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红对勾文科数学7-4


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必考部分·第七章

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第七章 立体几何

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第四节 直线、平面平行的判定及其性质

高三总

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第七章·第四节

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考纲解读 1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间 中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平 行关系的简单命题.

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第七章·第四节

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考情剖析 1.直线与平面平行的判定与性质及平面与平面平行的判定与性质 是高考的热点之一,考查线线、线面以及面面平行的转化,考查学生 的空间想象能力及逻辑推理能力. 2.从考查题型看,既有客观题又有主观题.客观题一般围绕线面平 行的判定和性质定理的辨析设计试题;主观题主要是围绕线、面平行 的判定和性质定理的应用设计试题,一般设计为解答题中的一问 .

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第七章·第四节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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1.直线与平面平行 (1)判定定理

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文字语言 平面外一条 直线与此平 判定 定理 面内的一条 直线平行, 则直线与此 平面平行.

图形语言

符号语言

a?α ? ? b?α?? b∥a ? ? a∥α

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(2)性质定理 文字语言 如果一条直线和一 个平面平行,经过 性质 这条直线的平面和 定理 这个平面相交,那 么这条直线就和交 线平行. a∥α ? ? a?β ?? α∩β=b? ? a∥b 图形语言 符号语言

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1.如果一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直 线和这个平面平行吗? 提示:不一定.只有当此直线在平面外时才有线面平 行. 2.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这 个平面的任意一条直线都平行吗? 提示:不可以,对于任意一条直线而言,存在异面的 情况.

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2.平面与平面平行 (1)判定定理 文字语言 一个平面内有 判定 定理 两条相交直线 与另一个平面 平行,则这两 个平面平行. 图形语言 符号语言 a?α ? ? b?α ? ? a∩b=P?? ? a∥β ? b∥β ? ? α∥β

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(2)两平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行 性质 定理 平面同时和第 三个平面相 交,那么它们 的交线平行. α∥β ? ? α∩γ=a ? β∩γ=b? ? a∥b ? 图形语言 符号语言

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3.如果一个平面有无数条直线与另一个平面平行,那 么这两个平面平行吗? 提示:不一定.可能平行,也可能相交. 4.如果两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个 平面有什么位置关系? 提示:平行.

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1.下列命题中,正确的是( A.若a∥b,b?α,则a∥α B.若a∥α,b?α,则a∥b C.若a∥α,b∥α,则a∥b

)

D.若a∥b,b∥α,a?α,则a∥α

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解析:由直线与平面平行的判定定理知,三个条件缺 一不可,只有选项D正确.
答案:D

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2.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离 相等,那么直线l与平面α的位置关系是( A.l∥α C.l与α相交但不垂直 B.l⊥α D.l∥α或l?α )

解析:当直线l∥α或l?α时,满足条件.

答案:D

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3.下列条件中,能判断两个平面平行的是 ( A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

)

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

答案:D

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4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是DD1的中点, 则BD1与平面ACE的位置关系为________.

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解析:如图.连接AC、BD交于O点,连接OE,因为 OE∥BD1,而OE?平面ACE,BD1?平面ACE,所以BD1∥ 平面ACE.

答案:平行

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5.已知平面α∥β,直线a?α,有下列说法: ①a与β内的所有直线平行; ②a与β内无数条直线平行; ③a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是________.

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解析:由面面平行的性质可知,过a与β相交的平面与β 的交线才与a平行,故①错误;②正确;平面β内的直线与 直线a平行,异面均可,其中包括异面垂直,故 ③错误.
答案:②

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直线与平面平行的判定及性质

【例1】

(2013· 新课标全国卷Ⅱ节选)如下图,直

三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1∥ 平面A1CD. 要证明线面平行一般是转化为线线平行来 证明,连接AC1交A1C于F,连接DF即可证明线线平行, 从而得线面平行.

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?题图?

?答图?

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【证明】

连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点,又

D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF,∵DF?平面A1CD, BC1?平面A1CD,∴BC1∥平面A1CD.

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?1?证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与 已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中 位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找 比例式证明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内 .

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?2?证明直线与平面平行的方法: ①利用定义结合反证;② 利用线面平行的判定定理;③利用面面平行的性质.

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如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形, ∠BAD=60° ,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC 的中点,F是AB的中点.求证:BE∥平面PDF.

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?题图?

?答图?

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证明:取PD中点为M,连接ME,MF, ∵E是PC的中点, 1 ∴ME是△PCD的中位线,∴ME綊 CD. 2

∵F是AB的中点且四边形ABCD是菱形,AB綊CD,

∴ME綊FB,

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∴四边形MEBF是平行四边形,∴BE∥MF. ∵BE?平面PDF,MF?平面PDF,∴BE∥平面PDF.

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平面与平面平行的判定及性质

【例2】

如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱

长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1 上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点. (1)求证:E、B、F、D1四点共面; (2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.

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?题图?

?答图?

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【证明】 (1)连接FG.∵AE=B1G=1,∴BG=A1E= 2, ∴BG綊A1E,∴A1G∥BE.

又∵C1F綊B1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形.

∴FG綊C1B1綊D1A1,∴四边形A1GFD1是平行四边形.

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∴A1G綊D1F,∴D1F綊EB,故E、B、F、D1四点共

面. 3 (2)∵H是B1C1的中点,∴B1H=2. B1G 2 又B1G=1,B H=3. 1 FC 2 又 = ,且∠FCB=∠GB1H=90° . BC 3 ∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG.
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∴HG∥FB. 又由(1)知,A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE= B, ∴平面A1GH∥平面BED1F.

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证明面面平行的方法有: ?1?面面平行的定义; ?2?面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;

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?3?面面平行的判定定理的推论:如果一个平面内有两条相 交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个 平面平行. ?4?利用垂直于同一条直线的两个平面平行.

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如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.

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证明:(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共 面. (2)∵E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,

∴A1E∥GB.
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∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.

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线面平行中的探索性问题

【例3】

如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,

A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是 否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E 的位置;若不存在,请说明理由.

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?题图?

?答图?

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【解析】

存在点E,且E为AB的中点.

下面给出证明: 如图,取BB1的中点F,连接DF,则DF∥B1C1, ∵AB的中点为E,连接EF,则EF∥AB1. 又B1C1与AB1是相交直线 ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.

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破解探索性问题的方法 解决探索性问题一般要采用执果索因的方法,假设求 解的结果存在,从这个结论出发,寻找使这个结论成立的 充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存 在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不 存在.

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如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为 等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一 点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在,求点F的位 置;若不存在,请说明理由.

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解:存在这样的点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1,此 时点F为AB的中点,证明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD,∴AF綊CD,

∴四边形AFCD是平行四边形,∴AD∥CF, 又AD?平面ADD1A1,CF?平面ADD1A1, ∴CF∥平面ADD1A1.

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又CC1∥DD1,CC1?平面ADD1A1,DD1?平面 ADD1A1, ∴CC1∥平面ADD1A1, 又CC1、CF?平面C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

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1.平行问题的相互转化

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2.证明线面平行的思路 在证明线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低 维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平 行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序 恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条 件而定,决不可过于“模式化”.

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研经典·明考向

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思想方法指津(十三) 转化与化归思想在证明平行关系 中的应用 【典例】 如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

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(1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M为线段AE的中点,求证: DM∥平面BEC.

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审题视角 (1)作辅助线,证明△BED为等腰三角形;(2)可以先证 面面平行,再得线面平行.

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规范解答 (1)如图(1),取BD的中点O,连接CO,EO. 由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO. 又O为BD的中点,所以BE=DE.

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规范解答 (2)如图(2),取AB的中点N,连接DM,DN,MN.

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规范解答 因为M是AE的中点,所以MN∥BE. 又MN?平面BEC,BE?平面BEC,所以MN∥平面BEC. 又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30° . 又CB=CD,∠BCD=120° ,因此∠CBD=30° .所以 DN∥BC. 又DN?平面BEC,BC?平面BEC,所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC. 又DM?平面DMN,所以DM∥平面BEC.
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点 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决 拨 与平行有关证明题的指导思想,解题中既要注意一 提 般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正 升 确的转化方向.

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如图,P为?ABCD所在平面外一点,M,N分别为 AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l. (1)判断BC与l的位置关系,并证明你的结论; (2)判断MN与平面PAD的位置关系,并证明你的结论.

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解:(1)结论:BC∥l, 因为AD∥BC,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以 BC∥平面PAD. 又因为BC?平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以 BC∥l. (2)结论:MN∥平面PAD. 设Q为CD的中点,如下图所示,连接NQ,MQ, 则NQ∥PD,MQ∥AD.

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又因为NQ∩MQ=Q,PD∩AD=D, 所以平面MNQ∥平面PAD. 又因为MN?平面MNQ, 所以MN∥平面PAD.

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