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高中数学教师说课稿--椭圆及其标准方程(李季)


高中数学教师说课稿

第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动教案
课题:椭圆及其标准方程 教材:人教版(必修)数学第二册(上)第八章第一节 授课教师:(吉林省)东北师范大学附属实验学校 一、教学目标: 1.知识与技能目标: (1)掌握椭圆定义和标准方程. (2)能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2.过程与方法目标: (1)通过椭圆定义的归纳

和标准方程的推导,培养学生发现规律、认识 规律并利用规律解决实际问题的能力. (2)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合 等数学思想和方法 3.情感态度与价值观目标: (1)通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. (2)通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁 美”. (3)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强 主动与他人合作交流的意识. 二、教学重点、难点: 1.重点:椭圆定义及其标准方程 2.难点:椭圆标准方程的推导 三、教学过程 (一)认识椭圆,探求规律: 1.对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实 物和图片,让学生从感性上认识椭圆. 2. 通过动画设计, 展示椭圆的形成过程, 使学生认识到椭圆是点按一定 “规 律”运动的轨迹. 李季

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点 B 是线段 AC 上一动点,分别以 F1 , F2 为圆心, | AB | 与 | BC | 为半径做圆, 观察两圆交点 M , N 的轨迹. 请同学们思考:
运动 点

(1) 在运动中, 哪些量是不变的, 哪些 量是变化的? (2) 能不能把不变的量用数学表达式 表达出来? (3) 点 M , N (椭圆上的点)是以怎样

A

B

C

M

F1 N

F2

的规律进行运动的? (4) 用这个规律能不能画出一个椭圆? (二)动手实验,亲身体会 用上面所总结的规律,指导学生互相合作(主要在于动手) ,体验画椭圆的 过程(课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板) ,并以此了解椭圆上的点的特征. 请两名同学上台画在黑板上. 在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验,一来是 为了给学生一个创造实验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律;二是通过实 践,为进一步上升到理论做准备. (三)归纳定义,完善定义 我们通过动画演示,实践操作,对椭圆有了一定的认识,下面由同学们归纳 椭圆的定义(学生分组讨论). 椭圆定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | =2c) 的点的轨迹叫做椭圆 在归纳椭圆定义的过程中,教师根据学生回答的情况,不断引导他们逐步加 深理解并完善椭圆的定义,在引导中突出体现“和” , “常数”及“常数”的范围 等关键词与相应的特征. 如:总结动画演示中两圆半径之和 | MF1 | ? | MF2 |?| AB |(常数)得到椭圆上 点 M 到两定点距离之和为常数.

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通过课件分别演示当两定点间距离等于线段 | AB | 长度时的轨迹(为一条线 段)和当两定点距离大于线段 | AB | 长度时的轨迹(不存在) ,由学生完善椭圆定 义中常数的范围.
运动 点

A

B

C

F1

F2

教师指出:两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. (四)合理建系,推导方程 由学生自主提出建立坐标系的不同方法, 教师根据学生提出的 “建系” 方式, 把学生分成若干组,分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较,从中选择比 较简洁优美的形式确定为标准方程. 已知椭圆的焦距 | F1 F2 |? 2c, (c ? 0) ,椭圆上的动点 M 到两定点 F1 , F2 的距离 之和为 2a ,求椭圆的方程. (1)以两个定点 F1 , F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系.设 F1 F2 ? 2c(c ? 0) ,点 M ( x, y) 为椭圆上任意一点,则 , P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?(称此式为几何条件) 所以得 化简,得

?x ? c ?2 ? y 2

?

?x ? c ?2 ? y 2

? 2a (实现集合条件代数化) ,

( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

注:这是本节的难点所在,通过课堂精心设问来突破难点:①化简含有根号的式 子时,我们通常有什么方法?②对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平 方?学生通过实践, 发现对于这个方程, 直接平方不利于化简, 而整理后再平方, 最后能得到圆满的结果.

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(2)以线段 F1 F2 中点为坐标原点, F1 F2 所在直线为 y 轴建立平面直角坐 标系,所得椭圆方程为: a x ? (a ? c ) y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

相比之下,其它的建系方式不够简洁. 同学们观察右图,当 B 运动到线段 AC 中点时,两圆半径相等,即

| MF1 |?| MF2 |? a ,因 | OF1 |? c ,则

a 2 ? c 2 ?| MO |2 ,不妨令 a 2 ? c 2 ? b 2 ,那么
(1) (2)所得的椭圆方程可化为:
x2 y2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) a2 b2

(1)

(2)

(在这里教师指出:我们刚才只是从“曲线的方程”的角度推导出了符合定义的 点的坐标满足的方程,我们还需要从“方程的曲线”的角度来说明以方程(1)(2) 的解为坐标的点都在曲线(椭圆)上,这个问题留给学生课后完成.) 我们称(1) (2)为椭圆的标准方程. 对标准方程的理解: 1.所谓椭圆标准方程,一定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标 原点;
x2 y2 y2 x2 2.在 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 这两个标准方程中,都有 a ? b ? 0 的要求, a b a b

也就是说,焦点在哪个轴上,哪个对应的分式的分母就较大. (五)应用举例,小结升华. 例 1.用定义判断下列动点 M 的轨迹是否为椭圆. (1)平面内,到 F1 (?2,0), F2 (2,0) 的距离之和为 6 的点的轨迹.(是) (2)平面内,到 F1 (0,?2), F2 (0,2) 的距离之和为 4 的点的轨迹.(不是) (3)平面内,到 F1 (?2,0), F2 (2,0) 的距离之和为 3 的点的轨迹.(不是)

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例 2.方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则 a 的取值范围为: (3,??) a 3 x2 y2 ? ? 1 ,则两焦点坐标为: ( 7 ,0), (? 7 ,0) 16 9

例 3.已知椭圆方程为

小结: 由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法. 1.知识总结: 椭圆的定义,标准方程 2.思想方法总结: 教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。 (六) 、板书设计(略) 教案的设计说明: 数学教学是思维过程的教学,如何引导学生参与到教学过程中来,尤其是在 思维上深层次的参与,是促进学生良好的认知结构,培养能力,全面提高素质的 关键.数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非 常重要的意义.本节借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进 课堂,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,让学生在参与中学会学习、 学会合作、学会创新. 学生虽然对椭圆图形有所了解,但只限于感性认识,缺少理性的思考、探索 和创新,这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发,设计了 一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究. 在教材处理上,大胆创新,根据椭圆定义的特点,结合学生的认识能力和思 维习惯在概念的理解上,先突出“和”,在此基础上再完善“常数”取值范围. 在标准方程的推导上,并不是直接给出教材中的“建系”方式,而是让学生自主 地“建系”,通过所得方程的比较,得到标准方程,从中去体会探索的乐趣和数 学中的对称美和简洁美. 在对教材中“令 a 2 ? c 2 ? b 2 ”的处理并不是生硬地过渡, 而是通过课件让学 生观察在当 M 为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待),特征三角 形所体现出来的几何关系,再做变换.

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