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2.4.1抛物线及其标准方程教案


2.4.1 抛物线及其标准方程
授课时间: 授课时间:2008.12.11 教学目标 班级:高二( 班级:高二(9) 授课人: 授课人:高新俊

知识与技能 1. 理解抛物线的定义并掌握其标准方程; 2. 掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系; 3. 区分标准方程的四种形式并能解决求标准方程的问题. 过程与方法 通过标准方程的推导过程巩固求曲线方程的一般方法. 情感态度价值观 通过例题感受抛物线在生活中的应用,培养学生用数学的眼光看待客观世界.

教学重点
抛物线的标准方程及其求法.

教学难点
区分标准方程的四种形式,理解 p 的几何意义.

教学方法
问题式教学法,类比法.

教学过程
复习引入 引入: Ⅰ.复习引入 我们知道,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹,当 0<e<1 时是椭圆, 当 e>1 时是双曲线,那么,当 e=1 时,它是什么曲线呢? 用几何画板演示抛物线的生成过程:

动点 M 的轨迹是什么?它在运动中满足什么几何条件? 讲授新课: Ⅱ.讲授新课: 1.抛物线的定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点 F 叫抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 师:我们要想研究曲线的几何特征,就必须知道曲线的方程;下面,我们来求抛物线的方程. 2.抛物线的标准方程: ①推导过程: 师:求曲线方程的一般步骤?

对于抛物线,我们该如何建立坐标系,才能使方程更为简单? (老师引导学生交流,讨论,得出结论) 如图,以过 F 且垂直于 l 的直线为 x 轴,垂足为 K.以 F,K 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系 xoy. 设|KF|=p(p>0),那么焦点 F 的坐标为 (

p p , 0) ,准线 l 的方程为 x = ? . 2 2

设点 M(x,y)是抛物线上任意一点,点 M 到 l 的距离为 d.由抛物线的定义,抛物线就是集合

P = {M || MF |= d } .

∵| MF |= ( x ? ∴ (x ?

p 2 p ) + y 2 , d =| x + |, 2 2

p 2 p ) + y 2 =| x + | . 2 2


将上式两边平方并化简,得 y 2 = 2 px( p > 0) .

方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,坐标是 ( 程是 x = ?

p , 0) 它的准线方 2

p . 2

②抛物线标准方程的四种形式: 师:一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其他 几种形式: y 2 = ?2 px x 2 = 2 py x 2 = ?2 py .这四种抛物线的图形,标准方程,焦点坐标以及标准方程 列表如下:(学生归纳) 图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y 2 = 2 px (p>0)

p ( ,0 ) 2

x=?

p 2

y 2 = ?2 px (p>0)

(?

p ,0 ) 2

x=

p 2

x 2 = 2 py (p>0)

p (0, ) 2

y=?

p 2

x 2 = ?2 py (p>0)

p (0,? ) 2

y=

p 2

根据表格归纳 第一:一次项的变量如为 x(或 y),则 x 轴(或 y 轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.

Ⅲ.例题讲解: 例题讲解: 师:下面,我们通过例题来熟悉一下抛物线标准方程、焦点坐标与准线方程的相互关系.
2 例 1.(1)已知抛物线的标准方程是 y = 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2) ,求它的标准方程. 解: (1)因为 p=3,所以焦点坐标是 ( , 0) 准线方程是 x = ? (2)因为焦点在 y 轴的负半轴上,并且

3 2

3 2

p = 2, p = 4 所以所求抛物线的标准方程是 x 2 = ?8 y . 2

说明:此题是抛物线标准方程的直接应用,要求学生熟练掌握. 2.求过点 A(-3,2)的抛物线的标准方程. 例 2. 解:如图,若抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时,设所求抛物线的方

9 程为 x = 2 py ( p > 0) ,把 A(-3,2)代入方程,解得 p = ; 4
2

A

y

若抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时,设所求抛物线的方程为

x

2 y = ?2 px( p > 0) ,把 A(-3,2)代入方程,得 p = ; 3 9 4 2 2 ∴抛物线的标准方程为 x = y 或 y = ? x . 2 3
2

说明:此题考察抛物线标准方程的理解及分类讨论. 3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 例 3. 经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为 4.8m,深度为 0.5m.试建立适当的坐标系,求抛物线的 标准方程和焦点坐标. 解:如图建立坐标系. 设抛物线的标准方程是 y 2 = 2 px ( p > 0) .由已知条件可得,点 A 的坐标 是 (0.5, 2.4) 代入方程,得 y

2.4 2 = 2 p × 0.5 ,
即 p = 5.76 . 所以,所求抛物线的标准方程是 y 2 = 11.52 x ,焦点坐标是 (2.88, 0) .

O

X

Ⅳ.课堂练习: 课堂练习: 课本练习 P67 1,2,3 课堂小结: Ⅴ.课堂小结: 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的定义及其标准方程,并掌握抛物线的焦点、准线及方程 的相互关系,并能应用它解决一些相关问题. 课后作业: Ⅵ.课后作业: P73 习题 2.4 1,2,3. 思考:M 是抛物线 y2 = 2px(p>0)上一点,若点 M 的横坐标为 x0,则点 M 到焦点的距离是多少?

教学后记: 教学后记:


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