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二倍角公式1


二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、复习回顾:两角和的正弦、余弦、正切公式
sinαcosβ+ cosαsinβ sin ?α+β? =

cos ?α+β? = cosαcosβ-sinαsinβ
tanα+ tanβ tan ?α+β ?= 1- tanαtanβ

若上述公式中 , β=α

r />
你能否对它进行变形?

二、公式推导 二倍角公式
sin2α? 2sinαcosα

cos2α? cos 2α? sin2α 2tanα tan2α? 1 ? tan2α
对于 C2α 能否有其它表示形式?
cos2α? 2cos 2α? 1
cos2α? 1 ? 2sin2α

即:cos2α? cos 2α? sin2α? 2cos 2α? 1 ? 1 ? 2sin 2α

三、公式应用

5 ππ 例1:已知sin2α= ,α?( , ), 13 4 2 求sin4α,cos4α,tan4α的值。

π π π 解: ∵ <α< ∴ < 2α<π 4 2 2
5 ∵sin2α= , 13 12 ∴cos2α= - 1- 2sin 2α= 13
2

5 ππ 已知sin2α= ,α?( , ),求sin4α, 13 4 2 cos4α,tan4α的值。 ∴sin4α=sin(2×2α)=2sin2αcos2α
5 12 120 = 2× ×(- )= 13 13 169 5 119 ∴cos4α= cos(2×2α)=1- 2sin2 2α=1- 2×( )2 = 13 169
∴tan4α= sin4α 120 169 120 =()× =cos4α 169 119 119

练习1
α 4 1,已知cos ? ? , 8 5 8π?α? 12π,求sin

?
4

, cos

?
4

, tan

?
4

3 2,已知sin(α-π) ? ,求cos2α的值。 5

4 例2:在ΔABC中,cosA = ,tanB= 2,求tan(2A + 2B)的值。 5 解

4 4 2 3 2 ? cosA ? ,0 ? A ?π ? sinA ? 1 ? sin A ? 1 ? ( ) ? 5 5 5 sinA 3 tanA ? ? cosA 4 2tanA 24 2tanB 4 法1:tan2A ? ? , tan2B ? ?? 2 2 1 - tan A 7 1 ? tan B 3 tan2A ? tan2B 44 tan(2A ? 2B) ? ? 1 - tan2Atan2B 117 tanA ? tanB 11 法2:tan(A ? B) ? ?? 1 - tanAtanB 2 2tan(A ? B) 44 tan(2A ? 2B) ? tan?2(A ? B)? ? ? 2 1 ? tan (A ? B) 117

练习 3 1 ?π ? 1,已知sinθ? ,α? ? ,π?, tan? ? ,求tan(2θ? 2? ). 5 2 ?2 ?
1 1 2,已知tanθ ? , tan ? ? ,求tan(θ? 2? ). 7 3

5 3,已知等腰三角形一个底 角的正弦值为 , 13 求这个三角形的顶角的 正弦、余弦、正切。


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