1 5 7 (n-2)(n-2)

=-

当 n≤2 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 当 n=3 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n≥4 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 又当 n≤3 时,an<2;当 n≥4 时,an>2. ∴a4>a5>?>an>?>2>a1>a2>a3. 故 a3 最小为 0,a4 最大为 4.

(对应学生用书第 6 页)

忽视 n 的范围致误 设数列{an}的通项公式为:an=n2+kn(n∈N+),若数列{an}是单调递增数 列,求实数 k 的取值范围 . 【错解】 k ∵an=n2+kn,其图像对称轴方程为 n=-2,

又数列{an}是单调递增数列,

k ∴-2≤1,得 k≥-2. 故实数 k 的取值范围为[-2,+∞). 【错因分析】 导致上述错解的原因是仅考虑了数列{an}为单调递增数列时 的一种情形,而没考虑到 n∈N+,n 的值是离散的. 【防范措施】 数列是特殊函数,一定要注意其定义域是 N+(或它的有限子 集). 【正解】 法一 ∵数列{an}是单调递增数列,

∴an+1-an>0(n∈N+)恒成立. 又∵an=n2+kn(n∈N+), ∴(n+1)2+k(n+1)-(n2+kn)>0 恒成立. 即 2n+1+k>0. ∴k>-(2n+1)(n∈N+)恒成立. 而 n∈N+时,-(2n+1)的最大值为-3(n=1 时), ∴k>-3.即 k 的取值范围为(-3,+∞). 法二 即可, 即 1+k<4+2k,得 k>-3, 所以 k 的取值范围为(-3,+∞). 结合二次函数 y=x2+kx 的图像,要使{an}是递增数列,只要 a1<a2,

1.数列的三种表示方法各有优缺点:(1)用通项公式表示数列,简洁明了, 便于计算.公式法是常用的数学方法. (2)列表法的优点是不经过计算,就可以 直接看出项数与项的对应关系. (3)图像能直观形象地表示出随着序号的变化, 相应项变化的趋势. 2.判断一个数列的增减性,可以借助于图像的升、降趋势进行判断,也可 以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断,即通过判断一个数列的任 意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性.

(对应学生用书第 7 页)

?1?n 1.已知数列{an}的通项公式 an=a?2? (a<0),则该数列是( ? ? A.递减数列 C.常数列 【解析】 D.以上都不是 ?1?n+1 ?1?n ∵an+1-an=a?2? -a?2? = ? ? ? ? B.递增数列

)

?1?n+1 -a?2? >0,即 an+1>an,∴该数列是递增数列. ? ? 【答案】 B )

2.递减数列{an}中,an=kn(k 为常数),则实数 k 的取值范围是( A.R B.(0,+∞)

C.(-∞,0) D.(-∞,0] 【解析】 【答案】 an+1-an=k(n+1)-kn=k<0. C

k 3 .若数列 {an} 的通项公式为 an = 3n (k>0 ,且 k 为常数 ) ,则该数列是 ________(填“递增” 、 “递减”)数列. 【解析】 an+1 k 3n 1 an =3n+1· k =3<1.∵k>0,

∴an>0,∴an+1<an,∴{an}是递减数列. 【答案】 递减

2 3 4 5 4.写出数列 1,4,7,10,13,?的通项公式,并判断其增减性. 【解】 通项公式为 an= n . 3n-2

n+1 -2 n ∵an+1-an= - = <0, 3(n+1)-2 3n-2 (3n+1)(3n-2)

∴an+1<an,∴{an}是递减数列.

(对应学生用书第 81 页)

一、选择题 1.已知数列{an}中,an+1=an+2,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 【解析】 D.以上都不对 ∵an+1=an+2,∴an+1-an=2>0, B.递减数列 )

∴an+1>an,故数列{an}为递增数列. 【答案】 A )

n 2.已知数列{an}满足 a1>0,且 an+1= a ,则数列{an}的最大项是( n+1 n A.a1 C.a10 B.a9 D.不存在 an+1 n n ∵a1>0 且 an+1= an,∴an>0, a = <1, n+1 n+1 n

【解析】

∴an+1<an,∴此数列为递减数列,故最大项为 a1. 【答案】 A 2n ,那么这个数 n+1

3.(2013· 西安高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an= 列是( ) B.递减数列 D.常数列

A.递增数列 C.摆动数列 【解析】

2(n+1) 2(n+1)2-2n2-4n 2n an + 1 - an = - = = n+2 n+1 (n+1)(n+2)

2 >0,∴{an}是递增数列. (n+1)(n+2) 【答案】 A

4.已知 an=-2n2+9n+3,则数列{an}中的最大项为( A.a1=10 B.a2=13 C.a3=12 D.以上均不正确 【解析】 9 105 an=-2(n-4)2+ 8 ,由于 n∈N+,

)

∴当 n=2 时,a2=13 最大. 【答案】 B

5.(2013· 沈阳高二检测)函数 y=f(x)的图像在下列图中,并且对任意 a1∈(0, 1),由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N+),则该函数的图像 可能是( )

【解析】

由 an+1=f(an)及 an+1>an 可知,f(an)>an,即图像上每一点的纵

坐标大于其横坐标,∴函数 y=f(x)的图像应在直线 y=x 上方,故选 A. 【答案】 二、填空题 6.(2013· 黄冈高二检测)已知数列{an}满足 a1=2,an+1= a2 012=________. 【解析】 1+an 1 1 ∵a1=2 由 an+1= 得 a2=-3,a3=-2,a4=3,a5=2,∴ 1-an 1+an (n∈N+),则 1-an A

{an}为周期为 4 的数列, 1 ∴a2 012=a4×503=a4=3. 【答案】 1 3

7.已知数列{an},an=2n2-10n+3,它的最小项是________. 【解析】 【答案】 5 19 an=2n2-10n+3=2(n-2)2- 2 .故当 n=2 或 3 时,an 最小. 2或3项

8.已知数列{an}的通项公式为 an=4n-102,则数列从第________项开始值 大于零.

【解析】

1 令 4n-102>0 得 n>252,

∴数列{an}从第 26 项开始大于零. 【答案】 三、解答题 9.已知数列{an}的通项公式为 an=-n2+10n+11,试作出其图像,并判断 数列的增减性. 【解】 列表: 26

n an

1 20

2 27

3 32

4 35

5 36

6 35

7 32

8 27

9 20

10 11

11 0

? ?

图像如图所示:

由数列的图像知,当 1≤n≤5 时数列递增;当 n≥5 时数列递减. x-1 10.已知函数 f(x)= x ,设 an=f(n)(n∈N+), (1)求证:an<1; (2){an}是递增数列还是递减数列?为什么? 【解】 (1)证明 n-1 1 an=f(n)= n =1-n<1.

(n+1)-1 n-1 1 1 1 (2)∵an+1-an= - n =(1- )-(1-n)= >0, n+1 n+1 n(n+1) ∴an+1>an, ∴{an}是递增数列. 11.(2013· 广州高二检测)已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 【解】 (1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N+,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数.

(2)法一


5?2 9 5 ? ∵an=n2-5n+4=?n-2? -4, 可知对称轴方程为 n=2.又因 n∈N ? ?

,故 n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=22-5×2+4=32-5×3

+4=-2. 法二 ?an≤an+1 设第 n 项最小,由? , ?an≤an-1

2 2 ?n -5n+4≤(n+1) -5(n+1)+4, 得? 2 2 ?n -5n+4≤(n-1) -5(n-1)+4.

解这个不等式组得 2≤n≤3, ∴n=2,3,∴a2=a3 且最小, ∴a2=a3=22-5×2+4=32-5×3+4=-2.

(教师用书独具)

已知函数 f(x)=2x-2-x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明数列{an}是递减数列. 【思路探究】 首先建立关于 an 的一元二次方程求解,再证明 an>an+1 即可 证明数列{an}是递减数列. 【自主解答】 (1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,

∴2log2an-2-log2an=-2n, 1 ∴an-a =-2n,
n

∴an2+2nan-1=0,解得 an=-n± n2+1. ∵an>0,∴an= n2+1-n,n∈N+. an+1 (n+1)2+1-(n+1) (2) a = n n2+1-n



n2+1+n <1. (n+1)2+1+(n+1)

∵an>0,∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.

本题是函数、方程与数列的典型结合与运用,要比较 an 与 an+1 的大小,可 以用作差法或作商法,即若 an+1-an>0,则 an+1>an,可以判断数列{an}是递增数 an+1 列;当 an>0 时,若 a >1,则 an+1>an,也能判断数列{an}是递增数列.对于递 n 减数列,同理可以给出判断. 若数列{an}的通项公式为 an=-2n2+13n(n∈N+),画出它在 x 轴上方的图 像,并根据图像求出 an 的最大值,并在同一坐标系中画出函数 f(x)=-2x2+13x 的图像,根据图像求出 f(x)的最大值.若用函数来求 an=-2n2+13n 的最大值, 应如何处理?

【解】

13 由-2n2+13n>0,可得 0<n< 2 .又因为 n∈N+,所以 n=1,2,3,

4,5,6,分别代入通项公式,可得 a1=11,a2=18,a3=21,a4=20,a5=15, a6=6,图像如图所示,为 6 个点.最大值为 21. 函数 f(x)=-2x2+13x 的图像如图所示(图中曲线). 13 169 13 169 f(x)=-2x2+13x=-2(x- 4 )2+ 8 ,所以当 x= 4 时,f(x)max= 8 . 用函数来求{an}的最大值时, 13 1 因为 3< 4 <4,且 34离 3 较近, 所以最大值为 a3=21.

§ 2等差数列 2.1 等差数列

第 1 课时

等差数列

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 掌握等差数列通项公式及推导,掌握判断等差数列的方法. 2.过程与方法 通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想, 通过等差数列通项公 式的运用,渗透方程思想. 3.情感、态度与价值观 通过对等差数列的研究, 使学生明白等差数列与一般数列的内在联系,从而 渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点. ●重点难点 重点:等差数列的判定. 难点:求等差数列的通项公式及其应用.

(教师用书独具)

●教学建议 问题:数列:1,3,( 2,5,8,( -2,3,8,( ),14,? ),18,? ),7,9,?

师:先根据数列的特点填空,再思考一下这些数列的共同特点? 生:后一项减前一项都等于常数. 师:对这样的数列,如何表示相邻两项的关系(an+1 与 an)? 生:an+1-an=d(d 为常数). 师:这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列.(板书课题) ●教学流程 创设情境,提出了2个问题 ? ? ? ? ? 引导学生根据问题引入等差数列

通过例1及互动探究,使学生掌握等差数列的判定 通过例2及变式训练,使学生掌握如何求通项公式 通过例3及变式训练,使学生掌握等差数列通项公式的应用 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正 (对应学生用书第 7 页)

1.理解等差数列的概念(重点). 课标解读 2.掌握等差数列的判断方法(重点). 3.掌握等差数列的通项公式及其应用(重点、 难点).

等差数列的概念 【问题导思】 对于数列 2, 4, 6, 8, ?该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点? 怎样表示相邻两项间的关系? 【提示】 等于同一常数.an+1-an=2 或 an-an-1=2(n≥2).

文字语言

从第 2 项起,每一项与它前一项的差 等于同一个常数,这样的数列 就叫做等差数列. 称这个常数为等差数列的公差,通常用字母 d 表示.

符号语言

若 an-an-1=d(n≥2),则数列{an}为等差数 列.

等差数列的通项公式 【问题导思】 你能观察出数列 2,4,6,8,?的通项公式吗?能否给予证明? 【提示】 an=2n,证明如下:

由 an+1-an=2, 可知 a2-a1=2,a3-a2=2,?,an-an-1=2, 将它们相加,得 an-a1=2(n-1), ∴an=2n. 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则这个数列的通项公式是 an=a1 +(n-1)d.

(对应学生用书第 8 页)

等差数列的判定 已知数列{an}的通项公式为 an=lg 数列?若是等差数列,公差是多少? 【思路探究】 同一个常数. 【自主解答】 ∵an+1-an=lg 1 =lg (常数). 3 1 ∴数列{an}是等差数列,公差是 lg3.
2(n+1)+1-lg

5 (n∈N+), 判断该数列是否为等差 32n+1

用等差数列的定义来判断,即判断 an+1-an(n∈N+)是否为

5

3

32n+1 5 5 = lg( × 5 ) 32n+1 32n+1×32

1. 本题在证明 an+1-an=d(常数)时, 注意应用对数运算的性质变形化简. 注 意切记不可通过计算 a2-a1,a3-a2,a4-a3 等几个有限的式子的值后,发现它 们都是同一个常数,就得出该数列为等差数列的结论. 2.等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一 个数列是等差数列,可用 an+1-an=d(常数)或 an-an-1=d(d 为常数且 n≥2). 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可.

本例中,若 an=pn+q(p、q 为常数),问{an}是否为等差数列? 【解】 ∵an=pn+q,

∴an+1=p(n+1)+q,

∴an+1-an=p(常数). ∴{an}是公差为 p,首项为 p+q 的等差数列.

求通项公式 已知等差数列{an},a5=11,a8=5,求通项 an. 【思路探究】 欲求 an,只需求首项 a1 和公差 d,故可利用 a5 和 a8 建立 a1 和 d 的方程组求解. 【自主解答】 设数列{an}的公差为 d,

?a1+(5-1)d=11, 由 a5=11,a8=5,得? ?a1+(8-1)d=5, 解得 a1=19,d=-2, 所以,数列{an}的通项公式 an=19+(n-1)×(-2)=21-2n.

1.在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素; 2.有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有 关 a1、d 的关系列方程组求解,学会运用方程的思想和方法来解决问题,注意公 式的变形及整体计算,以减少计算量.

在等差数列{an}中,已知 a3=7,a5=11,求 an. 【解】 设数列{an}的公差为 d,由题意知

?a1+2d=7, ?a1=3 ? 解得? . ?a1+4d=11, ?d=2 ∴an=3+(n-1)×2=2n+1.

等差数列通项公式的应用 (1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求 a75; (2)已知数列{an}为等差数列,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8. 【思路探究】 (1)由 a15,a60 建立 a1,d 的方程,求出 a1,d 再求 a75.

(2)由 a2+a8 得到 a1 和 d 的关系式,整体代入求解.

【自主解答】

64 a1=15, ? ? ?a1+14d=8, (1)∵? 解得? 4 ?a1+59d=20, d = ? ? 15,

64 4 ∴a75=a1+74d=15+74×15=24. (2)∵a3+a4+a5+a6+a7=450, ∴5a1+20d=450,a1+4d=90, ∴a2+a8=2a1+8d=2×90=180.

1. 利用等差数列的通项公式求出首项 a1 及公差 d,从而可求数列的其他项, 注意方程的思想. 2.利用通项公式求出首项 a1 和公差 d 的关系式,从而可求指定的几项和, 注意整体代入的思想.

在等差数列{an}中,a5=15,a17=39,试判断 91 是否为此数列中的项. 【解】 ?a1+4d=15, ?a1=7, ∵? 解得? ?a1+16d=39, ?d=2,

∴an=7+2(n-1)=2n+5. 令 2n+5=91,∴n=43. ∵n 为正整数,∴91 是此数列中的项.

(对应学生用书第 9 页)

忽视 n 的范围致误 已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3). (1)判断数列{an}是否为等差数列,说明理由. (2)求{an}的通项公式.

【错解】

(1)∵an=an-1+2,∴an-an-1=2,

∴{an}是等差数列. (2)由(1)知 a1=1,d=2,∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 【错因分析】 判断{an}是否为等差数列时,未考虑等式 an-an-1=2 成立

的条件是 n≥3,即不包括 a2-a1,不符合等差数列的定义,进而得{an}的通项公 式,显然不正确. 【防范措施】 【正解】 注意 an-an-1=d 中 n 的范围是 n≥2.

(1)当 n≥3 时,an=an-1+2,

即 an-an-1=2, 而 a2-a1=0 不满足 an-an-1=2(n≥3), ∴{an}不是等差数列. (2)当 n≥2 时,令 a2=b1=1, a3=b2=3,a4=b3=5,?,则{bn}是等差数列, an=bn-1=1+2[(n-1)-1]=2n-3(n≥2). ?1(n=1), 又 a1=1,∴an=? ?2n-3(n≥2).

1.等差数列的通项公式: (1)等差数列的通项公式由首项和公差确定; (2)在等差数列中,已知 a1,n,d,an 这四个量中的三个,可以求得另一个 量. 2.等差数列的判定方法: (1)定义法:an+1-an=d(常数)?{an}是等差数列. (2)通项公式法:an=kn+b(k、b 为常数)?{an}是等差数列.

(对应学生用书第 10 页)

1.数列{an}的通项公式 an=2n+5,则此数列( A.是公差为 2 的等差数列 B.是公差为 5 的等差数列 C.是首项为 5 的等差数列 D.是公差为 n 的等差数列 【解析】 【答案】

)

an=2n+5=2(n-1)+7,∴公差 d=2,故选 A. A )

3 1 5 2.等差数列2,-2,-2,?的第 10 项为( 37 A.- 2 37 C. 2 33 D. 2 3 1 3 由 a1=2,d=-2-2=-2,得 33 B.- 2

【解析】

3 7 an=2+(n-1)(-2)=-2n+2. 7 33 当 n=10 时,a10=-2×10+2=- 2 . 【答案】 B

3.等差数列{an},a1=7,a7=1,则 a5=________. 【解析】 ∴d=-1, ∴a5=a1+4d=3. 【答案】 3 a1=7,a7=1,由 an=a1+(n-1)d 得 1=7+6d,

4.如果数列{an}是等差数列,数列{bn}中,bn=3an+2.求证:{bn}是等差数 列. 【证明】 设等差数列{an}的公差为 d,则 an+1-an=d(n∈N+),

由 bn=3an+2,得 bn+1=3an+1+2, ∴bn+1-bn=3(an+1-an)=3d(n∈N+)是常数. ∴数列{bn}是等差数列.

(对应学生用书第 83 页)

一、选择题 1.等差数列-3,-7,-11,?的通项公式为( A.4n-7 C.4n+1 【解析】 D.-4n+1 ∵a1=-3,d=(-7)-(-3)=-4, B.-4n-7 )

∴an=-3-4(n-1)=-4n+1. 【答案】 D )

2.已知等差数列{an},a1=4,公差 d=2,若 an=4 012,则 n 等于( A.2 004 B.2 006 C.2 005 D.2 003

【解析】 由通项公式 an=a1+(n-1)d, 得 4 012=4+2(n-1), ∴n=2 005. 【答案】 C )

3.已知等差数列{an}的前三项分别是 a-1,a+1,2a,则 a 的值为( A.1 【解析】 【答案】 B.2 C.3 D.4

由定义知,a+1-(a-1)=2a-(a+1),得 a=3. C

4.已知数列{an}是等差数列,若 a3+a11=24,a4=3,则数列{an}的公差等 于( ) A.1 B.3 C.5 D.6 【解析】 设{an}的首项为 a1,公差为 d,

?(a1+2d)+(a1+10d)=24 ∴? ?d=3. ?a1+3d=3

【答案】

B

5.(2013· 黄冈高二检测)已知点(n,an)(n∈N+)都在直线 3x-y-24=0 上, 那么在数列{an}中有( )

A.a7+a9>0 B.a7+a9<0 C.a7+a9=0 D.a7· a9=0 【解析】 ∵(n,an)在直线 3x-y-24=0,

∴an=3n-24,∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3, ∴a7+a9=0. 【答案】 二、填空题 6.已知等差数列 14,16,18,?,那么数列的第 1 001 项为________. 【解析】 由题意知 a1=14,d=2, C

∴an=14+2(n-1)=2n+12, ∵a1 001=2×1 001+12=2 014. 【答案】 2 014

7.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=________. 【解析】 a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,∴d=3,

∴a4+a5+a6=3a1+3d+4d+5d=3a1+12d=6+36=42. 【答案】 42

8.(2013· 台州高二检测)在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n, 点( an, an-1)在直线 x-y- 3=0 上, 则数列{an}的通项公式为 an=________. 【解析】 ∵点( an, an-1)在直线 x-y- 3=0 上,∴ an- an-1- 3= 0,即 an- an-1= 3(n≥2).则数列{ an}是以 3为首项, 3为公差的等差数 列, ∴ an= 3+ 3(n-1)= 3n,∴数列{an}的通项公式为 an=3n2. 【答案】 三、解答题 9.已知数列{an}的通项公式是 an=7n+2,求证:数列{lg an}是等差数列. 【证明】 设 bn=lg an, 3n2

则 bn+1-bn=lg an+1-lg an =(n+3)lg 7-(n+2)lg 7=lg 7(常数). 所以数列{bn}是等差数列, 即数列{lg an}是等差数列. 10.已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且 a1=3,a3=9,求数 列{an}的通项公式. 【解】 设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d,则

log2(a3-1)-log2(a1-1)=2d.代入 a1=3,a3=9 得, log28-log22=2d,∴d=1. ∴log2(an-1)=log2(a1-1)+(n-1)×1=n. ∴an-1=2n,∴an=2n+1. 11.在等差数列{an}中,已知 a4=70,a21=-100. (1)求首项 a1 与公差 d,并写出通项公式; (2){an}中有多少项属于区间[-18,18]? 【解】 (1)由题意,得 an=a1+(n-1)d.

?70=a1+(4-1)d, ∴? 得 a1=100,d=-10. ?-100=a1+(21-1)d, ∴通项公式 an=100-10(n-1)=-10n+110. (2)由题意得-18≤-10n+110≤18, 解得 9.2≤n≤12.8, ∵n∈N+,∴n=10,11,12. ∴属于区间[-18,18]的项有 3 项,它们是 a10,a11,a12.

(教师用书独具)

已知 f(x)=

3x ,数列{xn}满足 xn=f(xn-1)(n≥2 且 n∈N+). x+3
n

1 (1)求证:{x }是等差数列; 1 (2)当 x1=2时,求 x100. 【思路探究】 寻找xn与 1 1 → 求x - 的值 → xn-1的关系 xn-1 n

1 1 判定结论成立 → 求x → 求x → 求x100 n 100 【自主解答】 3xn-1 (1)∵xn=f(xn-1)= (n≥2,n∈N+), xn-1+3

1 xn-1+3 1 1 ∴x = =3+ , 3xn-1 xn-1 n 1 1 1 ∴x - =3. xn-1 n 1 1 ∴数列{x }为等差数列,公差为3.
n

1 1 1 (2)x =x +(n-1)· 3,
n 1

1 1 1 ∵x1=2,∴x =2+(100-1)· 3=35.
100

1 ∴x100=35.

1.本例中{xn}本身不是等差数列,要证它各项的倒数成等差数列,应通过 1 1 变形得到 - =d(常数). xn+1 xn 1 2.本题属于“生成数列问题” ,关键是把x 看成一个整体.另外,在遇到一
n

题多问的题目时,解答后面的问题要注意应用前面的结论.

数列{an}各项的倒数组成一个等差数列,若 a3= 2-1,a5= 2+1,求 a11.

【解】

1 设 bn=a ,则{bn}为等差数列,设公差为 d.
n 3

1 由已知得 b3=a = 1 b5=a =
5

1 = 2+1, 2-1

1 = 2-1, 2+1

?b1+2d= 2+1, ∴? ?b1+4d= 2-1, ?b1=3+ 2, 解得? ?d=-1. ∴b11=b1+10d= 2-7. 1 ∴a11=b =
11

-7- 2 1 = 47 . 2-7 等差数列的性质

第 2 课时

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 理解和掌握等差数列的性质,能选择方便快捷的解题方法,掌握等差中项的 概念及其应用. 2.过程与方法 培养学生观察、归纳能力,在学习过程中体会类比思想、数形结合思想. 3.情感、态度与价值观 通过师生的合作学习, 增强学生团队协作能力的培养,并引导学生从不同角 度看问题,解决问题. ●重点难点

重点:等差数列的性质、等差中项. 难点:等差数列性质的应用及实际应用.

(教师用书独具)

●教学建议 本学案针对本节课的重点、难点设计了例 1、例 2、例 3. 例 1 主要是等差数列性质的应用,通过例 1 进一步了解等差数列的性质,加 深性质的应用. 例 2 是等差中项问题, 通过例 2 让学生会求等差中项及利用等差中项解决问 题. 例 3 是等差数列的实际应用, 通过例 3 让学生认识到数列在实际生活中的应 用,提高学生运用所学知识分析、解决实际问题的能力. ●教学流程 创设情景,提出3个问题 ? ? ? ? ? 通过引导回答所提出问题,理解等差数列的图像、增减性及等差中项 通过例1及变式训练,使学生进一步掌握等差数列的性质 通过例2及变式训练,使学生求等差中项及利用等差中项解决问题 通过例3及变式训练,让学生认识本数列在实际生活中的应用 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正 (对应学生用书第 10 页)

1.会画等差数列的图像,掌握其性质(重点). 2.掌握等差中项的概念,会求两数的等差中 课标解读 项(重点). 3. 能解决与等差数列有关的简单的应用题(难 点).

等差数列的图像及增减性 【问题导思】 1.(1)首项为-1,公差为 1 的等差数列-1,0,1,2,3,4,5?的图像如 图(1)所示. (2)首项为 3,公差为-1 的等差数列 3,2,1,0,-1,-2,-3?的图像 如图(2)所示. (3)首项为 2,公差为 0 的等差数列(常数列)2,2,2,2,?的图像如图(3)所 示.

(1)

(2) 图 1-2-1

(3)

观察上述等差数列的图像,它们有什么共同特征? 【提示】 它们的图像都是呈直线状的一群孤立的点.2.观察上述等差数列的 图像,它们的增减性与公差 d 有何关系? 【提示】 当 d>0 时图像上升,数列递增;

当 d<0 时图像下降,数列递减; 当 d=0 时图像不变化,常数列. 1.等差数列的图像 由 an=dn+(a1-d), 可知其图像是直线 y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点, 其中公差 d 是该直线的斜率. 2.等差数列的增减性 对于 an=dn+(a1-d),

1.当 d>0 时,{an}为递增数列; 2.当 d<0 时,{an}为递减数列; 3.当 d=0 时,{an}为常数列.

等差中项 【问题导思】 等差数列中任意相邻三项 a,b,c,试问 a,b,c 有何关系? 【提示】 a+c ∴b= 2 . 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a、A、b 成等差数列,那么 A 叫作 a a+b 与 b 的等差中项,且 A= 2 . ∵b-a=c-b,

(对应学生用书第 11 页)

等差数列的性质 在公差为 d 的等差数列{an}中, (1)已知 a2+a3+a23+a24=48,求 a13; (2)已知 a2+a3+a4+a5=34,a2· a5=52,求 d. 【思路探究】 表示已知的条件? 【自主解答】 法一 (1)化成 a1 和 d 的方程如下: (1)如何寻找 a2+a3+a23+a24 与 a13 的关系?(2)如何用 d 来

(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48, 即 4(a1+12d)=48. ∴4a13=48.∴a13=12. (2)化成 a1 和 d 的方程如下:

?(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34, ? (a1+4d)=52, ?(a1+d)· ?a1=1 ?a1=16 解得? ,或? , ?d=3 ?d=-3 ∴d=3 或-3. 法二 (1)根据已知条件 a2+a3+a23+a24=48,及 a2+a24=a3+a23=2a13,

得 4a13=48,∴a13=12. (2)由 a2+a3+a4+a5=34,及 a3+a4=a2+a5 得 2(a2+a5)=34, 即 a2+a5=17. a5=52, ?a2· ?a2=4, ?a2=13, 解? 得? 或? ?a2+a5=17, ?a5=13, ?a5=4. ∴d= a5-a2 13-4 a5-a2 4-13 = 3 =3 或 d= = 3 =-3. 5-2 5-2

对于等差数列的基本运算问题,一般有两种方法,一是建立基本量 a1 和 d 的方程,通过解方程组求解;一是利用等差数列的基本性质求解.等差数列的常 用性质有: 性质 1:通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+). 性质 2:若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak+al= am+an. 性质 3:若{an}是等差数列,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N+)组成公差为 md 的等差数列.

在等差数列{an}中,若 a1+a2=3,a3+a4=7,求 a5+a6. 【解】 ∵a1+a5=2a3,a2+a6=2a4,

∴(a1+a5)+(a2+a6)=2(a3+a4), 即(a1+a2)+(a5+a6)=2(a3+a4), ∴3+(a5+a6)=2×7, ∴a5+a6=11.

等差中项问题 an+1 n 在数列{an}中,a1=0,当 n≥2 时, a = . n-1 n 求证:数列{an}是等差数列. 【思路探究】 【自主解答】 通过证明 an+2+an=2an+1(n∈N+)来证明. an+1 n 当 n≥2 时,由 a = ,得(n-1)an+1=nan, n-1 n

∴nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,nan+2-(n-1)an+1=(n+1)an+1-nan, 整理得,nan+2+nan=2nan+1, ∴an+2+an=2an+1, 又∵a3-a2=2a2-a2=a2=a2-0=a2-a1, ∴数列{an}是等差数列.

1.利用等差中项判断等差数列是一种重要的方法.一般地,若证明三项成 等差数列,则多采用等差中项. 2.证明一个数列是等差数列的方法 (1)定义法: an-an-1=d(常数)(n≥2)?数列{an}是等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?数列{an}是等差数列.

已知 a、b、c 成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b 也成等差数列. 【证明】 ∵a、b、c 成等差数列,

∴2b=a+c, ∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c =a+(a+c)+c =2(a+c), ∴b+c,c+a,a+b 成等差数列.

等差数列的实际应用 某公司经销一种数码产品,第 1 年可获利 200 万元.从第 2 年起,由于市

场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律,如果 公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏 损? 【思路探究】 由题设知第 1 年获利 200 万,第 2 年获利 180 万元,第 3

年获利 160 万元, ?每年获利构成怎样的数列?当 an 取何值时该公司发现亏损? 【自主解答】 设从第 1 年起,第 n 年的利润为 an,则由题意知 a1=200,

an-an-1=-20(n≥2,n∈N+).所以每年的利润 an 可构成一个等差数列{an},且 公差 d=-20.从而 an=a1+(n-1)d=220-20n. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损,由 an=220-20n<0,得 n>11, 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损.

1.抽象出等差数列模型是解答本题的关键. 2.在实际问题中,若涉及到一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列 方法解决. 若这组数依次成直线上升或递减, 则可考虑利用等差数列方法解决. 在 利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.

一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1 600 m, 已知此地每升高(垂直高度)100 m,气温降低 0.7 ° C.某时刻山脚下的气温为 26 ° C,求此时山顶的气温. 【解】 从山脚依次每升高 100 m,对应的气温组成等差数列记为{an},则

a1=26,d=-0.7. ∴n=1 600÷ 100+1=17. ∵an=26+(n-1)· (-0.7), ∴a17=26+16×(-0.7)=14.8(° C), 即此时山顶的气温为 14.8 ° C.

(对应学生用书第 12 页)

等差中项的妙用 (12 分)在-2 和 14 之间顺次插入三个数 a, b, c, 使这 5 个数成等差数列, 求插入的这三个数. 【思路点拨】 插入的三个数使 5 个数成等差数列,于是 b 是-2 与 14 的

等差中项,a 是-2 与 b 的等差中项,c 是 b 与 14 的等差中项,利用等差中项的 特点,可迅速作答. 【规范解答】 ∴b= 依题意,b 是-2 与 14 的等差中项.

-2+14 =6.6 分 2

又 a 是-2 与 b 的等差中项,c 是 b 与 14 的等差中项, ∴a= -2+6 6+14 2 =2,c= 2 =10.11 分

故插入的三个数为 2,6,10.12 分

巧妙运用等差数列中项,能减少运算量,使问题简单化.

1.等差数列增减性的判断方法:可利用公差 d 的符号来判断. 2.应用等差数列的性质,可使有关等差数列问题的解答变得简捷. 3.在利用等差数列的性质解题时,注意函数与方程思想,转化与化归思想 及整体代入方法的应用.

(对应学生用书第 13 页)

1.已知等差数列{an}中,a6+a10=20,a4=2,则 a12 的值是( A.26 【解析】 B.20 C.18 D.28

)

由题意得 a6=a4+2d,a10=a4+6d,所以 2+2d+2+6d=20,

得 d=2,故 a12=a4+8d=2+8×2=18. 【答案】 C )

2.lg( 3- 2)与 lg( 3+ 2)的等差中项为( A.0 B.lg 3- 2 3+ 2

C.lg(5-2 6) D.1 【解析】 lg( 3- 2)+lg( 3+ 2) = 2

lg[( 3- 2)( 3+ 2)] lg1 = 2 =0,故选 A. 2 【答案】 A

3.已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则 a5=________. 【解析】 ∵a3+a8=a5+a6=22.

又 a6=7,∴a5=15. 【答案】 15

4.在等差数列{an}中,a2+a3+a10+a11=36,求 a5+a8 和 a6+a7. 【解】 ∵a2+a11=a3+a10=a5+a8=a6+a7,

a2+a3+a10+a11 36 ∴a5+a8=a6+a7= = 2 =18. 2

(对应学生用书第 85 页)

一、选择题 1.若等差数列{an}的公差为 d,则{3an}是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 3d 的等差数列 C.非等差数列 D.无法确定 【解析】 【答案】 设 bn=3an,则 bn+1-bn=3an+1-3an=3(an+1-an)=3d. B )

2.(2013· 德州高二检测)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2 +?+a7=( A.14 【解析】 ) B.21 C.28 D.35

∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4.

又 a1+a2+?+a7=7a4=7×4=28,故选 C. 【答案】 C

3.(2013· 哈尔滨高二检测)等差数列{an}首项 a1=1,公差 d=3,当 an=298 时,序号 n 等于( )

A.96 B.99 C.100 D.101 【解析】 由已知 a1=1,d=3 得 an=1+3(n-1)=3n-2.又 an=298.∴298 =3n-2,解得 n=100,故选 C. 【答案】 4.a= A. 3 C )

1 1 ,b= ,则 a、b 的等差中项为( 3+ 2 3- 2 B. 2 3 C. 3 2 D. 2

【解析】 =

1 1 + 3+ 2 3- 2 a+b = 2 2

( 3- 2)+( 3+ 2) = 3. 2 A

【答案】

5.数列{an}满足 3+an=an+1(n∈N+)且 a2+a4+a6=9,则 log6(a5+a7+a9) 的值是( ) 1 C.2 D.2

1 A.-2 B.-2 【解析】

由已知可得{an}是等差数列,公差 d=3,

∴a5+a7+a9=a2+a4+a6+9d=36, ∴log6(a5+a7+a9)=2. 【答案】 二、填空题 6.在 a 和 b(a≠b)两个数之间插入 n 个数,使它们与 a、b 组成等差数列, 则该数列的公差为________. 【解析】 【答案】 b=a+(n+2-1)d,则 d= b-a n+1 b-a . n+1 C

7.在等差数列{an}中,若 a3-a4+a5-a6+a7=100,则 a5=________. 【解析】 a3+a7=a4+a6,

则 a3-a4+a5-a6+a7=(a3+a7)-(a4+a6)+a5 =a5=100. 【答案】 100

8. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容 积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容 积为________升. 【解析】 设所构成的等差数列为{an},则

?a1+a2+a3+a4=3, ? ?a7+a8+a9=4, 4 由 a7+a8+a9=4 得 3a8=4,∴a8=3. 由 a1+a2+a3+a4=3 得 2(a1+a4)=3, 3 ∴a1+a4=2.

3 7 ∴(a8-7d)+(a8-4d)=2得 d=66. 4 7 67 ∴a5=a8-3d=3-3×66=66. 【答案】 三、解答题 9.若三个数 a-4,a+2,26-2a,适当排列后构成递增等差数列,求 a 的 值和相应的数列. 【解】 当 a-4 是等差中项时,2(a-4)=(a+2)+(26-2a), 67 66

解得 a=12,相应的数列为:2,8,14; 当 a+2 是等差中项时,2(a+2)=(a-4)+(26-2a), 解得 a=6,相应的数列为:2,8,14; 当 26-2a 是等差中项时,2(26-2a)=(a-4)+(a+2), 解得 a=9,相应的数列为:5,8,11. 3 10.已知 f(x)=x2-2x-3,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-2,a3=f(x), 求: (1)x 的值; (2)通项 an. 【解】 (1)由 f(x)=x2-2x-3,

得 a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x, a3=x2-2x-3,又因为{an}为等差数列, 所以 2a2=a1+a3. 即-3=x2-4x+x2-2x-3. 解得 x=0 或 x=3. 3 (2)当 x=0 时,a1=0,d=a2-a1=-2, 3 此时 an=a1+(n-1)d=-2(n-1); 3 当 x=3 时,a1=-3,d=a2-a1=2,

3 此时 an=a1+(n-1)d=2(n-3). 11.某产品按质量分 10 个档次,生产最低档产品的利润是 8 元/件,每提高 一个档次,利润增加 2 元/件,但产量减少 3 件.在相同的时间内,最低档次(设 为第一档次)的成品可生产 60 件,则在相同的时间内,生产第几档次的产品可获 得最大利润? 【解】 设第 n 档次产品的产量为 an,第 n 档次产品的利润为 bn,则 an=

60-3(n-1)=63-3n, bn=8+2(n-1)=2n+6(1≤n≤10,n∈N+).生产第 n 档次产品可获利 f(n) =anbn=(63-3n)· (2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864,所以当 n=9 时,f(n)取得最大值 864. 即生产第 9 档次的产品可获得最大利润.

(教师用书独具)

甲乙两人连续 6 年对某县农村养鸡规模进行调查,提供了两个不同的信息 图, 甲调查表明: 从第 1 年平均每个养鸡场出产 1 万只肉鸡上升到第 6 年平均每 个养鸡场出产 2 万只肉鸡. 乙调查表明:由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年的 10 个. (1)第 2 年养鸡场个数及全县出产肉鸡的只数各是多少? (2)到第 6 年这个县出产的肉鸡比第 1 年出产的肉鸡数增加了还是减少了?

【思路探究】 首先认真阅读题目所给的条件,提取有效信息,然后根据给 出的数据和图像建立等差数列,进行求解. 【自主解答】 (1)设第 n 年平均每个养鸡场出肉鸡 an 万只,养鸡场 bn 个,

由题意知,数列{an},数列{bn}均为等差数列(其中 n∈N+且 1≤n≤6). ∵a1=1,a6=2,b1=30,b6=10,

∴an=0.2n+0.8,bn=-4n+34, ∴a2=0.2×2+0.8=1.2, b2=-4×2+34=26, ∴a2b2=1.2×26=31.2, 即第 2 年养鸡场 26 个,全县出产肉鸡 31.2 万只. (2)由(1)知 a6=2,b6=10, ∴a6b6=2×10=20, 而 a1b1=1×30=30, 所以 a6b6<a1b1, 即第 6 年出产的肉鸡数比第 1 年出产的肉鸡数减少了.

1.本题由图像特征得到数列{an}与{bn}分别是等差数列是求解的关键. 2.建立等差数列模型后,要确定等差数列的通项公式,并弄清楚实际问题 所要求的是等差数列的什么问题.

《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有 一道这样的题目:把 100 个面包分给五人,使每人所得面包数成等差数列,且使 1 最大的三份之和的3是较小的两份之和,则最小 1 份的大小是________. 【解析】 +a5=100, ∴5a3=100, 即 a3=20, ∴a1+2d=20,① 1 由3(a3+a4+a5)=a1+a2,得 a1=2d,② ①②联立,解得 a1=10. 【答案】 2.2 10 设这五人所得面包数成递增的等差数列{an},则 a1+a2+a3+a4

等差数列的前 n 项和

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 掌握等差数列前 n 项和公式,能熟练应用等差数列前 n 项和公式. 2.过程与方法 通过推导公式的过程, 使学生体会从特殊到一般的研究方法,了解倒序相加 求和法原理. 3.情感、态度与价值观 获得发现的成就感,逐步养成科学严谨的学习态度,提高代数推理的能力. ●重点难点 重点: 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式, 学会用公式解决一些实际问题. 难点:等差数列前 n 项和公式推导思路的获得.

(教师用书独具)

●教学建议 教材从历史上比较有名的求和例子:1+2+3+?+100 的高斯的算法出发, 一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣, 另一方面使学生发现等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律.高斯的算法比较巧妙,蕴 涵有求等差数列前 n 项和的一般的规律性.教学时,应给学生提供充裕的时间和 空间,让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律. ●教学流程

创设问题情景,提出问题“1+2+?+100=?如何简便计算” ? ? ? ? ? 通过引导学生回答问题,引出等差数列前n项和公式 通过例1及互动探究,使学生熟练前n项和公式的基本运算 通过例2及变式训练,让学生掌握前n项和性质的应用 通过例3及变式训练,使学生认识前n项和在实际中的应用 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 13 页)

1.理解等差数列前 n 项和的推导方法(重点). 课标解读 2.掌握等差数列的前 n 项和公式(重点). 3.能利用等差数列的前 n 项和公式解决实际 问题(难点).

等差数列的前 n 项和公式 【问题导思】 200 多年前,德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题:1+2+ 3+?+100=? 我们都知道高斯很快便计算出来了, 他是怎样算出来的呢?从这个算法中得 到启发,如何计算 1+2+3+?+n 呢? 【提示】 S=1+2+3+?+100=100+99+?+3+2+1,

2S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+?+(100+1) =101×100, S100=101×50=5 050.

Sn=1+2+?+(n-1)+n=n+(n-1)+?+2+1,

2Sn=(1+n)+(2+(n-1))+?+((n-1)+2)+(n+1)=(1+n)· n,可知 Sn=1 +2+3+?+n= n(n+1) . 2 首项、末项与项数 n(a1+an) Sn= 2 首项、公差与项数 n(n-1) Sn=na1+ d 2

已知量 求和公式

(对应学生用书第 13 页)

等差数列前 n 项和的基本运算 等差数列{an}中,a10=30,S20=620. (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n. 【思路探究】 (1)已知 a10,S20 可以得出什么量?欲求 an 需要哪些量?

(2)Sn 中含有几个量?已知了哪些量? 【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,

∵a10=30,S20=620. a +9d=30, ? ? 1 ∴? 1 20a1+2×20×19d=620, ? ? ?a1=12, 解得? ∴通项公式为 an=2n+10. ?d=2,

1 (2)Sn=na1+2n(n-1)· d=n2+11n. ∵Sn=242,∴n2+11n=242, 解得 n=11 或 n=-22(舍去),∴n=11.

1.在等差数列{an}中,a1 和 d 是两个基本量,用它们可以表示数列中的任 何一项.利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式,列方程组解 a1 和 d,是解等 差数列问题的基本方法. 2.由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知,若已知 a1、d、n、an、Sn 中三个便可求出其余两个,即“知三求二” .

本例中,若条件改为“a2+a5=19,S5=20” .如何求 an? 【解】 设等差数列的公差为 d,

∵a2+a5=19,S5=20, 2a +5d=19, ? ? 1 ?a1=-18, ∴? 解得? 1 5a + ×5×4d=20, ?d=11. ? ? 1 2 ∴an=a1+(n-1)d=-18+(n-1)×11=11n-29, 即 an=11n-29.

等差数列前 n 项和性质的应用 一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最 后一项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差以及项数. 【思路探究】 有了等差数列的奇数项之和与偶数项之和的值及最后一项与 第一项之差,要求 a1,d,n 应怎样应用条件求解? 【自主解答】
奇 偶

法一

设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*),

S =24, ? ?S =30, 由已知得? 21 ? ?a2k-a1= 2 ,

S -S奇=6, ? ? 偶 ∴? 21 a2k-a1= 2 , ? ? kd=6, ? ? 即? 21 (2k-1)d= 2 , ? ? k=4, ? ? 解得? 3 d=2, ? ? 1 因为 S2k=2ka1+2×2k(2k-1)d=8a1+42. 所以 8a1+42=54, 3 故 a1=2, 3 3 所以数列的首项是2,公差是2,项数是 8. 法二 设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*),根据题意,得 1
1 2k-1

2k(a +a )=24, ? ? ?1 ?S =30, 即?2k(a +a )=30, ? 21 ? ?a -a = 2 , ?(2k-1)d=21, ? 2 S奇=24,


2

2k

2k

1

k[a1+(k-1)d]=24, ? ?k(a1+kd)=30, 即? 21 ? ( 2 k - 1 ) d = ? 2,

? ? 3 解得? d=2, ? ?k=4.

3 a1=2,

3 3 所以此数列首项为2,公差为2,项数为 8.

1.本题解法一的解题关键是应用等差数列的性质,当 n 为偶数时,S 偶-S



nd =2. 2.对于等差数列前 n 项和 Sn 的性质应用问题,其思路灵活又多变,使用性

质解题,既灵活又高效,常用性质如下: (1)若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?,仍是等差数列. Sn (2)若{an}为等差数列,则{ n }也是等差数列. (3)等差数列的项数为 2n(偶数),则 S2n=n(a1+a2n),S 偶-S 奇=nd; (4)若项数为 2n-1(奇数),则 S2n-1=(2n-1)· an,S 奇-S 偶=an.

一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和. 【解】 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,则 Sn=na1 n(n-1) + d. 2 10×9 ? 10 a + 1 ? 2 d=100 由已知得? 100×99 ? ?100a1+ 2 d=10 11 ①×10-②,整理得 d=-50, 1 099 代入①,得 a1= 100 . 110×109 ∴S110=110a1+ d 2 1 099-109×11 1 099 110×109 11 =110× 100 + × ( - ) = 110 × ( )=-110, 2 50 100 ∴前 110 项之和为-110. ① ②

等差数列前 n 项和的实际应用 某电站沿一条公路竖立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是 50 m,最远 一根电线杆距离电站 1 550 m,一汽车每次从电站运出 3 根电线杆供应施工,若 该汽车往返运输总行程为 17 500 m. 共竖立多少根电线杆?第一根电线杆距离电 站多少米?

【思路探究】

分析题意 → 设未知数列关系式 →

转化为数列问题 → 利用前n项和求解 【自主解答】 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数 列,记为{an}. 则 an=1 550×2=3 100,d=50×3×2=300, Sn=17 500, 由等差数列的通项公式及前 n 项和公式, ?a1+(n-1)×300=3 100, ? 得? n(n-1) na1+ ×300=17 500. ? 2 ? 由①得 a1=3 400-300n. 代入②得 n(3 400-300n)+150n(n-1)-17 500=0, 整理得 3n2-65n+350=0, 35 解得 n=10,或 n= 3 (舍去), 所以 a1=3 400-300×10=400. 故汽车拉了 10 趟, 共拉电线杆 3×10=30(根), 最近的一趟往返行程 400 m, 1 第一根电线杆距离电站2×400-100=100(m). 答:共竖立了 30 根电线杆,第一根电线杆距离电站 100 m. ① ②

1.本题关键是得到汽车由近及远逐趟往返运输行程组成一个等差数列. 2. 解有关数列的应用问题时,应首先通过对实际问题的研究建立数学模型, 然后求出符合实际的答案,可以分以下几步考虑:(1)问题中涉及的数列{an}有何 特征?(2)是求数列{an}的通项还是求前 n 项和?(3)列出方程(组); (4)怎样求解? (5)得到答案,并转化为实际问题的解.

某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元,以后 每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元.若扣除投资和各种装 修费,则从第几年开始获取纯利润?

【解】

设第 n 年获取利润为 y 万元,

n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等 差数列, 共 n+ n(n-1) ×2=n2, 2

因此利润 y=30n-(81+n2),令 y>0, 解得 3<n<27, 所以从第 4 年开始获取纯利润.

(对应学生用书第 15 页)

忽视变量的实际意义致误 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵 树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树 坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(米). 【错解】 总和为 l=2[(i-1)+(i-2)+?+2+1+1+2+?+(19-i)+(20-i)]×10 =(i2-21i+210)×20 21 399 =[(i- 2 )2+ 4 ]×20 ∴i=11.5 时,l 最小值=1 995. 【答案】 1 995 (1)不能正确建立路程总和 l 与第 i 号坑的 i 之间的函数关系 设树苗集中放臵在第 i 号坑旁边,则 20 名同学往返所走的路程

【错因分析】

是求解受挫的根本原因. (2)未注意 i 的实际意义是出错的另一原因. 【防范措施】 (1)只有认真分析过程,才能发现路程总和 l 与第 i 号坑的 i

之间的函数关系, 此方法可称为过程分析法, 它是分析应用问题的一种有效方法.

(2)解决应用问题一定要注意变量的实际意义. 【正解】 总和为 l=2[(i-1)+(i-2)+?+2+1+1+2+?+(19-i)+(20-i)]×10 21 399 =(i2-21i+210)×20=[(i- 2 )2+ 4 ]×20, 即 i=10 或 11 时,l 最小值=2 000. 【答案】 2 000 设树苗集中放臵在第 i 号坑旁边,则 20 名同学往返所走的路程

解决等差数列前 n 项和基本方法 (1)“知三求一”型: 主要指在公式 an = a1 + (n - 1)d n(n-1) d 2 出第四个. (2)“知三求二”型: 在 a1,an,Sn,n,d 五个量中,已知其中的三个量,可以由通项公式和前 n 项和公式建立方程组,即可以求出另外的两个. ①, Sn = n(a1+an) 2 ②, Sn = na1 +

③中,每一个公式都分别含有四个量,已知其中的三个,即可以求

(对应学生用书第 16 页)

1.在等差数列{an}中,已知 a1=3,a9=11,则前 9 项和 S9=( A.63 【解析】 【答案】 B.65 C.72 D.62

)

9(a1+a9) 9×(3+11) S9= = =63. 2 2 A

2.在等差数列{an}中,已知 a1=2,d=2,则 S20=( A.230 B.420 C.450 D.540 【解析】 【答案】

)

20×19 20×19 S20=20a1+ 2 d=20×2+ 2 ×2=420. B

3.(2013· 济南高二检测)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则 它的前 10 项的和 S10=( )

A.138 B.135 C.95 D.23 【解析】 ∵数列{an}为等差数列,

∴a2+a4=2a3=4,a3+a5=2a4=10, ∴a3=2,a4=5. ∴d=a4-a3=3,a1=a3-2d=-4. n(n-1) 10×9 ∴S10=na1+ d = 10 × ( - 4) + 2 2 ×3=95. 【答案】 C

4.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项公式 an; (2)若 Sn=242,求 n. 【解】 (1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,

?a1+9d=30 得方程组? , ?a1+19d=50 ?a1=12 解得? , ?d=2 所以 an=2n+10. n(n-1) (2)由 Sn=na1+ d,Sn=242, 2 得 12n+ n(n-1) ×2=242. 2

解得 n=11 或 n=-22(舍去).所以 n=11.

(对应学生用书第 87 页)

一、选择题 1. 已知{an}是等差数列, a10=10, 其前 10 项和 S10=70, 则其公差 d 为( 2 A.-3 【解析】 1 B.-3 1 C.3 2 D.3 )

?a1+9d=10, ?a10=10, ? ∵? ∴? 10×9 ?S10=70, ?10a1+ 2 d=70, ?

a =4, ? ? 1 解得? 2 故选 D. d=3, ? ? 【答案】 D

2. (2013· 合肥高二检测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a4=15, S5=55, 则过点 P(3,a3),Q(10,a10)直线的斜率为( A.4 B.-28 C.-4 D.-14 【解析】 5(a1+a5) ∵S5= =5a3=55,∴a3=11, 2 )

∴公差 d=a4-a3=15-11=4, ∴直线 PQ 的斜率 k= 【答案】 A a10-a3 =4. 10-3

3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4+a15 的值为常数,则下列各数 中也是常数的是( A.S7 B.S8 ) C.S13 D.S15

【解析】

由 a2 +a4+ a15 是常数,可得 a1+ 6d = a7 是常数,所以 S13 =

13(a1+a13) =13a7 是常数,故选 C. 2 【答案】 C

4.已知无穷项等差数列{an}中,它的前 n 项和为 Sn,且 S7>S6,S7>S8,那么 ( ) A.{an}中 a7 最大 B.{an}中 a3 或 a4 最大

C.当 n≥8 时,an<0 D.一定有 S3=S11 【解析】 【答案】 由 S7>S6 知 a7>0,由 S7>S8 知 a8<0 故 d<0,∴当 n≥8 时 an<0. C

5.(2013· 佛山高二检测)在项数为 2n+1 的等差数列{an}中,所有奇数项的 和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n=( A.9 B.10 C.11 【解析】 ∴S 奇= D.12 )

∵等差数列有 2n+1 项,

(n+1)(a1+a2n+1) n(a2+a2n) , S . 偶= 2 2

又∵a1+a2n+1=a2+a2n, ∴ S奇 n+1 165 = n =150,∴n=10. S偶 B

【答案】 二、填空题

6.(2013· 苏州高二检测)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a6=100,则 S11 =________. 【解析】 【答案】 11(a1+a11) 11×2a6 S11= = 2 =11a6=1 100. 2 1 100

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=10,S6=40,则 a7+a8+a9= ________. 【解析】 由等差数列性质知 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列.

S3=10,S6-S3=40-10=30, ∴S9-S6=2(S6-S3)-S3=50, ∴a7+a8+a9=S9-S6=50. 【答案】 50

8.设 Sn 为等差数{an}的前 n 项和,S4=14,S10-S7=30,则 S9=________.

4(4-1) 【解析】 设等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 由题意, 得 4a1+ 2 d=14, 10(10-1) 7(7-1) [10a1+ d]-[7a1+ d]=30, 2 2 联立解得 a1=2,d=1, 9(9-1) 所以 S9=9×2+ ×1=54. 2 【答案】 三、解答题 9.在等差数列{an}中, (1)已知 a2=1,S9=-45,求 an; (2)已知 a3+a8=-12,求 S10. 【解】 9(9-1)d (1)由 S9=-45 得 9a1+ =-45, 2 54

∴a1+4d=-5,① 由 a2=1 得 a1+d=1,② 由①②得 a1=3,d=-2, ∴an=3-2(n-1)=-2n+5. 10(a1+a10) 10(a3+a8) 10×(-12) (2)S10= = = =-60. 2 2 2 10. 已知等差数列{an}, a1=29, S10=S20, 问这个数列的前多少项的和最大? 并求最大值. 【解】 法一 由 S20=S10 得 2a1+29d=0,

又 a1=29,∴d=-2, ∴an=29+(-2)(n-1)=31-2n, n(a1+an) ∴Sn= =-n2+30n 2 =-(n-15)2+225, ∴当 n=15 时,Sn 最大,最大值为 225. 法二 由 S20=S10 得 a11+a12+?+a20=0,

即 5(a15+a16)=0(*),

∵a1=29>0,∴a15>0,a16<0, 故当 n=15 时,Sn 最大, 2a1+29d=0,∴d=-2, ∴a15=29+(-2)(15-1)=1, 15(29+1) ∴Sn 的最大值为 S15= =225. 2 11. 甲、 乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动, 甲第 1 min 走 2 m, 以后每分钟比前 1 min 多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、 乙到达对方起点后立即折返, 甲继续每分钟比前 1 min 多走 1 m, 乙继续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 【解】 2n+ (1)设 n min 后第一次相遇,依题意,有

n(n-1) +5n=70. 2

整理得 n2+13n-140=0,解得 n=7,n=-20(舍去). 第一次相遇是在开始运动后 7 min. (2)设 m min 后第二次相遇,依题意有 2m+ 得 m2+13m-6×70=0. 解得 m=15,m=-28(舍去). ∴第二次相遇是在开始运动后 15 min. m(m-1) +5m=3×70,整理 2

(教师用书独具)

在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,求 Sn 的最大值. 【思路探究】 解答本题可通过两条途径.一是利用 Sn 是 n 的二次函数关

系来考虑;二是通过考察数列的单调性来解决.

【自主解答】

法一

9×8 由题意知:S9=9a1+ 2 d,

17×16 S17=17a1+ 2 d. ∵a1=25,S9=S17,即 9a1+36d=17a1+8×17d, 解得 d=-2, n(n-1) ∴Sn=25n+ (-2)=-n2+26n, 2 即 Sn=-(n-13)2+169, ∴当 n=13 时,Sn 最大,最大值为 S13=169. 法二 因为 a1=25>0,S9=S17,所以数列{an}是递减等差数列,若使前 n

?an≥0, 项和最大,只需解? 即可得出 n. ?an+1≤0 ∵a1=25,S9=S17, 9×8 17×16 ∴9×25+ 2 d=17×25+ 2 d,解得 d=-2. ∴an=25+(n-1)(-2)=-2n+27, ?-2n+27≥0, ?n≤13.5, ∴? ?? ?-2(n+1)+27≤0, ?n≥12.5, 又 n∈N+,∴n=13. 即前 13 项和最大,由等差数列的前 n 项和公式可求得 S13=169.

1.法一利用 Sn 与 n 的二次函数关系,归纳为求二次函数的最值问题,不过 要注意自变量 n 是正整数; 所以不一定是在顶点处取得最值,而是在离顶点最近 的横坐标取整数的点处取得最值. 法二是从研究数列的单调性及项的正负进而研 究前 n 项和 Sn 的最大值,法二更具有一般性. 2.等差数列前 n 项和的最值问题基本类型:①a1>0,d<0 时,求 Sn 的最 大值;②a1<0,d>0 时,求 Sn 的最小值.

等差数列{an}中,a1=-8,a10=10,求前 n 项和 Sn 的最小值. 【解】 法一 因为{an}是等差数列,设公差为 d,由通项公式得

a10=a1+(10-1)d=-8+9d=10,解得 d=2. 所以前 n 项和为 n(n-1)d n(n-1)d Sn=na1+ =- 8 n + =n2-9n 2 2 9?2 81 ? =?n-2? - 4 . ? ? 因为 n 为自然数,所以当 n=4 或 5 时,Sn 的最小值为 42-9×4=-20. 法二 因为{an}是等差数列,设公差为 d,由通项公式得

a10=a1+(10-1)d=-8+9d=10,解得 d=2, 所以 an=a1+(n-1)d=-8+2(n-1)=2n-10. 因为 d=2,所以数列为递增数列,且 a5=0, (-8+0) 所以当 n=4 或 5 时,Sn 取得最小值,S5= ×5=-20. 2 所以当 n=4 或 5 时,Sn 的最小值为-20. § 3等比数列 3.1 第 1 课时 等比数列 等比数列

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 掌握等比数列的概念和通项公式,理解等比数列的通项公式的推导过程. 2.过程与技能 通过与等差数列的通项公式的推导过程类比,探索等比数列的通项公式,体 会类比思想. 3.情感、态度与价值观

通过公式的推导与简单应用,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,敢于探 索、创新的学习品质. ●重点难点 重点:等比数列的概念和通项公式. 难点:等比数列的判定.

(教师用书独具)

●教学建议

问题

问题设意图

师生活动 引导学生,启发学生 发现规律: 第 1 次是 1 根,

由拉面次数生活模型,归 (1)教材 P21 问题(1) 纳每次捏合的规律,并用 数列模型加以刻画

第 2 次捏合成 2×1=2 根, 第 3 次捏合成 2×2=22 根,? 记录每次捏合成的根数, 从而得到数列 1,2,4, 8,?

(2)《庄子》中有这样的论 述: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭” . 你能用现代语 言叙述这段话吗?若把 “一尺之棰”看成单位 “1”,那么“日取其半”会 得到一个怎样的数列? (3)回忆数列的等差关系 发现数列中的等比关系, 引导学生类比等差数列的 由“日取其半”发现等比 数列 引导学生发现 “日取其半” 所蕴涵的等比关系. 发现等比关系,写出一个 无穷等比数列.

和等差数列,观察前面 2 个数列,说说它们有什么 共同特点

概括出等比数列的概念

概念,概括出等比数列的 定义. 分组讨论它们的共同特 点,然后归纳等比数列的 定义、并交流.

(4)总结学生的结论,给出 等比数列的定义 ●教学流程 创设问题情境,提出问题 ? ? ? ? ? 通过引导学生回答问题引出等比数列的概念

通过例1及互动探究,使学生掌握等比数列的通项公式 通过例2及变式训练,使学生学会判定等比数列 通过例3及变式训练,使学生掌握等差数列与等比数列的综合问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 16 页)

1.掌握等比数列的概念、 判定方法和通项公式 (重点). 课标解读 2.理解等比数列通项公式的推导过程. 3.掌握等比数列通项公式的简单应用(重点、 难点).

等比数列的概念 【问题导思】

1 1 1 对于下列数列:①2,4,8,16,?;②1,2,4,8,?;③1,3,9,27,? 这几个数列,从相邻项的关系上看,有什么共同特征? 怎样用关系式表示上面数列中 an+1 与 an 的关系? 【提示】 从第 2 项起,每一项与前一项的比是同一个常数.

an+1 an+1 1 an+1 ① a =2;② a =2;③ a =3. n n n

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常 文字语言 数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比, 公比常用字母 q 表示(q≠0). 符号语言 若 an =q(n≥2,q≠0),则数列{an}为等比数列. an-1

等比数列的通项公式 【问题导思】 上面这 3 个数列的通项公式分别是什么? 【提示】 1 ①an=2n;②an=(2)n-1;③an=3n-1.

首项是 a1,公比是 q 的等比数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠ 0).

(对应学生用书第 17 页)

等比数列的通项公式 20 已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= 3 ,求{an}的通项公式. 【思路探究】 20 欲求 an 需要已知 a1、q,如何由 a3=2 与 a2+a4= 3 表示出

a1、q 呢? 【自主解答】 设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0,

a3 2 a2= q =q,a4=a3q=2q, 2 20 1 ∴q+2q= 3 ,解得 q=3或 q=3. 1 1 当 q=3时,a1=18,此时 an=18×(3)n-1=2×33-n; 2 2 当 q=3 时,a1=9,此时 an=9×3n-1=2×3n-3.

1.a1 和 q 是等比数列的基本元素,只要求出这两个基本元素,其余的元素 便可求出. 2.等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1,an,n,q 知任意三个就可以求出另 外一个.

5 本例中若条件改为 a1+a3=10,a4+a6=4,如何求 an. 【解】 由题意知 a1(1+q2)=10,①

5 a1q3(1+q2)=4.② ② 1 1 得 q=2,∴a1(1+4)=10,∴a1=8. ① 1 ∴an=8×(2)n-1=24-n.

等比数列的判定 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=3(an-1)(n∈N+). (1)求 a1、a2; (2)求证:数列{an}是等比数列. 【思路探究】 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2),求 an,再利用定义证明.

【自主解答】

1 (1)∵Sn=3(an-1)(n∈N+),

1 ∴当 n=1 时,S1=3(a1-1), 1 即 a1=3(a1-1), 1 得 a1=-2, 1 当 n=2 时,S2=a1+a2=3(a2-1), 1 ∴a2=4. (2)证明 1 当 n=1 时,a1=-2;

当 n≥2 时, 1 1 an=Sn-Sn-1=3(an-1)-3(an-1-1), 即 2an=-an-1, ∴ an 1 =-2. an-1

1 1 ∴{an}是首项为-2,公比为-2的等比数列.

证明数列是等比数列常用的方法: an+1 an ①定义法: a =q(常数)或 =q(常数)(n≥2)?{an}为等比数列. an-1 n ②等比中项法:an+12=an· an+2(an≠0,n∈N+)?{an}为等比数列; ③通项法:an=a1qn 1(其中 a1、q 为非零常数,n∈N+)?{an}为等比数列.


已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)证明:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项. 【解】 (1)证明:由 an+1=2an+1,

得 an+1+1=2(an+1),



an+1+1 =2. an+1

即{an+1}是等比数列. (2)由(1)知{an+1}为等比数列. 其首项为 a1+1=2,公比为 2, ∴an+1=2· 2n-1=2n, ∴an=2n-1.

等差数列与等比数列的综合问题 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个 数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 【思路探究】 根据等差数列的特点如何设出这四个数?根据等比数列的特 点又如何设出这四个数? 【自主解答】 法一
2

(a+d)2 设四个数依次为 a-d,a,a+d, ,由条件 a

(a+d) ? ?a-d+ ?a=4 ?a=9, =16, a 得? 解得? 或? ?d=4 ?d=-6. ? ?a+(a+d)=12, 所以,当 a=4,d=4 时,所求四个数为 0,4,8,16; 当 a=9,d=-6 时,所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 法二 2a a 设四个数依次为 q -a,q,a,aq(a≠0,q≠0),

2a ? ? q -a+aq=16, 由条件得? a ? ?q+a=12, ? 1 ?q=2 ?q=3, 解得? 或? ?a=8 ? ?a=3. 当 q=2,a=8 时,所求四个数为 0,4,8,16; 1 当 q=3,a=3 时,所求四个数为 15,9,3,1.

1. 解答本题的关键是合理地设出所求数中的三个,再根据题意得出另一个. a 2.一般地,若三个数成等比数列,可设为q,a,aq;若四个数成等比数列 a a 可设为q3,q,aq,aq3,这样数列呈现一种“对称性” ,便于计算.

已知三个数成等比数列,它们的积为 27,若这三个数分别加上 1,4,3 又 成等差数列,求这三个数. 【解】 a 设这三个数分别为q,a,aq.

a a· aq=27, ? ?q· 依题意得? a 2 ( a + 4 )=( ? ? q+1)+(aq+3), a=3 ? ? ?a=3 解得? 1或? . q=3 ?q=3 ? ? ∴这三个数为 9,3,1 或 1,3,9.

(对应学生用书第 18 页)

忽视 q 的符号致误 若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比 q=________. 【错解】
1 2

由题意知 a1a2=16,a2a3=162,

a2a3 ∴q2=a a =16, ∴q=± 4. 【答案】 ± 4 本题忽视了 q 的正负情况导致出现错误答案. 由 q2=16 解得 q=± 4 需进一步检验方可得出正确答案.

【错因分析】 【防范措施】

【正解】
1 2

由题意知 a1a2=16,a2a3=162,

a2a3 ∴q2=a a =16. 又∵a1a2=a12q=16,∴q>0, ∴q=4. 【答案】 4

1.判断或证明等比数列的常用方法: an+1 (1)定义法: a =q(q 为不等于 0 的常数)?{an}为等比数列. n (2)通项公式法:an=a1· qn-1(a1≠0,q≠0)?{an}为等比数列. 2.在解决与等差、等比有关的此类问题,合理地设项是解决问题的关键. a (1)三个数成等比,常设成 a,aq,aq2 或q,a,aq; a a (2)四个数成等比,常设成 a,aq,aq2,aq3 或q2,q,a,aq; (3)三个数成等差,常设成 a-d,a,a+d; (4)四个数成等差,常设成 a-3d,a-d,a+d,a+3d. 3.通过类比等差数列来学习等比数列,体会类比思想.

(对应学生用书第 19 页)

1.已知{an}为等比数列,a1=12,a2=24,则 a3=( A.36 B.48 C.60 D.72

)

【解析】 【答案】

a2 24 a3=a1(a )2=12(12)2=48.
1

B

2.已知数列 a,a(1-a),a(1-a)2,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≠1 B.a≠0 且 a≠1 C.a≠0 D.a≠0 或 a≠1 【解析】 【答案】 由 a1≠0,q≠0,得 a≠0,1-a≠0,所以 a≠0 且 a≠1. B

3. 各项都为正数的等比数列{an}中, a1=2, a6=a1a2a3, 则公比 q=________. 【解析】 ∵a6=a1a2a3,

∴a1q5=a13· q3, ∴q2=4,∴q=2. 【答案】 2

4.已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,求 a20. 【解】 法一
4 ① ?a5=a1q =20, ? 14 ?a15=a1q =5. ②

1 ②÷ ①得 q10=4, 1 ∴q5=± . 2 1 1 5 ∴a20=a1q19=(a1q4)q10· q5=20×4×(± ) = ± 2 2. 法二 1 1 由 a15=a5q10,得 q10=4,∴q5=± 2.

1 5 因此 a20=a15q5=5×(± 2)=± 2.

(对应学生用书第 89 页)

一、选择题 1.已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,则公 比 q 的值为( 1 A.1 或-2 【解析】 ) B.1 1 C.-2 D.-2

由数列{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,

得 2a1q2=a1+a1q. 1 ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,解得 q=1 或-2. 【答案】 A

2.(2013· 山师大附中高二检测)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3· a9= 2a52,a2=1,则 a1=( 1 A.2 2 B. 2 C. 2 ) D.2

【解析】

a6 ∵a3· a9=2a52=a62,∴a = 2.
5

2 又 a2=1=a1· 2,∴a1= 2 . 【答案】 B )

3.(2013· 临沂高二检测)若{an}为等比数列,且 2a4=a6-a5,则公比为( A.0 B.1 或-2 C.-1 或 2 D.-1 或-2 【解析】

由 2a4=a6-a5 得,2a4=a4q2-a4q,∵a4≠0,∴q2-q-2=0,

解得 q=-1 或 2. 【答案】 C

4.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( A.9 B.10 C.11 【解析】 D.12

)

∵am=a1a2a3a4a5

=a1(a1q)· (a1q2)· (a1q3)· (a1q4), ∴a1qm-1=a15· q10,且 a1=1, ∴qm-1=q10, ∴m-1=10,∴m=11. 【答案】 C

1 5.(2013· 吉林高二检测)各项都是正数的等比数列{an}中,a2,2a3,a1 成等 a4+a5 差数列,则 的值为( a3+a4 A. C. 5-1 2 5+1 2 B. D. )

1- 5 1+ 5 2 或 2 1- 5 2

【解析】

1 设{an}公比为 q,∵a2,2a3,a1 成等差数列,

∴a3=a1+a2, ∴a1q2=a1+a1q. ∴q2-q-1=0, 1± 5 解得 q= 2 . ∵数列各项都是正数,∴q>0,∴q= 【答案】 二、填空题 6.设 a1=1,数列{2an-1}是公比为-2 的等比数列,则 a6=________. 【解析】 ∵2a6-1=(2a1-1)· (-2)5=-32, C 1+ 5 a4+a5 1+ 5 2 ,∴a3+a4=q= 2 .故选 C.

31 ∴a6=- 2 . 【答案】 31 -2

7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 kB,然后每 3 分钟自 身复制一次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后________分钟,该病毒 占据 64 MB(1 MB=210kB). 【解析】 由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病 毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次,即 2×2n=64×210=216,解得 n=15,从而复 制的时间为 15×3=45. 【答案】 45

8.(2013· 连云港高二检测)三个不相等的实数 a,b,c 成等差数列,且 a,c, b 成等比数列,则 a∶b∶c=________. 【解析】 c2=ab 由题意得 2b=a+c ①,

②, ③,

由①得 c=2b-a

将③代入②得 a=b(舍去)或 a=4b, ∴c=2b-a=2b-4b=-2b. 则 a∶b∶c∶=4∶1∶(-2). 【答案】 三、解答题 9.已知数列{an}是等比数列,且 a4+a7=9,a5+a8=18,an=64,求项数 n. 【解】 法一 q=2, ? 3 3 ? ?a4+a7=a1q (1+q )=9, ∵? ∴? 1 4 3 ?a5+a8=a1q (1+q )=18, ?a1=8. ? 4∶1∶(-2)

1 ∴an=8×2n-1=2n-4. 由 an=64,∴2n-4=64, ∴2n-4=26, ∴n-4=6,n=10. 法二 ∵a5+a8=q(a4+a7)=18,且 a4+a7=9.

∴q=2, 又根据 9=a4+a7=a4(1+q3)=a4(1+23),∴a4=1. 故 an=a4qn-4=1×2n-4=2n-4.

由 an=64,故 64=2n-4,即 2n-4=26,∴n-4=6,∴n=10. 10.等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公 式. 【解】 (1)设{an}的公比为 q,由已知得 16=2q3,解得 q=2,故数列{an}

的通项公式为 an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32, ?b1+2d=8 设{bn}的公差为 d,则有? , ?b1+4d=32 ?b1=-16 解得? , ?d=12 从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 11.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N+. (1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【解】 (1)证明 由题设 an+1=4an-3n+1,

得 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N+. 又 a1-1=1, 所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列. (2)由(1)可知 an-n=4n-1, 于是数列{an}的通项公式为 an=4n-1+n.

(教师用书独具)

已知关于 x 的二次方程 anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根 α,β 满足 6α-2αβ

+6β=3,且 a1=1. (1)试用 an 表示 an+1; 2 (2)求证:数列{an-3}是等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. 【思路探究】 (1)用 an 表示 an+1 需要什么条件?

2 (2)如何证明{an-3}是等比数列? (3)求 an 需要求出什么量? 【自主解答】


(1)∵α,β 是方程 anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根,

an 1 ? α + β = ? an ∴? , 1 ? ?αβ=an 又∵6α-2αβ+6β=3, ∴6an+1-3an-2=0, 1 1 ∴an+1=2an+3. 1 1 2 1 1 (2)an+1=2an+3?an+1-3=2an-3? 2 ∴{an-3}为等比数列. 2 1 2 1 (3)令 bn=an-3,则{bn}是等比数列,公比为2,首项 b1=a1-3=3,∴bn= 1 1 n-1 3(2) , 2 11 2 ∴an=bn+3=3(2)n-1+3. 1 1 n-1 2 ∴数列{an}的通项公式为 an=3· (2) +3. 2 an+1-3 1 = 2 2为常数, an-3

1.本题的解题关键是通过一元二次方程根与系数的关系,找出 an 与 an+1 的 关系.

2.解决这类题要弄清待证(求)结论与已知条件的关系,要注意转化与化归 思想的应用.

1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=3(an-1)(n∈N*). (1)求 a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式. 【解】 1 1 (1)由 Sn=3(an-1),得 a1=S1=3(a1-1),

1 ∴a1=-2. 1 1 又 S2=a1+a2=3(a2-1),∴a2=4. (2)证明 得 1 1 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3(an-1)-3(an-1-1),

an 1 =-2, an-1
1

a2 1 又∵a =-2, 1 1 1 ∴{an}是以-2为首项,以-2为公比的等比数列,其通项公式为 an=(-2)n. 第 2 课时 等比数列的性质

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 进一步熟练掌握等比数列的概念及通项公式 ;深刻理解等比中项,掌握等 比数列的性质. 2.过程与方法 通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识. 3.情感、态度与价值观

充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学源于现实生活,并应用于现 实生活,提高学习的兴趣. ●重点难点 重点:等比中项的理解与应用. 难点:灵活应用等比数列的定义通项公式、性质解决问题.

(教师用书独具)

●教学建议 本学案的例 2 是针对等比中项而设计, 让学生通过本例的讲解加深对等比中 项的应用,辨别与等差中项的差异.例 1、例 3 是等比数列性质的考查,在教学 中可以类比等差数列的性质来学习等比数列的性质,使学生感受类比思想. ●教学流程 创设问题情境,提出问题 ? ? ? ? ? 引导学生回答问题,理解等比数列的增减性、等比中项性 通过例1及互动探究,使学生掌握等比数列性质的应用 通过例2及变式训练,使学生掌握等比中项的应用 通过例3及变式训练,使学生掌握等比数列在实际问题中的应用 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 19 页)

1.理解等比数列的单调性与 a1,q 的关系. 课标解读 2.掌握等比中项的概念,会求同号两数的等 比中项(重点). 3.掌握等比数列的有关性质(重点、难点).

等比数列的增减性 【问题导思】 1 1 对于数列:①4,2,1,2,4?;②2,2,2,2,?;③1,4,16,64,?; 1 ④-4,-2,-1,-2,? 以上 4 个数列各有怎样的增减性? 【提示】 ①递减数列;②常数列;③递增数列;④递增数列.

公比 q 首项 a1 单 调性 a1>0

q<0 不具有 单调性 不具有 单调性

0<q<1 递减 数列 递增 数列

q=1 不具有 单调性 不具有 单调性

q>1 递增 数列 递减 数列

a1<0

等比中项的概念 如果在 a 与 b 中插入一个数 G,使得 a,G,b 成等比数列,我们称 G 为 a,b 的等比中项,且 G=± ab.

(对应学生用书第 19 页)

等比数列性质的应用 已知{an}为等比数列. (1)若 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求 a3+a5. (2)若 an>0,a5a6=9,求 log3a1+log3a2+?+log3a10 的值. 【思路探究】 运用等比数列的性质,从整体上对式子变形,找出相关量之 间的关系. 【自主解答】 (1)由等比中项,化简已知条件可得,a32+2a3a5+a52=25,

即(a3+a5)2=25, ∵an>0,∴a3+a5=5. (2)由等比数列的性质可知:a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9. ∴log3a1+log3a2+?+log3a10=log3(a1a2a3?a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.

1.在(1)中,运用等比中项性质,将 a2a4 转化为 a32,a4a6 转化为 a52,简化 了计算.在(2)中,运用了与首末两项等“距离”两项的乘积相等的性质. 2.等比数列的常用性质: 性质 1:通项公式的推广:an=am· qn-m(n,m∈N+). 性质 2: 若{an}为等比数列, 且 k+l=m+n(k, l, m, n∈N+), 则 ak· al=am· an. 1 性质 3:若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},{a },{an2},{an· bn},
n

an {b }仍是等比数列.
n

性质 4: 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等, 即 a1an=a2an
-1

=a3an-2=?. 性质 5:在等比数列{an}中,序号成等差数列的项仍成等比数列.

本例(2)中, 若将条件 a5a6=9 改为 a4a7+a5a6=16, 如何求 log2a1+log2a2+? +log2a10? 【解】 由等比数列的性质得,a4a7=a5a6,

又 a4a7+a5a6=16,∴a5a6=8.

∴log2a1+log2a2+?+log2a10=log2(a5a6)5=log285=15.

等比中项的应用 等比数列{an}的前三项的和为 168,a2-a5=42,求 a5,a7 的等比中项. 【思路探究】 (1)a5,a7 的等比中项是什么?

(2)要求 a5,a7 需要什么量? (3)如何求 a1,q? 【自主解答】 设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,

因为 a2-a5=42, 所以 q≠1,由已知,得
2 ?a1+a1q+a1q =168 ? , 4 ?a1q-a1q =42 2 ?a1(1+q+q )=168 ① 所以? 3 ?a1q(1-q )=42 ②

因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), 1 所以由②除以①,得 q(1-q)=4. 1 所以 q=2.所以 a1=1 42 1 4=96. 2-(2)

若 G 是 a5,a7 的等比中项, 1 则应有 G2=a5a7=a1q4· a1q6=a12q10=962×(2)10=9, 所以 a5,a7 的等比中项是± 3.

1.只有同号的两项才有等比中项,并且这两项的等比中项有两个,它们互 为相反数,异号的两数没有等比中项. 2.证明一个数列是等比数列的方法 an+1 (1)定义法: a =q(n∈N+,q≠0 是常数)?{an}是等比数列; n (2)中项法:an+12=an· an+2(n∈N+)且 an≠0?{an}是等比数列.

若 a+1,2a+2,3a 成等比数列,求 a 的值. 【解】 ∵a+1,2a+2,3a 成等比数列,

∴(2a+2)2=(a+1)· 3a, ∴a=-1 或-4. 又∵a=-1 时 a+1,2a+2 均为 0,故舍去, ∴a=-4.

等比数列的实际应用 某城市 2012 年年底人口为 100 万人,人均住房面积为 5 米 2.该城市拟自 2013 年年初开始每年新建住房 245 万米 2,到 2020 年年底时,人均住房面积为 24 米 2,则该城市的人口年平均增长率约是多少?(精确到 0.001,参考公式(1+ x)8≈1+8x.(其中 0<x<1)) 【思路探究】 设年平均增长率为x ― →

求2020年底人口数量 ― → 求2020年底住房面积 ―→ 列方程求x 【自主解答】 设这个城市的人口年平均增长率为 x(0<x<1).

则该城市 2012 年年底到 2020 年年底人口数量组成等比数列,记为{an}. 则 a1=100,q=1+x,2010 年年底人口数量为 a9=a1q8=100(1+x)8. 2020 年年底,住房总面积为 100×5+8×245=2460(万米 2). 由题意得 2460 41 =24,即(1+x)8=40. 100(1+x)8

∵(1+x)8≈1+8x(0<x<1), 41 ∴1+8x≈40, ∴x≈0.003. 答:该城市的人口年平均增长率约是 0.003.

1.本题涉及增长率问题,利用等比数列可以解决. 2.实际生活中常会遇到增长率问题,如果增长量是个常量,则与等差数列 有关;如果增长率是个常量,则与等比数列有关.

某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨, 如果平均每年的产量比上一年增加 10%, 那么 从第一年起,约几年可使年产量达到 30 万吨(保留到个位)?(lg 6=0.778,lg 1.1 =0.041) 【解】 记该糖厂每年制糖产量依次为 a1,a2,a3,?,an,

则依题意可得 a1=5, an =1.1(n≥2 且 n∈N+), an-1 从而 an=5×1.1n-1,这里 an=30, lg 6 0.778 故 1.1n-1=6,即 n-1=log1.16=lg 1.1≈0.041≈19, 故 n=20. 答:约 20 年可使年产量达到 30 万吨.

(对应学生用书第 21 页)

忽视 an 的符号致误 在等比数列{an}中,a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,试求 a7. 【错解】 因为 a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,

18 ? ?a5+a9= , 7 所以? ? a9=1. ?a5· 又因为 a7 是 a5,a9 的等比中项,

所以 a72=a5·a9=1, 即 a7=± 1. a7 a9 【错因分析】 上述解法忽视了对 a7 符号的讨论,由于a =a =q2,所以不
5 7

论 q 取正还是取负,a7 始终与 a5 和 a9 符号相同. 【防范措施】 注意等比数列的所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号 相同. 【正解】 ∵a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,

18 ? ?a5+a9= , ?a5>0, 7 ∴? ∴? ?a9>0. ? a9=1. ?a5· 又∵a7 是 a5,a9 的等比中项,∴a72=a5· a9=1. 由于 a7=a5· q2,故 a7 与 a5 同号.∴a7=1.

1.学习了等比中项的概念,可以应用等比中项证明等比数列. 2.类比等差数列的性质,探究了等比数列的性质. 3.在解决与等比数列有关的计算问题时,我们首先想到的方法是通法,即 通过解方程组求两个基本量首项 a1 和公比 q, 求解过程中要注意整体代换思想的 运用,有些问题合理地运用性质求解,可以减少运算量,提高解题效率. 4.解数列的实际应用问题时,首先分清是等差数列,还是等比数列,是求 某一项,还是求某些项的和,再用相应的公式求解.

(对应学生用书第 22 页)

1.下列四个命题:①公比 q>1 的正项等比数列是递增数列;②公比 q<0 的等比数列是递减数列;③任意非零常数列都是公比为 1 的等比数列;④{lg 2n}

是等差数列而不是等比数列.正确的个数是( A.1 【解析】 【答案】 B.2 ①③④正确. C C.3

) D.4

2.数列{an}为等比数列,它的前三项为 m-1,m+1,2m+2,则通项公式 为( ) A.an=3×2n-1 C.an=3×2n 【解析】 B.an=2n D.an=3×2n+1

由题意得,(m+1)2=(m-1)(2m+2),解得:m=3 或-1,当 m

=-1 时,m+1=0,2m+2=0,不合题意,∴m=3,故数列{an}的前三项为 2, 4,8,∴a1=2,q=2,an=2· 2n-1=2n. 【答案】 B

3.等比数列 a-1,2a,8a,?的第四项为________. 【解析】 由题意(2a)2=(a-1)· 8a,即 4a2-8a=0,解得 a=0(舍)或 a=2.

第四项为 64. 【答案】 64

4.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx +2n 的两个零点,试求 b10 的值. 【解】 依题意,有 anan+1=2n,

所以 an+1an+2=2n+1, an+2 两式相除,得 a =2, n 所以 a1,a3,a5,?成等比数列,a2,a4,a6,?成等比数列, 而 a1=1,a2=2, 所以 a10=2×24=32,a11=1×25=32, ∴b10=a10+a11=64.

(对应学生用书第 91 页)

一、选择题 1.在等比数列{an}中,若 a1,a10 是方程 3x2-2x-6=0 的两根,则 a4· a7= ( ) A.-6 【解析】 【答案】 B.-2 C.2 2 D.3

-6 a4a7=a1a10= 3 =-2. B

2.若实数 a、b、c 成等比数列,则函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点的个数 为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【解析】 a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,∴二次函数 y=ax2+bx+c 的判 别式 Δ=b2-4ac=-3b2<0,从而函数与 x 轴无交点. 【答案】 A

3.等比数列{an}的各项均为正数,且 a2a9=9,数列{bn}满足 bn=log3an,则 数列{bn}前 10 项和为( A.10 B.12 C.8 D.2+log35 【解析】 b1+b2+?+b10=log3a1+log3a2+?+log3a10=log3(a1· a2· ?· a10) )

=log3(a2a9)5=5log39=10. 【答案】 A
5

a15 4.(2013· 福州高二检测)在等比数列{an}中,a5a11=3,a3+a13=4,则 a = ( ) 1 A.3 B.3 1 C.3 或3 【解析】 1 D.-3 或-3 ∵a5a11=a3· a13=3,又 a3+a13=4,

?a3=1 ?a3=3 a15 a13 a15 1 ∴? 或? ,又 a =q10= a ,∴ a 的值为 3 或3. 5 3 5 ?a13=3 ?a13=1

【答案】

C

5.(2012· 安徽高考)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16, 则 log2a10=( ) D.7

A.4 B.5 C.6 【解析】

∵a3· a11=16,∴a72=16.

又∵等比数列{an}的各项都是正数,∴a7=4. 又∵a10=a7q3=4×23=25, ∴log2a10=5.故选 B. 【答案】 二、填空题 6.在等比数列{an}中,已知 a1=5,a8· a10=100,那么 a17=________. 【解析】 ∴a17=20. 【答案】 20 a102 7.在等比数列{an}中,若 a4a6a8a10a12=243,则 a 的值为________. 12 【解析】 由等比数列性质 a4· a12=a6· a10=a82, ∵a1· a17=a8· a10=100,a1=5, B

∴a4· a6· a8· a10· a12=a85=243,∴a8=3, a102 2 a10 =a8· a12,∴ a =a8=3. 12 【答案】 3

8.(2012· 辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列,且 a52=a10,2(an+an+2) =5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________. 【解析】 1 a52=a10>0,根据已知条件得 2(q+q)=5,解得 q=2.

所以 a12q8=a1q9,所以 a1=2,所以 an=2n. 【答案】 三、解答题 1 1 1 9.设 a,b,c 是实数,3a,4b,5c 成等比数列,且 , , 成等差数列, a b c a c 求c+a的值. 2n

【解】

∵3a,4b,5c 成等比数列,

∴16b2=15ac.① 1 1 1 ∵a,b, c成等差数列, 2 1 1 ∴b=a+ c,② 4 由①得b2· 15ac=64,③ 1 1 ②代入③得(a+c )2×15ac=64, 1 1 2 64 c a 34 ∴(a2+c2+ac)ac=15,∴a+c =15. 10.某工厂 2012 年 1 月的生产总值为 a 万元,计划从 2012 年 2 月起,每月 生产总值比上一个月增长 m%,那么到 2013 年 8 月底该厂的生产总值为多少万 元? 【解】 设从 2012 年开始,第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元,则 an+1= an+anm%, an+1 ∴ a =1+m%. n ∴数列{an}是首项 a1=a,公比 q=1+m%的等比数列. ∴an=a(1+m%)n-1. ∴2013 年 8 月底该厂的生产总值为 a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19 万元. 11.(2013· 宿州高二检测)数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}相邻的三项,若 b2=5,求 bn. 【解】 ∵{an}是等差数列,∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d,∵

a5,a8,a13 是等比数列{bn}相邻的三项,∴a82=a5a13, 即(a1+7d)2=(a1+4d)(a1+12d),解得 d=2a1, a8 5 5 ∴q=a =3,b2=b1q=5,3b1=5,b1=3,
5

?5?n-1 ?3? ∴bn=3· . ? ?

(教师用书独具)

在数列{an}中,已知 lg an+1=lg an+lg 3.设 a1=1,求 a1+a3+a5+?+a2n-
1.

【思路探究】 先探求数列{an}的性质,在此基础上,研究数列{a2n-1}的性 质,再求出确定这个数列的基本量. 【自主解答】 由 lg an+1=lg an+lg 3,得 an+1=3an,

∴数列{an}是等比数列,公比 q=3, 由已知 a1=1, 数列{a2n-1}仍是等比数列,它的首项是 a1=1,公比是 q2=9, 1×(1-9n) ∴a1+a3+a5+?+a2n-1= 1-9 1 =8(9n-1).

1.对于各项均为正数的数列,{lg an}是等差数列?an 是等比数列. 2.数列{a2n-1}是数列{an}的子数列,由此例可看出:子数列的性质可通过 原数列获得.

在本例中,设 a1=1,求数列{a2n-1a2n}的通项公式. a3a4 【解】 数列{a2n-1a2n}仍是等比数列, 它的首项是 a1a2=1×3=3, 公比是a a
1 2

=q4=81, ∴数列{a2n-1a2n}的通项公式为 a2n-1a2n=3×81n-1=34n-3. 3.2 等比数列的前 n 项和

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点. 2.过程与方法 通过启发、引导、分析、类比、归纳,并通过严谨科学的解题思想、方法的 训练,提高学生的素养. 3.情感、态度与价值观 通过解决社会实际问题了解社会、认识社会,形成科学的世界观和价值观. ●重点难点 重点:等比数列的前 n 项和公式及其应用. 难点:公式推导所用的“错位相减法”的理解与应用.

(教师用书独具)

●教学建议 教材中 S30=1+2+22+?+229 的思路二提供了一种求等比数列前 30 项和 的有效的方法,把这种方法推广到一般等比数列求和 Sn=a1+a2+?+an 让学生 体会这种“错位相减法”求和的方法,学会如何进行具体操作,从而突破本节课 的难点. ●教学流程 创设问题情境,提出了2个问题

? ? ? ? ?

通过引导学生回答所提问题,理解等比数列前n项和计算公式及推导方法 通过例1及互动探究,使学生掌握前n项和公式的应用 通过例2及变式训练,使学生掌握数列求和的一种方法——错位相减法 通过例3及变式训练,使学生掌握等比数列在实际中的应用 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正

(对应学生用书第 22 页)

1.理解等比数列前 n 项和的推导方法(难点). 课标解读 2.掌握等比数列的前 n 项和公式(重点). 3.能利用等比数列的前 n 项和公式解决实际 问题(难点).

等比数列的前 n 项和公式 【问题导思】 1.前 n 项和 Sn=1+2+22+?+2n①,两边同乘以公比 2 得 2Sn=2+22+ 23+?+2n+1②,那么这两个公式右边有何特点?若用②式减去①式,会得什么 结果? 【提示】 等式右边有公共项 2+22+?+2n,

②-①得 Sn=2n+1-1. 2.对于 Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1(q≠1)按上问题方法整理会怎样呢? Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1①

【提示】

qSn=a1q+a1q2+?+a1qn-1+a1qn② ②-①得(q-1)Sn=a1(qn-1), a1(1-qn) 由于 q≠1 从而 Sn= . 1-q

已知量

选用公式

首项、公比和项数 (a1,q 和 n) 首项、末项和公比 (a1,an 和 q)

1 ?na1,q=n Sn=?a1(1-q ) ? 1-q ,q≠1

?na1,q=1 Sn=?a1-anq ? 1-q ,q≠1

(对应学生用书第 22 页)

等比数列的前 n 项和公式的应用 5 已知一个等比数列{an},a1+a3=10,a4+a6=4,求 a4 和 S5. 【思路探究】 求出a4,S5 【自主解答】 设等比数列的公比为 q,则有 据条件列方程组 ― → 解出a1,q ― →

a1+a1q2=10, ? ? ? 3 5 a q +a1q5=4, ? ? 1 a1(1+q2)=10, ? ? 即? 3 5 a q (1+q2)=4. ? ? 1 ① ②

1 ∵a1≠0,1+q2≠0,②÷ ①得 q3=8, 1 ∴q=2,∴a1=8, 1 ∴a4=8×(2)3=1,

1 8×[1-(2)5] 31 ∴S5= =2. 1 1-2

1. 在解决与前 n 项和有关的问题时,首先要对公比 q=1 或 q≠1 进行判断, 若两种情况都有可能,则要分类讨论. 2.在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素, 在条件与结论间的联系不明显时,均可以用 a1 与 q 列方程组求解.

本例中,若 Sn=189,q=2,an=96,如何求 a1 和 n? 【解】 a1(1-qn) 由 Sn= 及 an=a1· qn-1 得 1-q
n

-2 ) ?189=a1(11- , 2 ? ?96=a1· 2n 1 .


① ②

①÷ ②得 189 2 -1 96 = 2n-1 , 解得 2n=64,∴n=6.代入①得 a1=3.
n

错位相减法求和 求数列 1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)an-1(a≠0)的前 n 项和. 【思路探究】 项和? 【自主解答】 (1)当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,?,(2n-1), 观察此数列与等比数列有何关系?用何方法求数列的前 n

n[1+(2n-1)] 2 则 Sn= =n . 2 (2)当 a≠1 时,有 Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an-1,① aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an,② ①-②得

Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an-1-(2n-1)an, ∴(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+?+an-1) a(1-an-1) =1-(2n-1)an+2· 1-a =1-(2n-1)an+ 又∵1-a≠0, 1-(2n-1)an 2(a-an) ∴Sn= + , 1-a (1-a)2 2(a-an) , 1-a

?n (a=1) n 即 Sn=?1-(2n-1)a 2(a-an) + 1-a (1-a)2 ?

2

(a≠1)

.

1.本题易忽视 a=1 的情况致错. 2.所谓错位相减法是指在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然 后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题,此种方法一般适用于形如数列 {anbn}的求和,其中数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列. 求和 Sn=1×2+4×22+7×23+?+(3n-2)×2n. 【解】 ① 2Sn=1×22+4×23+?+[3(n-2)-2]×2n-1+[3(n-1)-2]×2n+(3n-2)× 2n+1,② ①-②得 -Sn=1×2+3×22+3×23+?+3×2n-(3n-2)×2n =3×(2+22+?+2n)-(3n-2)×2n+1-4 =3×(2n+1-2)-(3n-2)×2n+1-4 =3×2n+1-6-3n×2n+1+2n+2-4 =2n+2+3(1-n)×2n+1-10=(5-3n)×2n+1-10. 所以 Sn=(3n-5)×2n+1+10.
+1

Sn=1×2+4×22+7×23+?+[3(n-1)-2]×2n-1+(3n-2)×2n,

等比数列的实际应用 国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩, 2012 年底西部已退耕还林的土 地面积为 515 万亩,以后每年退耕还林的面积按 12%递增. (1)试问从 2012 年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划?(1.128 ≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年) (2)为支持退耕还林工作, 国家财政从 2013 年起补助农民当年退耕地每亩 300 斤粮食,每斤粮食按 0.7 元折算,并且补助当年退耕地每亩 20 元.试问:西部 完成退耕还林计划,国家财政共需支付多少亿元?(精确到亿元) 【思路探究】 【自主解答】 每年退耕还林的土地组成等比数列,用等比数列求和公式. (1)设从 2012 年底起以后每年的退耕还林的土地依次为 a1,

a2,a3,?,an,?万亩. 则 a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,?, an=515(1+12%)n,?. Sn=a1+a2+?+an 515(1+0.12)(1-1.12n) = =6 370-515, 1-1.12 ∴515×1.12×(1.12n-1)=5 855×0.12. 即 1.12n=2.218. 又∵n∈N+,当 n=7 时,1.127≈2.211,此时完不成退耕还林计划,∴n=8. 故到 2020 年底西部地区才能完成退耕还林计划. (2)设财政补助费为 W 亿元, 则 W=(300×0.7+20)×(6 370-515)×10-4≈134.7(亿元). 所以西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付 134.7 亿元.

1.本题将实际问题转化为数学问题,并能把它作为数列前 n 项和的问题处 理是解题关键. 2.解题时应明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比 数列问题,还是含有递推关系的数列问题?是求 an,还是求 Sn?特别要注意准

确弄清项数是多少.

某化工厂第 1 年产量 5 万 t,如果平均每年的产量比上一年增加 10%,那么 从第一年起,约几年内可使总产量达到 30 万 t(精确到个位)? 【解】 根据题意,每年产量比上一年增加的百分率相同,

所以从第 1 年起,每年的产量组成一个等比数列{an},其中 a1=5,q=1+ 10%=1.1,Sn=30. 5×(1-1.1n) ∴ =30,整理后得 1.1n=1.6. 1-1.1 两边取对数,得 nlg 1.1=lg 1.6, lg 1.6 0.20 用计算器算得 n=lg 1.1≈0.041≈5(年). ∴约 5 年内可以使总产量达到 30 万 t.

(对应学生用书第 24 页)

忽视等比数列定义致误 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+1-2. 求证:{an}是等比数列. 【错解】 ∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,且 Sn=2n+1-2.

an+1 Sn+1-Sn 2n+2-2n+1 2n+1 ∴ a = = = 2n =2. Sn-Sn-1 2n+1-2n n ∴数列{an}是以 2 为公比的等比数列. 【错因分析】 an+1 Sn+1-Sn an+1 = 是对 n ∈ N 而当 n = 2 时, +且 n≥2 时成立, an Sn-Sn-1 an

a3 =a ,因此,错解中仅说明从第三项起,每一项与它前一项的比值等于同一个常 2 a2 数 2,未说明a =2,故其解答是错误的.
1

【防范措施】 【正解】

对等比数列的概念理解透彻,可以避免其错误的出现.

∵Sn=2n+1-2,

∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n, 当 n=1 时,a1=S1=22-2=2,也适合上式. ∴数列{an}的通项公式 an=2n. an+1 2n+1 ∴ a = 2n =2. n ∴数列{an}是以 2 为公比的等比数列.

1.等比数列的通项公式和前 n 项和公式共涉及五个量:a1,q,n,an,Sn, 其中 a1 和 q 为基本量,且五个量“知三可求二” ,在解决等比数列问题中,要学 会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题,养成良好的思维习惯. 2.对于错位相减法求和: (1)如果数列{an}是等差数列, 数列{bn}是等比数列且公比为 q, 求数列{an· bn} 的前 n 项和时需采用错位相减法来求. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错位对齐” ,以便 于下一步写出“Sn-qSn”的表达式.

(对应学生用书第 25 页)

1.(2013· 哈尔滨高二检测)数列{an}通项公式是 an=2n,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S10 等于( A.210-1 C.211-1 D.211-2 【解析】 an=2n,∴数列{an}的首项为 2,公比为 2, ) B.210-2

2(1-210) 11 ∴S10= =2 -2. 1-2 【答案】 D

2.已知数列 {an} 既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前 n 项和为 ( ) A.n C.a1n B.na1 D.0 数列为常数列. B

【解析】 【答案】

3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=7a1,则数列{an}的公比 q 的 值为________. 【解析】 【答案】 a1(1-q3) 由 S3=7a1 得: =7a1,解得 q=2 或-3. 1-q 2 或-3

4.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,a5=-2,a8=16,求 S6. 【解】 设公比为 q,由题意得

4 ?a1q =-2, ? 7 ?a1q =16,

1 解得 q=-2,a1=-8, a1(1-q6) 21 ∴S6= =8. 1-q

(对应学生用书第 93 页)

一、选择题 1. 若等比数列{an}的前 3 项和等于首项的 3 倍, 则该等比数列的公比为( A.1 C.2 或-1 D.-2 或 1 B.-2 )

【解析】

由题意知,S3=3a1,

当 q=1 时,S3=3a1 有解, ∴公比为 1,符合题意. 当 q≠1 时,有 【答案】 D a1(1-q3) =3a1?q=-2.故选 D. 1-q

2.(2013· 郑州高二检测)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 1 项和,且 9S3=S6,则数列{a }的前 5 项和为(
n

)

15 31 A. 8 或 5 B.16或 5 31 C.16 15 D. 8 9(1-q3) 1-q6 由题意易知 q≠1,则 = ,解得 q=2, 1-q 1-q

【解析】

1 1 数列{a }是以 1 为首项,以2为公比的等比数列,
n

31 由求和公式可得 S5=16. 【答案】 C

3.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3 +a4+a5=( )

A.33 B.72 C.84 D.189 【解析】 又 a1=3, ∴q2+q-6=0, 解得 q=2 或-3(舍去), ∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4×21=84. 【答案】 C 由 a1+a2+a3=21,得 a1(1+q+q2)=21,

4.(2013· 吉林高二检测)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=10,S10= 50,则 S15 等于( )

A.150 B.170

C.190 D.210 【解析】 因为 S5,S10-S5,S15-S10 也成等比数列,

所以(S10-S5)2=S5· (S15-S10),即 402=10×(S15-50), 所以 S15=210. 【答案】 D )

5.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4n+a,则 a 的值等于( A.-4 【解析】 B.-1 C.0 当 n=1 时,a1=4+a.
- -

D.1

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-4n 1=3· 4n 1. 当 n=1 时,4+a=3,∴a=-1. 【答案】 二、填空题 6.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项和为________. 【解析】 a5 由a =q4=16,∴q=± 2.
1

B

又∵q>0,∴q=2, a1(1-q7) 1-27 ∴S7= = =127. 1-q 1-2 【答案】 127

S5 7.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 S =________. 2 【解析】
2

由 8a2+a5=0,

a5 ∴a =-8,即 q3=-8,q=-2. a1(1-q5) 1-q 1-q5 33 S5 ∴S = = =-11. 2 2= -3 2 a1(1-q ) 1-q 1-q 【答案】 -11

8.(2012· 浙江高考)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 =3a2+2,S4=3a4+2,则 q=________.

【解析】

法一

S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2,

将 a3=a2q,a4=a2q2 代入得, 3a2+2+a2q+a2q2=3a2q2+2,化简得 2q2-q-3=0, 3 解得 q=2(q=-1 不合题意,舍去). 法二 设等比数列{an}的首项为 a1,由 S2=3a2+2,得

a1(1+q)=3a1q+2.① 由 S4=3a4+2,得 a1(1+q)(1+q2)=3a1q3+2.② 由②-①得 a1q2(1+q)=3a1q(q2-1). 3 ∵q>0,∴q=2. 【答案】 三、解答题 9.已知数列{an}的通项公式 an=(-a)n-1(a≠0),求这个数列的前 n 项和. 【解】 an+1 (-a)n ∵ a = =-a, (-a)n-1 n 3 2

∴{an}是首项为 1,公比为-a 的等比数列, 当 a=-1 时,Sn=n; 1-(-a)n 1-(-a)n 当 a≠-1 时,Sn= = . 1-(-a) 1+a 10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 2,若 S3+S6=S9,求 S15 的值. 【解】 ①当 q=1 时,Sn=na1=2n,满足 S3+S6=S9,

∴S15=30. ②当 q≠1 时,由 S3+S6=S9, 2(1-q3) 2(1-q6) 2(1-q9) ∴ + = , 1-q 1-q 1-q ∴(q3-1)(q6-1)=0,∴q=-1, 2[1-(-1)15] ∴S15= =2. 1-(-1) 11.(2013· 烟台高二检测)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2-2Sn;数列 {an}为等差数列,且 a5=14,a7=20.

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an· bn(n=1,2,3?),Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 【解】 (1)由 bn=2-2Sn,令 n=1,

2 则 b1=2-2S1,又 S1=b1,所以 b1=3. 当 n≥2 时,由 bn=2-2Sn, bn 1 可得 bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即 = . bn-1 3 2 1 所以{bn}是以 b1=3为首项,3为公比的等比数列, 1 于是 bn=2· 3n. 1 (2)数列{an}为等差数列,公差 d=2(a7-a5)=3, 可得 an=3n-1. 1 从而 cn=an· bn=2(3n-1)· 3n, 1 1 1 1 ∴Tn=2[2· + 5· 2+8·3+?(3n-1)·n], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 T n=2[2·2+5·3+?+(3n-4)·n+(3n-1)·n+1]. 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ∴3Tn=2[2· + 3· 2+3·3+?+3·n-(3n-1)·n+1]. 3 3 3 3 3 3n-1 7 1 Tn=2- n-2- 3n . 2· 3

(教师用书独具)

(2013· 南昌高二检测)已知{an}是等差数列,{bn}是各项为正数的等比数列, 且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; an (2)若 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和.
n

【思路探究】 (1)由等差数列、等比数列的通项公式列出 d 和 q 的方程组, 求出 d 和 q,进而求出 an 和 bn. (2)利用错位相减法求和. 【自主解答】 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q(q>0),

4 ?1+2d+q =21 ?d=2 则? ?? , 2 ?1+4d+q =13 ?q=2

∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1, bn=2n-1. an ?1?n-1 ?2? (2)cn=b =(2n-1)· , ? ? n 1 ?1?2 ?1?n-1 ?2? Sn=1+3×2+5×?2? +?+(2n-1)· ① ? ? ? ? 1 1 ?1?2 ?1?n-1 ?1?n ?2? ?2? ② S + (2 n - 1) n=1× +3×?2? +?+(2n-3)· 2 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 ?1?2 ?1?n-1 ?1?n ?2? ①-②得2Sn=1+2×2+2×?2? +?+2· -(2n-1)?2? ? ? ? ? ? ? ?1 1?2 ?1?n ?1?n-1? ? ?2? =1+2? +? - (2 n - 1) ? ? +?+?2? ? ? ? ? ?2 ?2? ? 1? 1?n-1? ?1-? ? ? ? 2? ?2? ? ?1?n ?2? =1+2· - (2 n - 1) 1 ? ? 1-2 ? 1?n-1? ?1?n ? ?2? , =1+2?1-? - (2 n - 1) ?2? ? ? ? ? ? ? ?1?n-1 ?2? ∴Sn=6-(2n+3)· . ? ?

1 1.本题用错位相减法求和时,注意在写 Sn 与2Sn 的表达式时,要将两式“错

1 位对齐” ,以便下一步准确写出 Sn-2Sn 的表达式. an 2.对于通项公式为 cn=b 或 anbn(其中{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是
n

公比为 q 的等比数列)的数列{cn}的求和,可用错位相减法求其前 n 项和.

已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解】 (1)设{an}的公差为 d.

?3a1+3d=6, 由已知得? ?8a1+28d=-4, 解得 a1=3,d=-1. 故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得 bn=n· qn-1,于是 Sn=1· q0+2· q1+3· q2+?+(n-1)qn-2+n· qn-1. 若 q≠1, 将上式两边同乘以 q, 有 qSn=1· q1+2· q2+3· q3?+(n-1)· qn-1+n· qn. 两式相减得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-?-qn-1 qn-1 nqn+1-(n+1)qn+1 =nq - = . q-1 q-1
n

nqn+1-(n+1)qn+1 于是,Sn= . (q-1)2 若 q=1,则 Sn=1+2+3+?+n= n(n+1) . 2

n(n+1) ? (q=1), ? 2 所以,Sn=? n 1 nq -(n+1)qn+1 (q≠1). ? (q-1)2 ?


§ 4数列在日常经济生活中的应用

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 掌握单利、复利的概念及它们本利和的计算公式;掌握零存整取、定期自动 转存、分期付款模型的应用. 2.过程与方法 通过创造情境、设问、思考、讨论、推导等具体过程, 发现并建立等差、 等比数列的模型. 3.情感、态度与价值观 通过本节的学习使学生对等差、等比数列进一步理解,体会等差、等比数列 与日常经济生活的密切相关,从而提高学生学习数学新知识的兴趣和信心. ●重点难点 重点:单利、复利的计算和自动转存、分期付款问题. 难点:将实际问题转化为数列模型.

(教师用书独具)

●教学建议 课本例 1 零存整取模型是以单利计算的.单利公式属于等差数列模型.例 2 定期自动转存模型是以复利计算的.复利公式属于等比数列模型.例 3 是分期付 款模型,讲解透分期付款的特点: (1)在分期付款中,每月(或每年)的利息均按复利计算.(2)分期付款中规定, 每期所付款额相同(这主要便于操作). (3)各期所付款额连同最后一次付款时所产 生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(这是解决问 题的关键,是列方程组的依据).

●教学流程 创设问题情境,提出问题:单利与复利,及三种应用模型 ? ? ? ? ? 通过引导学生回答所提问题,理解单利与复利及三种应用模型 通过例1及变式训练,使学生掌握零存整取问题即为等差数列求和问题 通过例2及变式训练,使学生掌握复利计算问题 通过例3及变式训练,使学生掌握分期付款问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识所学知识

? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 25 页)

课标解读 2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付 款三种模型及应用(重点). 3.掌握数列在日常经济生活中的应 用.(难点)

1.掌握单利、复利的概念(重点).

单利与复利

名称

计算方法

计算公式

单 利 仅在原有本金上计 算利息,对本金所

产生的利息不再计 算利息,即利息= 本金×利率×存期 复 把上期末的本利和 利 作为下一期的本 金,在计算时每一 期本金的数额不同 S=P(1+nr) S=P(1+r)n 以符号 P 代表本 金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表 本金与利息和(简 称本利和)

三种应用模型 1.“零存整取”模型 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,取出全部本利 和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). 2. “定期自动转存”模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔存期 为 1 年的存款,1 年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就是第 1 年的本利和. 3. “分期付款”模型 “分期付款” 是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限按照 一定的要求,分期付清,每期付款金额相同.

(对应学生用书第 26 页)

等差数列的模型 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄” .从 8 月 1 号开始,每个 月的 1 号都存入 100 元, 存期三年. 已知当年 “教育储蓄” 存款的月利率是 2.7?. 问到期时,李先生一次可支取本息多少元? 【思路探究】 【自主解答】 这一问题可用什么数学模型解决? 100×36+100×2.7‰× (36+1)×36 =3 779.82(元). 2

∴“教育储蓄”一次支取本息 3 779.82 元.

1.本题实际上是一个“零存整取”问题,解答的关键是理解所求的本息为 等差数列的求和问题. 2.等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取” ,即利息 按单利计算.

已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 1.725?.问李先生办理“教 育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?(注:零存整取要收 20%的利息税) 【解】 691.908(元). 3 779.82-3 691.908=87.912(元). ∴“教育储蓄”一次支取本息 3 779.82 元,比“零存整取”多 87.912 元. 100 × 36 + 100 × 1.725 ‰ × (36+1)×36 × (1 - 20%) = 3 2

等比数列模型 某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从 2013 年起,每年年初到银行 新存入 a 元,年利率 p 保持不变,并按复利计算,到 2023 年年初将所有存款和 利息全部取出,共取回多少元? 【思路探究】 复利计算属于哪种数列模型?数列的首项、公比(或公差)是 什么? 【自主解答】 设从 2013 年年初到 2022 年年初每年存入 a 元的本利和组成 数列{an}(1≤n≤10). 则 a1=a(1+p)10,a2=a(1+p)9,?,a10=a(1+p),故数列{an}(1≤n≤10) 是以 a1=a(1+p)10 为首项,q= 1 为公比的等比数列. 1+p

所以 2023 年初这个家庭应取出的钱数为 1 a(1+p)10[1- ] (1+p)10 S10= 1 1- 1+p a =p[(1+p)11-(1+p)](元).

1.解决此类题目,首先要确定数列的项指的是什么,项数是多少,从何时 算起. 2.等比数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“定期自动转存” ,即 利息按复利计算.

银行按规定每经过一定时间结算存(贷)款的利息一次,结息后即将利息并入 本金, 这种计算利息的方法叫做复利, 现在有某企业进行技术改造, 有两种方案, 甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以后每年比前一 年增加 5 千元,两方案使用期都是 10 年,到期后一次性归还本息,若银行贷款 利息均按本息 10%的复利计算,试比较两种方案哪种获利更多? (数据 1.110≈ 2.594,1.310≈13.79)

【解】 甲方案 10 年中每年获利数组成首项为 1,公比为 1+30%的等比数 列,其和为 1+(1+30%)+(1+30%)2+?+(1+30%)9 = 1.310-1 ≈42.63(万元), 1.3-1

到期时银行贷款的本息为 10(1+0.1)10≈10×2.594=25.94(万元), ∴甲方案扣除贷款本息后,净获利约为 42.63-25.94=16.69(万元). 乙方案 10 年中每年获利数组成等差数列,其和为 1+1.5+?+(1+9×0.5)= =32.50(万元), 1.110-1 而贷款本息和为 1.1 × [1 + (1 + 10%) + ? + (1 + 10%) ] = 1.1 × ≈ 1.1-1
9

10(1+5.5) 2

17.53(万元). ∴乙方案扣除贷款本息后,净获利约为 32.50-17.53=14.97(万元), 比较得,甲方案净获利多于乙方案净获利.

分期付款问题 职工小张年初向银行贷款 2 万元用于购房, 银行贷款的年利率为 10%, 按 复利计算,若这笔贷款要分 10 年等额还清,每年年初还一次,并且从借款后次 年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到 1 元) 【思路探究】 从以下两点考虑:

(1)每年按复利计算,即本年利息计入次年的本金生息. (2)分期付款,各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计,应等 于 2 万元及 2 万元到最后一次付款时所生的利息之和. 【自主解答】 如下: 第 10 年还款 x 元,此次欠款全部还清. 设每年还款 x 元,需 10 年还清,那么每年还款及利息情况

第 9 年还款 x 元, 过 1 年欠款全部还清时, 所付款连同利息之和为 x(1+10%) 元. 第 8 年还款 x 元, 过 2 年欠款全部还清时, 所付款连同利息之和为 x(1+10%)2 元. ? 第 1 年还款 x 元, 过 9 年欠款全部还清时, 所付款连同利息之和为 x(1+10%)9 元. 根据题意可得: x + x(1 + 10%) + x(1 + 10%)2 + ? + x(1 + 10%)9 = 20 000(1 + 10%)10 ,∴ x = 20 000×1.110×0.1 ≈3 255. 1.110-1 ∴每年应还款 3 255 元.

分期付款的相关规定 1.分期付款中,每月的利息均按复利计算,分期付款中规定每期所付款额 相同. 2.各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及 从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据). 3.每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按 S=P(1+r)n 来计算,其 中 P 代表本金(可以是每期付款额 x,也可以是商品售价),n 代表存期(月数或年 数),r 代表利率,S 代表本利和.

用分期付款方法购买电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以 后每月这一天都交付 50 元,并加付欠款的利息,月利率为 1%,分 20 次付完, 若交付 150 元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月, 问分期付款的第十个 月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花多少钱? 【解】 购买时付 150 元,欠 1 000 元,每月付 50 元,分 20 次付清,设每 月付款数顺次成数列{an},则

a1=50+1 000×1%=60(元), a2=50+(1 000-50)×1%=59.5=(60-0.5×1)(元), a3=50+(1 000-50×2)×1%=59=(60-0.5×2)(元),?, 依次类推, a10=50+(1 000-50×9)×1%=55.5=(60-0.5×9)(元), an=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1≤n≤20). 所以{an}组成以 60 为首项,-0.5 为公差的等差数列, 20(20-1)d 所以,总数=S20+150=20a1+ +150 2 =1 255(元), ∴第十个月该交 55.5 元,全部付清实际花 1 255 元.

(对应学生用书第 27 页)

数学建模思想 (12 分)由于某国发生了百年不遇的洪水灾害,造成大量的难民,联合国计 划从 11 月 1 日起为该国运送食品,第一天运送 1 000 t,第二天运送 1 100 t,以 后每天都比前一天多运送 100 t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减 100 t,连续运送 15 天,总共运送 21 300 t,求在第几天达到运送食品的最大量. 【思路点拨】 这一问题可用等差数列模型解决.

【规范解答】 设在第 n 天达到运送食品的最大量,则前 n 天每天运送的食 品量是首项为 1 000,公差为 100 的等差数列. an=1 000+(n-1)×100=100n+900. 其余每天运送的食品是首项为 100n+800,公差为-100 的等差数列.4 分 依 题 意 得 1 000n + n(n-1) × 100 + (100n + 800)(15 - n) + 2

(15-n)(14-n) ×(-100)=21300(1≤n≤15 且 n∈N+).8 分 2

整理化简得 n2-31n+198=0.10 分 解得 n=9 或 n=22(不合题意,舍去), 即在第 9 天达到运送食品的最大量.12 分

根据实际问题提取数据, 对提取的数据进行分析、归纳建立相对应的数学模 型,如等差、等比数列模型.

1.等差、等比数列的应用常见于:存款、贷款、购物 (房东)分期付款、保 险、资产折旧等问题,解决方法是建立数列模型,应用数列知识解决问题. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意: (1)分清是等差数列还是等比数列;(2)分清是求 an 还是求 Sn,特别要准确确 定项数 n;(3)前后项关系的发现是数列建模的关键.

(对应学生用书第 28 页)

1.按活期存入银行 1 000 元,年利率是 0.72%,那么按照单利,第 5 年末的 本利和是( ) B.1 028 元 D.1 026 元

A.1 036 元 C.1 043 元 【解析】 【答案】

本利和为 1 000+0.72%×5×1 000=1 036. A

1 2. 计算机的成本不断降低, 若每隔 3 年计算机价格降低3, 现在价格为 8 100 元的计算机,9 年后的价格可降为( A.900 元 C.2 400 元 B.1 800 元 D.3 600 元 )

1 2 【解析】 把每次降价看做一个等比数列,首项为 a1,公比为 1-3=3,求 ?2?3 a4,则 a4=8 100×?3? =2 400. ? ? 【答案】 C

3.年利率 10%,每年复利一次,希望在 6 年后得到本利和 1 000×1.16 元, 则本金应是________元. 【解析】 ∴a=1 000. 【答案】 1 000 设本金是 a 元,则 a(1+10%)6=1 000×1.16,

4. 学校餐厅每天供应 500 名学生用餐, 每星期一有 A, B 两种菜可供选择. 调 查资料表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30%改选 A 种菜. 用 an,bn 分别表示在第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数,如果 a1=300,求 a10. 【解】 依题意,an=0.8an-1+0.3bn-1,an+bn=500,

∴an=0.8an-1+0.3(500-an-1)=0.5an-1+150, ∴an-300=0.5(an-1-300), 又∵a1-300=0, ∴an-300=0,即 an=300, ∴a10=300.

(对应学生用书第 95 页)

一、选择题 1.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第 1 天,它飞出去,找回了 5 个伙伴; 第 2 天, 6 只蜜蜂飞出去,各自找回了 5 个伙伴,??,如果这个找伙伴的过程继 续下去,第 6 天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( A.55 986 只 C.216 只 D.36 只 B.46 656 只 )

【解析】 由已知得,每天蜂巢中的蜜蜂数构成首项为 6,公比为 6 的等比 数列,故第 6 天蜂巢中的蜜蜂数为 66=46 656. 【答案】 B

2.现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽 可能的少,那么剩余钢管的根数为( A.9 B.10 C.19 D.29 【解析】 1+2+3+?+n<200,即 n(n+1) <200. 2 19×20 2 =190 根,剩余 10 根. )

显然 n=19 时,剩余钢管最少,此时最多用去 【答案】 B

3.某种细胞开始时有 2 个,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂 成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个,??,按照这种规律进 行下去,6 小时后细胞的存活数是( A.32 B.31 C.64 ) D.65

【解析】 可递推下去,4 小时后分裂成 18 个并死去一个,5 小时后分裂成 34 个并死去一个;6 小时后分裂成 66 个并死去一个,得 65 个存活. 【答案】 D

4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共 点 381 盏灯,则底层所点灯的盏数是( A.190 B.191 C.192 D.193 【解析】 设最上面一层有 x 盏,则第二层有 2x 盏,第三层有 4x 盏,第四 )

层有 8x 盏,?,第七层有 26x 盏(层数从上面数). 由题意知 x+2x+4x+8x+?+26x =x(1+2+22+23+?+26) = x(1-27) =127x=381, 1-2

∴x=3. 故底层的盏数为 26×3=192. 【答案】 C

5.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ,从今年年末开始每年偿还 一定金额,预计 5 年还清,则每年应偿还( a(1+γ) A. 万元 (1+γ)5-1 C. aγ(1+γ)5 万元 (1+γ)4-1 B. D. )

aγ(1+γ)5 万元 (1+γ)5-1 aγ 万元 (1+γ)5

【解析】 则

根据已知条件知本题属于分期付款问题,设每年应偿还 x 万元,

x[(1+γ)4+(1+γ)3+?+1]=a(1+γ)5, 1-(1+γ)5 ∴x· =a(1+γ)5 1-(1+γ) aγ(1+γ)5 故 x= (万元). (1+γ)5-1 【答案】 二、填空题 6.现存入银行 8 万元,年利率为 2.50%,若采用 1 年期自动转存业务,则 5 年末的本利和是________万元. 【解析】 =8×1.0255. 【答案】 8×1.0255 定期自动转存属于复利问题,5 年末的本利和是 8×(1+2.50%)5 B

7.某露天剧场有 28 排座位,每相邻两排的座位数相同,第一排有 24 个座 位,以后每隔一排增加两个座位,则全剧场共有座位________个. 【解析】 第 1,2 排座位总数记为 a1=48,第 3,4 排座位总数为 a2=48

+4=52, ?, 依次成公差为 4 的等差数列{an}, 其中 n=14, Sn=14×48+ ×4=14×74=1 036. 【答案】 1 036

14×13 2

8.银行一年定期储蓄存款年息为 r,按复利计算利息,三年定期储蓄存款 年息为 q,银行为吸收长期资金,鼓励储户存三年定期的存款,那么 q 的值应大 于________. 【解析】 设储户开始存入的款数为 a,由题意得,

1 a(1+3q)>a(1+r)3,∴q>3[(1+r)3-1]. 【答案】 三、解答题 9.用分期付款的方式购买价格为 25 万元的住房一套,如果购买时先付 5 万元,以后每年付 2 万元加上欠款利息.签订购房合同后 1 年付款一次,再过 1 年又付款一次,直到还完后为止,商定年利率为 10%,则第 5 年该付多少元?购 房款全部付清后实际共付多少元? 【解】 购买时先付 5 万元,余款 20 万元按题意分 10 次分期还清,每次付 款数组成数列{an},则 a1=2+(25-5)· 10%=4(万元);a2=2+(25-5-2)· 10%= 3.8( 万元 ) ; a3 = 2 + (25- 5 - 2× 2)· 10% = 3.6(万元 ) ,? , an =2 + [25 - 5 - (n - n-1 1)· 2]· 10%=(4- 5 )(万元)(n=1,2,?,10).因而数列{an}是首项为 4,公差 1 为-5的等差数列. 5-1 a5=4- 5 =3.2(万元). 1 10×(10-1)×(-5) S10=10×4+ =31(万元). 2 因此第 5 年该付 3.2 万元,购房款全部付清后实际共付 36 万元. 10.在一次人才招聘会上,A、B 两家公司分别开出了工资标准, A 公司 第一年月工资为 1 500 元,以后每一年 B 公司 第一年月工资为 2 000 元,以后每一年 1 3 3[(1+r) -1]

月工资比上一年月工资增加 230 元

月工资比上一年月工资增加 5%

大学生王明被 A、B 两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作 10 年,经过一番思考,他选择了 A 公司,你知道为什么吗? 【解】

A 公司 第一年月工资为 1 500 元,以后每一年 月工资比上一年月工资增加 230 元 王明的选择过程 第 n 年月工资为 an 首项为 1 500,公差为 230 的等差数列 an=230n+1 270 S10=12(a1+a2+?+a10)=12×[10×1 500+ 10×(10-1) ×230]=304 2 200(元) =12× 2 000(1-1.0510) 1-1.05

B 公司 第一年月工资为 2 000 元,以后每一年 月工资比上一年月工资增加 5%

第 n 年月工资为 bn 首项为 2 000,公比为(1+5%)的等比数 列 bn=2 000(1+5%)n-1

T10=12(b1+b2+?+b10)

≈301 869(元) 结论 显然 S10>T10,故王明选择了 A 公司

11.某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用 过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元; 从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= a1+a2+?+an ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则需在第 n

n 年初对 M 更新,证明:需在第 9 年初对 M 更新. 【解】 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列.

an=120-10(n-1)=130-10n;

3 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为4为等比数列,又 a6=70,所 3 以 an=70×(4)n-6. 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 130-10n,n≤6, ? ? an=? 3 70×(4)n-6,n≥7. ? ? (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时, 3 3 3 Sn=S6+(a7+a8+?+an)=570+70× 4×4×[1-(4)n-6]=780-210×(4 )n-
6

, 3 780-210×(4)n-6 An= . n 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列, 3 780-210×(4)8-6 47 又 A8= =8264>80, 8 3 780-210×(4)9-6 79 A9= =7696<80, 9 所以需在第 9 年初对 M 更新.

(教师用书独具)

陈老师购买安居工程集资房 92 平方米,单价为 1 000 元/平方米,一次性国

家财政补贴 28 800 元,学校补贴 14 400 元,余款由个人负担.房地产开发公司 对教师实行分期付款,每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次, 再经过一年又付款一次,?,共付 10 次,10 年后付清,如果按年利率 7.5%,每 年按复利计算,那么每年应付款多少元?(计算结果精确到 1 元). 【思路探究】 求每次付款的本利和 →

10次付款的本利和之和 → 房价的本利和 → 列方程求解 【自主解答】 设每年应付款 x 元, 那么到最后一次付款时(即购房十年后): 第一年付款及所生利息之和为 x×1.0759 元, 第二年付款及所生利息之和为 x×1.0758 元,?, 第九年付款及其所生利息之和为 x×1.075 元, 第十年付款为 x 元,而所购房余款的现价及其利息之和为 [1 000×92-(28 800+14 400)]×1.07510 =48 800×1.07510(元). 因此有 x(1+1.075+1.0752+?+1.0759) =48 800×1.07510, 1.075-1 ∴x=48 800×1.07510× ≈48 800×2.061×0.071≈7 141(元). 1.07510-1 答:每年需交款 7 141 元.

解决数列实际应用题,关键是读懂题意,从实际问题中提炼出问题的实质, 分清是等差数列,还是等比数列,然后转化为数学问题解决.

刘佳从自己的零花钱中每月拿出 100 元存到银行.从 1 月起,每月第 1 天存 入 100 元,到 12 月的最后一天取出全部本金及利息.已知月利率为 0.159%,求 刘佳到 12 月的最后一天实际取出多少钱? 【解】 第 1 个月存入的 100 元,到期利息为 100×12×0.159%元;第 2 个 月存入的 100 元,到期利息为 100×11×0.159%元??第 12 个月存入的 100 元,

到期利息为 100×1×0.159% 元. 所以全部的利息之和为: 100×0.159%×12×(12+1) =12.402(元). 2

而本金为 1 200 元, 所以到 12 月的最后一天刘佳实际取出 1 200+12.402=1 212.402(元). 趣味材料 教育储蓄是指个人按照国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、 用于教育目的的专项储蓄. 对象是在校中小学生, 其存期分 3 年期和 6 年期两种, 为零存整取定期储蓄,每户最低起存金额 50 元.教育储蓄定向使用,是一种专 门为学生支付非义务教育所需的教育金的专项储蓄. 教育储蓄的利率享受两大优 惠政策,除免征利息税外,其作为零存整取储蓄将享受整存整取利息,利率优惠 幅度在 25%以上.教育储蓄采用实名制,办理开户时,储户要持本人(学生)户口 薄或身份证,到银行以储户本人(学生)的姓名开立存款账户.到期支取时,储户 需凭存折及接受非义务教育的录取通知书原件或学校证明到商业银行一次性支 取本息.

数 数列 数列的概念 定义 通项公式 数列的函数特性 数列的图像 列 数列的单调性 等差数列 等比数列 通项公式 定义 性质 前n项和

数列在日常经济 定期自动转存模型 零存整取模型 分期付款模型 生活中的应用

数列通项公式的求法 1.公式法:若数列{an}是等差(比)数列,可代入通项公式求解. 2.观察法:若给出了数列的前几项,可用观察法求通项公式. 3.利用 Sn 与 an 的关系: ?S1,n=1, 可根据 an=? 求通项公式. 这里在应用 an=Sn-Sn-1 时常常忽 ?Sn-Sn-1,n≥2.

略 n≥2 这个条件,只有当 n=1 时 a1=S1.求解后单独验证 a1 是否符合 an=Sn- Sn-1,若符合 an 即为通项公式,否则要用分段函数表示. 4.根据相邻两项的关系求通项公式: (1)累加法:已知 a1,且 an+1-an=f(n)(f(n)可求和),可用累加法. an+1 (2)累积法:已知 a1,且 a =f(n)(f(n)可求积),可用累积法. n Sn 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, n )(n∈N+)均在函数 y=3x-2 的图像 上. 求数列{an}的通项公式. 【思路点拨】 【规范解答】 Sn 由已知得 n =3n-2,再根据 an 与 Sn 的关系,求 an. Sn 依题意得, n =3n-2,即 Sn=3n2-2n.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5. 所以 an=6n-5(n∈N+).

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3an+1,求证{an}是等比数列,并求出通项公 式. 【解】 当 n=1 时,S1=a1=3a1+1,

1 ∴a1=-2≠0. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3an+1)-(3an-1+1) =3an-3an-1, an 3 ∴2an=3an-1,∴ = , an-1 2 ∴数列{an}是等比数列, 1 3 n-1 ∴an=a1qn-1=-2· (2) (n≥2). 又∵当 n=1 时也成立,

1 3 n-1 ∴an=-2· (2) .

裂项法、错位相减法求和 若数列的通项能裂成有规律的两项,使得在求和时中间有许多项抵消, 只留下很少的几项,则可用裂项法求和. 若数列{an}为等差数列, {bn}为等比数列, 则数列{an· bn}的前 n 项和可用 “错 位相减法”来求. 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? ? an ? ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ? ?

【思路点拨】 和. 【规范解答】

(1)根据已知列出 a1 与 d 的关系即可.(2)利用错位相减法求

(1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 由 已 知 条 件 可 得

?a1+d=0, ?a1=1, ? 解得? ?2a1+12d=-10, ?d=-1. 故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? an ? ? ? a2 an Sn a1 (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, 即 Sn=a1+ 2 +?+ n-1, 故 S1=1,2 = 2 2 ? ? ? ?

a2 an +22+?+2n. 所以,当 n>1 时, a2-a1 an-an-1 an Sn = a + ? + -2n 1+ 2 2 2n-1 1 ? 2-n ?1 1 =1-?2+22+?+2n-1?- 2n ? ? 1 ? 2-n n ? =1-?1-2n-1?- 2n =2n. ? ? n 所以 Sn= n-1. 2
? an ? ? ? n 综上,数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ? ? ? ?

数列{cn}的通项公式 cn=n· 2n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解】 Tn=1×2+2×22+3×23+?+(n-1)×2n-1+n×2n ② ①

2Tn=1×22+2×23+3×24+?+(n-1)×2n+n×2n+1 ①-②得 -Tn=2+22+23+?+2n-n×2n+1 2-2n×2 = -n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1 1-2 ∴Tn=(n-1)×2n+1+2.

等差与等比数列的综合应用 等差、等比数列是两类基本的数列,两数列相结合的问题经常考查,特 别是通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点. 1 1 1 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且a ,a ,a 成等
1 2 4

比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)记 bn=a (n∈N+),求{bn}的前 n 项和 Tn.
2n

【思路点拨】

1 1 1 (1)由a ,a ,a 成等比数列,可根据等比中项公式列等式.
1 2 4

(2)由(1)求出 bn,观察 bn 的特点求和. 【规范解答】
2

(1)设等差数列{an}的公差为 d,
1 4

1 1 1 由题意可知(a )2=a · a, 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2. 因为 d≠0,所以 d=a1=a. 故通项公式 an=na. 1 (2)由(1)知 a2n=2na,bn=2na, 11 1 1 ∴Tn=b1+b2+?+bn=a(2+22+?+2n)

1 1 ( 1 - 2n) 1 12 1 =a 1 =a(1-2n). 1-2

(2013· 潍坊高二检测)已知等比数列{an}中,a2,a3,a4 分别是某等差数列的 第 5 项,第 3 项,第 2 项,且 a1=64,公比 q≠1. (1)求 an; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)依题意得 a2=a4+3(a3-a4),即 2a4-3a3+a2=0,

∴2a1q3-3a1q2+a1q=0, 1 ∴2q2-3q+1=0,∴q=1 或 q=2, 1 ?1?n-1 ∵q≠1,∴q=2.故 an=64×?2? =27-n. ? ? (2)bn=log2an=log227-n=7-n. ∴{bn}是首项为 6,公差 d=-1 的等差数列. (6+7-n)n n(13-n) ∴Tn= = . 2 2

转化思想在数列中的应用 转化思想是将不易求解的问题转化为易求解的问题,从而使问题解 决.如等差数列的单调性、前 n 项和的最值可转化为不等式、二次函数或利用图 像来解.数列的通项、数列的求和、数列应用题可转化为等差数列、等比数列来 研究. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=4an+2(n∈N+),a1=1. (1)设 bn=an+1-2an,求 b1 并证明数列{bn}为等比数列; an (2)设 cn=2n,求证{cn}是等差数列. 【思路点拨】 (1)根据 an 与 Sn+1 的关系,对 Sn+1=4an+2 变形.

an (2)由(1)可求得 bn,从而看2n的特点,证明{cn}是等差数列. 【规范解答】 (1)∵a1=1,S2=4a1+2,

得 a2=S2-a1=3a1+2=5,

∴b1=5-2=3,

由 Sn+1=4an+2,得 Sn+2=4an+1+2, 两式相减得 Sn+2-Sn+1=4(an+1-an), 即 an+2=4(an+1-an),亦即 an+2-2an+1=2an+1-4an. ∵bn=an+1-2an, bn+1 ∴bn+1=2bn,∴ b =2 对 n∈N+恒成立, n ∴{bn}为首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)得 bn=3· 2n-1,∵bn=an+1-2an, ∴an+1-2an=3· 2n-1, ∴ an+1 an 3 3 n+1- n= ,即 cn+1-cn= , 2 4 4 2

1 又 c1=2, 1 3 ∴{cn}为首项为2,公差为4的等差数列.

已知数列{an}满足,a1=2,且 an=3an-1-(2n-3)(n≥2),求 an. 【解】 设 an-(xn+y)=3{an-1-[x(n-1)+y]},对应已知条件 an=3an-1- (2n-3),解得 x=1,y=0. ∴an-n=3[an-1-(n-1)], ∴数列{an-n}是首项为 a1-1=1,公比为 3 的等比数列. ∴an-n=1×3n-1,得 an=n+3n-1. 综合检测(一) 第一章 数 列 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.数列 1,-3,5,-7,?的一个通项公式为( A.an=2n-1 B.an=(-1)n+1(2n-1) )

C.an=(-1)n(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1)

【解析】

1,3,5,7,?是奇数列,通项公式 an=2n-1,又因为偶数项

为负,奇数项为正,故所求通项公式 an=(-1)n+1(2n-1). 【答案】 B

2.(2013· 大连高二检测)设{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an} 前 8 项的和为( )

A.128 B.80 C.64 D.56 【解析】 【答案】 a2+a7 3+13 ∵{an}是等差数列,∴S8= 2 ×8= 2 ×8=64. C )

1 3.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则公比 q=( 1 A.-2 B.-2

1 C.2 D.2 【解析】 【答案】 1 1 由 a5=4=a2· q3=2· q3,解得 q=2. D

4.(2013· 海淀高二检测)已知数列{an}为等差数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a1=2,S3=12,则 S4=( A.10 B.16 C.20 D.24 【解析】 3×2 ∵S3=3a1+ 2 d=6+3d=12,∴d=2, )

4×3 ∴S4=4a1+ d=20. 2 【答案】 C )

5. 等差数列{an}前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则前 3m 项的和为( A.130 B.170 C.210 D.260 【解析】 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列,

∴2×(100-30)=30+(S3m-100),∴S3m=210.

【答案】

C

6.(2012· 福建高考)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 法一 ?2a1+4d=10, 设等差数列{an}的公差为 d,由题意得? ?a1+3d=7,

?a1=1, 解得? ∴d=2. ?d=2. 法二 ∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,

∴a3=5. 又 a4=7,∴公差 d=7-5=2. 【答案】 B
11

a93 7.在等比数列中,已知 a1a83a15=243,则a 的值为( A.3 B.9 C.27 D.81 【解析】 ∵a1a15=a82,

)

∴a85=243=35,∴a8=3, a93 a9· a7· a11 ∴a = a =a9· a7=a82=9. 11 11 【答案】 B )

3 8.如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-3,那么这个数列的通项公式是( A.an=2(n2+n+1) B.an=3· 2n C.an=3n+1 D.an=2· 3n 【解析】 得 3 3 由 an=Sn-Sn-1=(2an-3)-(2an-1-3)(n≥2),

an =3,又 a1=6,∴{an}是以 a1=6,q=3 的等比数列,∴an=2· 3n. an-1 D )

【答案】

9. 数列 1, 1+2, 1+2+22, ?, 1+2+22+?+2n-1, ?的前 n 项和为(

A.2n+1-n C.2n-n 【解析】

B.2n+1-n-2 D.2n ∵an=1+2+22+?+2n-1=2n-1,

∴Sn=(2+22+?+2n)-n=2n+1-n-2. 【答案】 B

10.(2013· 宜昌高二检测)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=-2 010, S2 010 S2 008 2 010-2 008=2,则 a2=( A.-2 008 B.-2 012 C.2 008 D.2 012 【解析】
? ?

)

∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,

?Sn? ∴? n ?为等差数列,且首项为-2 010.

S2 010 S2 008 又∵2 010-2 008=2, S2 ∴公差为 1,∴ 2 =-2 010+1=-2 009. ∴S2=a1+a2=-2 009×2. 即 a2=-2 008. 【答案】 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 11. 2+1 与 2-1 的等比中项是________. 【解析】 【答案】 2+1 与 2-1 的等比中项是± ( 2+1)( 2-1)=± 1. ± 1

12.(2012· 广东高考)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a22-4,则 an =________. 【解析】 设公差为 d,则 a2=1+d,a3=1+2d,

代入 a3=a22-4 得 1+2d=(1+d)2-4, 解得 d=2 或 d=-2(舍去),∴an=2n-1. 【答案】 2n-1

13.在等差数列{an}中,a3=-12,a3,a7,a10 成等比数列,则公差 d 等于 ________. 【解析】 由{an}为等差数列,得 a7=a3+4d,a10=a3+7d,又 a3,a7,a10 成等比数列, 所以 a72=a3a10, 即(a3+4d)2=a3(a3+7d), 整理后,得 12d=16d2, 3 解得 d=0 或 d=4. 【答案】 3 0 或4

14.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初 1 时含杂质 2%,且每过滤一次可使杂质含量减少3,则要使产品达到市场要求,至 少应过滤________次.(取 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) 【解析】 设原有溶液 a,含杂质 2%a,经过 n 次过滤,含杂质 2%a×(1- 1n 3) . 要使 n 次过滤后杂质含量不超过 0.1%, 2 2%a×(3)n a



×100%≤0.1%,

1+lg 2 1+0.301 0 2 1 即(3)n≤20,n≥ = lg 3-lg 2 0.477 1-0.301 0 ≈7.387 8, ∴至少应过滤 8 次. 【答案】 8

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=10,S6 1 =72,bn=2an-30, (1)求通项公式 an;

(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值. 【解】 ?a1=2, (1)由 a3=10,S6=72,得? ?d=4,

∴an=4n-2. 1 (2)由(1)知 bn=2an-30=2n-31. ?2n-31≤0, 由题意知? ?2(n+1)-31≥0, 29 31 得 2 ≤n≤ 2 . ∵n∈N+,∴n=15. ∴{bn}前 15 项为负值时,Tn 最小. 可知 b1=-29,d=2,T15=-225. 16.(本小题满分 12 分)购买一件售价为 5 000 元的商品,采用分期付款的办 法, 每期付款数相同, 购买后 1 个月付款一次, 过 1 个月再付款一次, 如此下去, 到第 12 次付款后全部付清.如果月利率为 0.8%,每月利息按复利计算(上月利 息计入下月本金),那么每期应付款多少元?(精确到 1 元) 【解】 设每期应付款 x 元,则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和 为 x· (1+0.008)11 元; 第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为 x· (1+0.008)10 元; ? 第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为 x· (1+0.008)元; 第十二期付款已没有利息问题,即为 x 元. 所以各期付款连同利息之和为 x(1+1.008+1.0082+?+1.00811) 1.00812-1 = x. 1.008-1 又所购商品的售价及其利息之和为 5 000×1.00812, 于是有 1.00812-1 x=5 000×1.00812, 1.008-1

∴x≈439 元.

答:每期应付款约 439 元. 17.(本小题满分 12 分)(2013·青岛高二检测)已知数列{an}各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1)2. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 【解】 1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an· an+1

∵4Sn=(an+1)2,

(an+1)2 (an+1+1)2 所以 Sn= , S = . n+1 4 4 (an+1+1)2-(an+1)2 所以 Sn+1-Sn=an+1= , 4 即 4an+1=an+12-an2+2an+1-2an, ∴2(an+1+an)=(an+1+an)· (an+1-an). 因为 an+1+an≠0,所以 an+1-an=2,即{an}为公差等于 2 的等差数列. 由(a1+1)2=4a1,解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)由(1)知 bn= 1 1 1 1 =2( - ), (2n-1)(2n+1) 2n-1 2n+1 1 1 1 1 - )= 2(1 - ) 2n-1 2n+1 2n+1

1 1 1 1 ∵Tn = b1 + b2 +?+ bn= 2(1 - 3 +3 - 5 + ?+ 1 1 =2- . 2(2n+1)

18.(本小题满分 14 分)(2012· 山东高考)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84, a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm, 求数列{bm}的前 m 项和 Sm. 【解】 (1)因为{an}是一个等差数列,

所以 a3+a4+a5=3a4=84, 所以 a4=28. 设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1,

所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m, 则 9m+8<9n<92m+8, 因此 9m-1+1≤n≤92m-1, 故得 bm=92m-1-9m-1. 于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+93+?+92m-1)-(1+9+?+9m-1) 9×(1-81m) (1-9m) = - 1-81 1-9 = 92m+1-10×9m+1 . 80


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