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2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课时作业


3.2.1

直线的方向向量与平面的法向量

课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.理解直线的方向向量与平面的法 向量在确定直线与平面时的作用.

1.直线的方向向量 直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的______________. 2.平面的法向量 如果表示非零向量

n 的有向线段所在直线垂直于平面 α ,那么称向量 n__________平面 α ,记作________,此时把向量 n 叫做平面 α 的__________. 3.平面法向量与平面内点之间的关系 在空间直角坐标系内,设平面 α 经过点 P(x0,y0,z0),平面 α 的法向量 n=(A,B,C), M(x,y,z)为平面 α 内任意一点, 则 x, y,z 满足的关系式为______________________.

一、填空题 → 1.已知 A(3,5,2) ,B(-1,2,1) ,把AB按向量 a=(2,1,1)平移后所得的向量是________. 2.从点 A(2,-1,7)沿向量 a=(8,9,-12)的方向取线段长 AB=34,则 B 点的坐标为 ________. 3. 已知 a=(2,4,5), b=(3, x, y)分别是直线 l1、 l2 的方向向量, 若 l1∥l2, 则 x=________; y=________. 4.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β , 则 k=________. ? 1 ? 5.已知 l∥α ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为?1, ,2?,则 m= ? 2 ? ________. 6.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则 l 的一个方向向量

a = |a|

________________________________________________________________________. 7.

如图所示,已知矩形 ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满 足 PQ⊥QD,则 a=________. 8 . 已 知 A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) , 则 平 面 ABC 的 单 位 法 向 量 坐 标 为 ________________________. 二、解答题 9.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个 法向量.

1

10.△ABC 中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),设 M(x,y,z)是平面 ABC 上任一点. (1)求平面 ABC 的一个法向量; (2)求 x,y,z 满足的关系式.

2

能力提升 11.

在三棱锥 S—ABC 中, △ABC 是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC⊥平面 ABC, SA=SC=2 3, M、N 分别为 AB、SB 的中点,如图所示,求平面 CMN 的一个法向量.

12.

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点. → 求证:EF是平面 AB1C 的法向量.

3

1.直线的方向向量是一个很重要的概念.由定点 A 和方向向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可具体表示出 l 上的任意点;还可确定直线共线的条件,计算两条直线所成 的角等. 2.求解平面的法向量 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解. 3.由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式. §3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 知识梳理 1.方向向量 2.垂直于 n⊥α 法向量 3.A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 作业设计 1.(-4,-3,-1) → 解析 AB=(-4,-3,-1).平移后向量的模和方向是不改变的,所以平移后的向量和 → 向量AB相等. 2.(18,17,-17) → 解析 设 B(x,y,z),AB=(x-2,y+1,z-7)=λ (8,9,-12),λ >0. 故 x-2=8λ ,y+1=9λ ,z-7=-12λ ,又(x-2) +(y+1) +(z-7) =34 , 2 2 得(17λ ) =34 ,∵λ >0,∴λ =2.∴x=18,y=17,z=-17,即 B(18,17,-17). 3.6 15 2
2 2 2 2

解析 ∵l1∥l2,∴a∥b,则有 2x=12 且 2y=15, 15 解方程得 x=6,y= . 2 4.4 解析 α ∥β ?(-2,-4,k)=λ (1,2,-2),
4

∴λ =-2,k=4. 5.-8

? 1 ? 解析 (2,m,1)·?1, ,2?=0,得 m=-8. ? 2 ?
6.? 14 3 14? ? 14 14 3 14? ? 14 , , ?或?- ,- ,- ? 7 14 ? ? 14 7 14 ? ? 14

7.2 解析 以 A 为原点,AB,AD,AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系, → → 设 Q(1,y,0),P(0,0,b),D(0,a,0),所以PQ=(1,y,-b),QD=(-1,a-y,0), 由 PQ⊥QD 得-1+y(a-y)+0=0,即 y -ay+1=0 有等根,所以 Δ =0,即 a -4=0, 得 a=2. 8.? 3 3? ? 3 3 3? ? 3 , , ?或?- ,- ,- ? 3 3? ? 3 3 3? ?3
2 2

9.解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), → → ∴AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3), → → 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z).依题意,应有 n·AB=0,n·AC=0.
? ?x-2y-4z=0 即? ?2x-4y-3z=0 ?

,解得?

? ?x=2y ?z=0 ?

.

令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 10.解 (1)设平面 ABC 的法向量 n=(a,b,c), → → ∵AB=(2,4,-1),AC=(2,2,1), → ? ?n·AB=2a+4b-c=0 ∴? ?n·→ AC=2a+2b+c=0 ?

c=b ? ? ,∴? 3 a=- b ? 2 ?

.

故可取 n=(-3,2,2). ∴平面 ABC 的一个法向量为 n=(-3,2,2). (2)∵点 M(x,y,z)是平面 ABC 上任一点, ∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0. ∴3x-2y-2z-1=0. 这就是所求的 x、y、z 满足的关系式. 11.

5

解 取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴CA⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC, 平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC, ∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O—xyz, 则 A(2,0,0),B(0,2 3,0), C(-2,0,0),S(0,0,2 2), M(1, 3,0),N(0, 3, 2). → → ∴CM=(3, 3,0),MN=(-1,0, 2). 设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量, → ? ?CM·n=3x+ 3y=0 则? → ? ?MN·n=-x+ 2z=0

,取 z=1,

则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1). 因此平面 CMN 的一个法向量为( 2,- 6,1). 12.

证明 分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,不 → 妨设|AB|=2, 则 E(2,2,1),F(1,1,2), A(2,0,0),B1(2,2,2),C(0,2,0). → → → ∴EF=(-1,-1,1),AB1=(0,2,2),AC=(-2,2,0), →

EF·AB1=-2+2=0,EF·AC=2-2=0. EF⊥AB1? ? → ??EF⊥平面 AB1C. → →? EF⊥AC ?
→ ∴ →







→ ∴EF是平面 AB1C 的法向量.

6


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