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高一函数单调性奇偶性经典练习


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函数单调性奇偶性

函数单调性奇偶性经典练习
一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用,也有很多题会以判断单调性单独出题或 有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答,另有部分以函数单调性质的运用为主. (一)函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法:

? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 单调增函数 ?定义法(重点):在其定义域内有任意x1,x2且x1 ? x2 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 单调增函数 ? ?复合函数快速判断:“同增异减” ? ? ? f ( x) ? g ( x) ? 增 ? ?? f ( x)为减函数 ? ? ? ? f ( x) ? g ( x) ? 增 ? ?基本初等函数加减(设f ( x)为增函数,g ( x)为减函数): ? g ( x)为增函数 ? ? ? ? g ( x) ? f ( x) ? 减 ? ? ?互为反函数的两个函数具有相同的单调性.
例 1 证明函数 f ( x ) ?

2x ? 3 在区间 (4, ? ?) 上为减函数(定义法) x?4

解析:用定义法证明函数的单调性,按步骤“一假设、二作差、三判断(与零比较) ”进行. 解:设 x1,x2 ? (4, ? ?) 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 11( x2 ? x1 ) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

? x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? x1 ? 0 , ( x1 ? 4) ? 0 , ( x2 ? 4) ? 0
? ?) 上为减函数. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故函数 f ( x) 在区间 (4,
练习 1 证明函数 f ( x) ?

2x ?1 在区间 (?3, ? ?) 上为减函数(定义法) x?3

练习 2 证明函数 f ( x) ? x2 ? 2 ? 3x 在区间 (??, ) 上为增函数(定义法、快速判断法)

2 3

练习 3 求函数 f ( x) ?

x ?3 定义域,并求函数的单调增区间(定义法) x?2

练习 4 求函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 ? x 定义域,并求函数的单调减区间(定义法)

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函数单调性奇偶性

(复合函数,基本初等函数相加减问题,反函数问题在本章结束时再练习) (二) 函数单调性的应用

?单独考查单调性:结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数 ? ?定义域与单调性结合:结合定义域与变量函数值关系求参数 ?值域与单调性结合:利用函数单调性求值域 ?
例 1 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且 f ( x2 ? 2x) ? f (3 ? a) 恒成立,求实数 a 的范围。

练习 1 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且 f ( x2 ) ? f (3 ? a) 恒成立,求实数 a 的范围

练习 2 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且 f (a2 ) ? f (3 ? 2a) 恒成立,求实数 a 的范围

例 2 若函数 f ( x ) 是定义在 ? ?2, 2? 上的减函数,且 f (2m ? 3) ? f (m2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

练习 1 若函数 f ( x ) 是定义在 ??13 , ? 上的减函数,且 f (2m ? 3) ? f (5 ? 4m) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

例 3 求函数 f ( x) ? ? x2 ? x ? 1 ? 2x 在区间 ? ??, ? 上的最大值.

? ?

1? 2?

练习 1 求函数 f ( x) ? ?3x2 ? 2x ? 1 ? 4x 在区间 ? ? , ? 上的最大值 ? 4 4?

? 1 1?

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函数单调性奇偶性

二 、奇偶性题型

? ( ? 1)判断函数定义域是否关于原点对称 ? ? ( ? ? 2)求出f (? x)的表达式 ? ? ? f ( x) ? f (? x) ? 偶函数 ? ? ? ? ?函数奇偶性判断:判断步骤 ? ? f ( x) ? ? f (? x) ? 奇偶函数 ( ? ? 3)判断关系 ? f ( x) ? f (? x) ? ? f (? x) ? 非奇非偶函数 ? ? ? ? f ( x) ? f (? x) ? ? f (? x) ? 即是奇函数又是函数 ? ? ? ? ? ? ? ?注:判断奇偶性先求出定义域判断其是否关于原点对称可加快做小题速度 ? ?奇 ? 奇=奇 ? ? ? ?偶偶=偶 ?基本初等函数之快速判断: ? ? ?奇偶=非奇非偶 ? ?奇偶相乘除:同偶异奇 ? ? ? ( ? 1)利用函数奇偶性求值 ? ? ?函数奇偶性质运用: ( ? 2)利用函数奇偶性表达式 ? ? 3)利用奇偶性求值域 ( ? ? ? ?定义在R上任意函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和:
例 1 判断下列函数的奇偶性 1)

f ? x ? ? x ? x 2 ? 1?

2) f ? x ? ? 1 ? x ?
2

x2 ?1
x?0 x?0
2

3) f ? x ? ?

x?2 ? x?2

?1 2 x ?1 ? ?2 4) f ? x ? ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ? ? 2
2

解:1) f ? x ? 的定义域为 R, f ? ? x ? ? ? x

?? ?x ? ?1? ? x ? x ? 1? ? f ? x? 所以原函数为偶函数。

?1 ? x 2 ? 0 ? 2) f ? x ? 的定义域为 ? 2 即 x ? ?1 ,关于原点对称,又 f ? ?1? ? f ?1? ? 0 即 ? ?x ?1 ? 0

f ? ?1? ? f ?1? 且f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以原函数既是奇函数又是偶函数。
3) f ? x ? 的定义域为 ?

?x ? 2 ? 0 即 x ? 2 ,定义域不关于原点对称,所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。 2 ? x ? 0 ?

4)分段函数 f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? 关于原点对称, 当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ? ? x ? ? ?

1 1 1 2 ? 2 ? ? x ? ?1 ? ? x2 ?1 ? ? ? ? x ? 1? ? ? f ? x ? 2 2 ?2 ? 1 1 1 2 ? 2 ? ? x ? ? 1 ? x2 ? 1 ? ? ? ? ? x ? 1? ? ? f ? x ? 2 2 ? 2 ?

当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ? ? x ? ?

综上所述,在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上总有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 所以原函数为奇函数。
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函数单调性奇偶性

注意:在判断分段函数的奇偶性时,要对 x 在各个区间上分别讨论,应注意由 x 的取值范围确定应用相应的函数表 达式。 练习 判断下列函数的奇偶性

? x ? 6 ? ? x 2 ? 1? 1) f ? x ? ? x ? x ? 6?
4) f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2

2) f ? x ? ?

2 ? x2 x?2 ?2
2 ? ?x ? x 2 ? ?? x ? x

3) f ? x ? ?

x2 ? 3 ? 3 ? x2

5) f ? x ? ? ?

x?0 x?0

例 2 设 f ? x ? 是 R 上是奇函数,且当 x ??0, ??? 时 f ? x ? ? x 1 ? 解:? 当 x ??0, ??? 时有 f ? x ? ? x 1 ?

?

3

x ,求 f ? x ? 在 R 上的解析式

?

?

3

x ,设 x ? ? ??,0? , 则 ? x ? ? 0, ?? ? ,从而有
,? f ? x ? 是 R 上是奇函数,? f ? ? x ? ? ? f ? x ?

?

f ? ?x? ? ? ?x? 1? 3 ?x ? ?x 1? 3 x

?

?

?

?

所以 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? x 1 ?

?

3

x

?

?x 1? 3 x ? ,因此所求函数的解析式为 f ? x ? ? ? ?x 1? 3 x ?

? ?

? ?

x?0 x?0

注意:在求函数的解析式时,当球自变量在不同的区间上是不同表达式时,要用分段函数是形式表示出来。 练习 1 已知 y ? f ? x ? 为奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?x ? 2x ,求 f ? x ? 的表达式。
2

例 3 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? 8 且 f ? ?2? ? 10 ,求 f ? 2 ? 的值
5 3

解:令 g ? x ? ? x ? ax ? bx ,则 f ? x ? ? g ? x ? ? 8 f ? ?2? ? g ? ?2? ? 8 ? 10 ? g ? ?2? ? 18
5 3

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函数单调性奇偶性

? g ? x? 为奇函数,? g ? ?2? ? ?g ? 2? ? 18 ? g ? 2? ? ?18 f ? 2? ? g ? 2? ? 8 ? ?18 ? 8 ? ?26
练习 1 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? dx ? 4 且 f ? ?3? ? ?9 ,求 f ? 3? 的值
7 5 3

例 4 设函数 f ? x ? 是定义域 R 上的偶函数,且图像关于 x ? 2 对称,已知 x ? [?2, 2] 时, f ? x ? ? ?x ? 1
2

求 x ???6, ?2? 时 f ? x ? 的表达式。 解:? 图像关于 x ? 2 对称,? f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , f ? x ? ? f 2 ? ? 2 ? x ? = f ? 4 ? x ? ? f [? ? x ? 4?] ? f ? x ? 4? f ? x ? ? f ? x ? 4? ? T ? 4 x ???6, ?2?

?

?

x ? 4 ? ??2, 2? ? f ? x ? 4 ? ? ? ? x ? 4 ? ? 1 ? f ? x ?
2

所以 x ???6, ?2? 时 f ? x ? 的表达式为 f ? x ? = ? ? x ? 4 ? ? 1
2

练习 1 设函数 f ? x ? 是定义域 R 上的偶函数, 且 f ( x ? 2) ? f (4 ? x) 恒成立, 已知 x ? [?1, 2] 时,f ? x ? ? ?2x ? 3
2

求 x ??5,8? 时 f ? x ? 的表达式

2 2 例 5 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上单调递增,且有 f 2a ? a ? 1 ? f 3a ? 2 ? 1

?

?

?

?

求 a 的取值范围。

解:? 2a 2 ? a ? 1 ? 2 ? a ?

? ?

1? 7 1? 2 ? 2 ? ? ? 0 ,3a ? 2a ? 1 ? 3 ? a ? ? ? ? 0 ,且 f ? x ? 为偶函数,且在上 ? ??,0? 4? 8 3? 3 ?

2

2

2 2 单调递增,? f ? x ? 在 ? 0, ??? 上为减函数,? 2a ? a ? 1 ? 3a ? 2 ? 1 ? 0 ? a ? 3

所以 a 的取值范围是 ? 0,3?
2 练习 1 定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? 为减函数,且 f ?1 ? a ? ? f 1 ? a ? 0 ,求实数 a 的取值范围

?

?

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函数单调性奇偶性

练习 2 定义在 ? ?2, 2? 上的偶函数 g ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? 为减函数,若 g ?1 ? m? ? g ? m? 成立,求 m 的取值范 围.

综合练习 1.判断函数 y ? x ? x ? 5 的奇偶性
9

2.求下列函数的单调区间
2 (1) y ? x ? x ? 12 ;

(2) y ?

1 ; 2 x ? 2x ? 3

2 ? ? x ? 2x ? x ? 2? f x ? (3) ? ? ? 2 ? ? x ? 3x ? 1 ? x ? 2 ?

3 函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1 ? x 2 ) 的单调递增区间是
3 4.若函数 f ? x ? 在区间 ? ? a ? 3, 2a ? ? 上是奇函数,则 a=(

)

A.-3 或 1

B。 3 或-1

C1

D

-3

已知函数 f ? x ? ? A 奇函数

3? x ?3 4 ? x2

,则它是( ) C 即是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数

B 偶函数

5.判断下列函数的奇偶性

(1) f ? x ? ? x

2

? ?1 ? x ? 3?

?x ?1 ? (2) f ? x ? ? ?0 ? ?x ?1

? x ? 0? ? x ? 0? ? x ? 0?
).

6.已知定义在R上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

7.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,则 f ? 6 ? 的值为()

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

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函数单调性奇偶性

8.已知函数 f(x)= (1)当 a=

x 2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x
1 时利用函数单调性的定义判断其单调性,并求其值域. 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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