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解析几何与平面向量综合


解析几何与平面向量
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.将椭圆 x2+6y2-2x-12y-13=0 按向量 a 平移,使中心与原点重合,则 a 的坐标是( ) A. (-1,1) B. (1,-1) C. (-1,-1) D. (1,1) C

椭圆方程变形为 ( x ?1) ? 6( y ?1) ? 20 . 需按 a=(-1,-1)平移,中心与原点重合

2

2

2. 平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A (3, 1) , B (-1, 3) , 若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中α 、β ∈R,且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为( A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 ) D.x+2y-5=0

∵C 点满足 OC ? ?OA ? ?OB 且 ? ? ? ? 1 ,∴A、B、C 三点共线. ∴C 点的轨迹是直线 AB
*3. 已知曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线 a2 b2

的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A. ?1,2? B. ?1,2? C. ?2,??? D. ?2,??? C
2

过 焦 点 F 且 倾 斜 角 为 60 ° 的 直 线 l 为 y ? 3( x ? c) , 令 e=2 时 , 双 曲 线

x y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 渐近线是 y ? 3x ,此时与直线 l 平行,∴直线 l 与双曲线的右支交 a 2 b2

16x 16 y x2 y 2 于一个点, 从而排除 B、 D; 令 e=4 时, 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 即为 ? ? 1, a b c2 15c 2
?16 x 2 16 y 2 ? ?1 ? 2 2 ∴ ? c2 ,∴192x ? 96c ? x ? 63c ? 0 , 15c 2 ? y ? 3 ( x ? c) ?

2

2

63c 2 ? 0 ,∴直线 l 与双曲线的右支交于一个点,从而排除 A. 192 1 x2 y2 4. 已知 P 是以 F1、 F2 为焦点的椭圆 (a>b>0) 上一点, 若 PF1 ? PF2 ? 0 , tanPF1F2= , ? ? 1 2 a2 b2
∴两根之积 x1 ? x2 ? ?
则椭圆的离心率为( A. ) B.

1 2

2 3

C.

1 3 1 , 2

D.

5 3

PF1 ? PF2 ,又 tan PF1 F2 ? 设 c 为椭圆半焦距,∵ PF 1 ? PP 2 ? 0 ,∴

???? ????



? ?| PF |2 ? | PF | 2? (2c) 2 1 2 2 ? 5 c 5 ? ?c? ,解得: ? ? ? , e ? ? . 选 D. ?| PF1 | ? | PP2 |? 2a 9 a 3 ?a? ? | PF | 1 2 ? ? ? ? | PF1 | 2
1

5.在△ABC 中, AB ? AC A.

3

∵ | AB ? AC |? 2 ,∴ | AB | ? 2 AB ? AC ? | AC | ? 4 ,又∵ AB ? AC ? 2 ,∴

??? ? ??? ?

?| AB ? AC |? 2 ,则△ABC 的面积最大值为( 3 B. C. 2 3 2
2 2

) D. 3

3

????? ? 2 ????? ?2 ??? ? ??? ? ????? ? ????? ? | AB | ? | AC | ? 8, AB ? AC ? | AB | ? | AC | ? cos A ? 2 . 故△ABC 的面积

1 1 S ? | AB | ? | AC | sin A ? | AB | ? | AC | 1 ? cos 2 A 2 2 2 2 2 2 1 ? | AB | ? | AC | ? | AB | ? | AC | cos2 A 2
2 2 1 1 (| AB | ? | AC | ) 2 ? | AB | ? | AC | ? 4 ? ? 4 ? 3 (当且仅当 AB ? AC =2 2 2 4 时取等号).∴△ABC 的面积的最大值是 3 ,故选 A. 2 2

*6.从坐标原点 O 引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+1 的切线 y=kx,当 m 变化时,则切点 P 的轨迹方程为 ( ) A.x2-y2=3 B.x2+y2=3 C.x2+y2=5 D.x+y=5 B 根据题意画出示意图,设圆心为 C, 切点 P 的坐标为 P(x,y),则发现图中隐含

条件 | OP | ?| OC | ? | PC | . ∵ | OP | 2 ? x 2 ? y 2 , | OC |2 ? m 2 ? 4 ,

2

2

2

| PC |2 ? r 2 ? m2 ? 1
故点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 3.

*7.若直线 l:ax+y+2=0 与连结点 A(-2,3)和点 B(3,2)的线段有公共点,则 a 的取值范围为 ( )

5 4 5 4 4 5 4 5 B. ? ? a ? C. a ? 或a ? ? D. a ? 或a ? ? ?a? 2 3 2 3 3 2 3 2 ∵由方程 ax ? y ? 2 ? 0 可知直线恒过定点 C(0,-2),又∵A(-2,3),B(3,2),如图连结 AC、 3 ? (?2) 5 ? ? ,? BC,则 k AC ? ?2?0 2 2 ? (?2) 4 k BC ? ? ,故直线 l 的斜率 ? a 应满足 3?0 3 5 4 5 4 ? a ? ? 或 ? a ? ,即 a ? 或 a ? ? . 3 2 3 2
A. ? 8.已知直线 y=(a+1)x-1 与曲线 y2=ax 恰有一个公共点,则实数 a 的值为( A.a=0 或-1 D B.-1 或 ? )

联立方程 ? 2

? y ? (a ? 1) x ? 1 ? y ? ax

4 5

C.a=0 或 ?

4 5

D.a=0 或-1 或 ?

4 5

, (1) 当 a=0 时, 此方程组恰有一组解 ?

?x ? 1 . (2) 当 a ? 0 时, ?y ? 0

2

a ?1 2 a ?1 ①若 即 a=-1 时, 方程变为一元一次方程 ? y ? 1 ? 0 . y ? y ?1 ? 0 , ? 0, a a ? x ? ?1 4(a ? 1) a ?1 此时方程组恰有一组解 ? ,②若 ?0, ? 0 ,即 a ? ?1 时,令△ ? 1 ? a a ? y ? ?1 4 4 解之得 a ? ? . 此时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述,当 a ? 0, ?1, ? 时,直线 5 5 2 与曲线 y ? ax 只有一个公共点.
消去 x 得
9.已知向量 OB ? (2,0) , OC ? (2,2) , CA =( 的夹角范围为( ) A. ?0, ,则向量 OA 与 OB 2 cosα , 2 sinα )

??? ?

? ?? ? ? 5? ? ? 5? ? ? ? ? 5? ? B. ? , C. ? D. ? , , ? ? ? ? ? 4? ? 4 12 ? ? 12 2 ? ?12 12 ? ??? ? ??? ? .D ∵ OC ? (2, 2), OB ? (2,0) ,∴B(2,0) ,C(2,2) , ??? ? ∵ CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) , ∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心, 2 为半径的圆. 过原
点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM、CN(∠MOB<∠NOB) ,则向量 OA与 OB

| OC | ? 2 2 , ∴ 1 ? ? | CM | ? | CN | ? | OC | 知 ?COM ? ?CON ? ,但 ?COB ? . 2 4 6 ? ? 5? 5? ∴ ?MOB ? , ?NOB ? ,故 ? 〈 OA? ? , OB 〉 ? . 12 12 12 12 2 2 x y 10. (理)已知椭圆 ) ? ? 1 ,则其内接三角形面积的最大值为( 16 9 A. 6 3 B. 9 3 C.12 3 D.12 x2 y2 B 如图椭圆 ? ? 1 的长、短轴之比 16 9 3 AB 为 4∶3,将椭圆按 cos ? ? ? 1 1 投影到平面 M, 4 AB
的 夹 角 范 围 是 ?MOB ? 〈 OA, OB 〉 ? ?NOB . ∵ 得到半径为 R=3 的圆 O1,圆内接正△C1E1F1 的面积

??? ? ??? ?

3 27 (3 3) 2 ? 3. 4 4 27 3 27 4 4 ? 3? ? 9 3 . ∴椭圆内接三角形最大面积为 S ? cos ? 4 3
最大,此时最大面积为 ? S ? ?
) ? x 上一点,N 是圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1上的动点,则|MN|的最小值是( 11 10 A. B. C. 2 ? 5 D. 3 ? 2 ?1 ?1 2 2 2 A 如图,设 M 是 y ? x 上一点,| MN | ? | NC |?| MC | ,所以|MN|的最小值即为点 M 到圆心 11.M 是抛物线 y C 的距离减去半径 R. 设 M ( y , y) 是抛物线 y
2

2

2

? x 上一点,则
3

5 11 | MC |2 ? ( y 2 ? 3) 2 ? y 2 ? y 4 ? 5 y 2 ? 9 ? ( y 2 ? ) 2 ? , 2 4 10 11 11 ∴y?? 时, | MC |min ? ,∴ | MN |min ? ? 1. 2 2 2

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上. 13.已知双曲线的右准线为 x=4,右焦点 F(10,0) ,离心率 e=2,则双曲线方程为

.

( x ? 2) y ? ?1 16 48

2

2

设 P(x,y)为双曲线上任意一点,则双曲线的右准线为 x=4,右焦点 F(10,

( x ? 10) 2 ? y 2 ( x ? 2) 2 y 2 0),离心率 e=2,∴由双曲线第二定义知 ? 2 ,整理得 ? ?1 | x?4| 16 48
14.已知向量 a=(2cosα ,2sinα ),b=(3cosβ ,3sinβ ),其向量 a 与 b 的夹角为 60°,则直线

1 cos ? ? x ? sin ? ? y ? 0 与圆 ( x ? cos ?) 2 ? ( y ? sin ?) 2 ? 的位置关系是 2
相交

.

向 量 a 与 b 的 夹 角 为 60 ° , 根 据 向 量 的 夹 角 公 式 cos 〈 a , b 〉 a?b = = 6 | cos ? cos ? ? sin ? sin ? | ? cos(? ? ?) ? 1 , 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 2?3 2 |a |?|b| | cos ? cos ? ? sin ? sin ? | 1 2 d? ?| cos( ? ? ?) |? ? ? r ,所以直线与圆的位置关系是相交 2 2 2 2 cos ? ? sin ?
2

15. 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 它的方程是 x ? 2 y(0 ? 璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃的半径 r 的范围为

y ? 20) .
.

在杯内放入一个玻

0 ? r ?1

玻璃球的轴截面积的方程为 x ? ( y ? r ) ? r ,由

2

2

2

2 ? ? x ? 2 y, 2 2 得 y ? 2(1 ? r ) y ? 0 ,由 ? ? 4(1 ? r ) ? 0 ,得 r=1 ? 2 2 2 ? ?x ? ( y ? r) ? r ,

16 . 设 P 1 ( 2 , 2 ), P 2 (? 2 ,? 2 ) , M 是 双 曲 线

1 上位于第一象限的点,对于命题① x 2 2 | MP2 | ? | MP 1 |? 2 2 ;②以线段 MP1 为直径的圆与圆 x ? y ? 2 相切;③存在常数 b, y?

使得 M 到直线 是 .

y ? ?x ? b 的 距 离 等 于

2 | MP 1|. 其中所有正确命题的序号 2

①②③

由双曲线定义可知①正确, ②画图并结合题意可知正确, ③由距离公式及|MP1|可知正确.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 如图, 四边形 MNPQ 是⊙C 的内接梯形, C 是圆心, C 在 MN 上, 向量 CM 与 PN 的夹角为 120°,

QC ? QM ? 2
(1)求⊙C 的方程;
4

(2)求以 M、N 为焦点且过点 P、Q 的椭圆的方程.

(1)以 MN 所在直线为 x 轴,C 在原点,建立直角坐标系 xOy . ∵ CM 与 PN 的夹角为 120°, 故 ?QCM ? 60? . 于是 ?QCM 为 正三 角形, ?CQM ? 60? . 又 QC ? QM

? 2 ,即

. | QC || QM | cosCQ M ? 2 ,于是 r ? | QC | ? 2 ,故⊙C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4?
( 2 ) 依 题 意 2c ? 4? ,? 2a ?| QN | ? | QM | , 而 | ON |?
2 2 2

4 2 ? 2 2 ? 2 3? , ? |QM|=2 , 于 是

x2 y2 ? ?1 a ? 3 ? 1? ,? b ? a ? c ? 2 3? . ∴所求椭圆的方程为 4?2 3 2 3
18. (本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4. 离心率为 (1)求椭圆方程; (2)设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M,又点 A 和点 B 在椭圆上,且 M 分有向线段 AB 所成的比为 2,求线段 AB 所在直线的方程.

2 . 3

c 2 y2 x2 (1)设椭圆方程为 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由 2c=4 得 c=2,又 ? ? 2 a 3 a b y2 x2 故 a ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 5 ,∴所求的椭圆方程为 ? ? 1? . 9 5 AM (2)若 k 不存在,则 ? 2 ,若 k 存在,则设直线 AB 的方程为: y ? kx ? 2 ,又设 MB ? y ? kx ? 2 ? 2 2 得 (9 ? 5k ) x ? 20kx ? 25 ? 0 , A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ). 由 ? y 2 x 2 ?1 ? ? 5 ?9 ? 20k ? 25 ①, x1 ? x2 ? ② x1 ? x 2 ? 2 2 9 ? 5k 9 ? 5 k ???? ? ????
∵点 M 坐标为 M(0,2),∴ AM ? (?x1,2 ? y1)MB ? (x2 , y2 ? 2) , 由

AM MB

,∴ x1 ? ?2 x2 代入①、②得 ? 2得 AM ? 2MB ,∴ (? x1 , 2 ? y1 ) ? 2(x2 ,y2 ? 2)

9 ? 5k 2 2 25 1 3 ? 20k ? 2 ? 由③、④得 ? , ∴ k2 ? ,k ? ? ? 2 2 3 3 9 ? 5k ? 9 ? 5k ? 9 ? 5k
5

x2 ?

20k
2

③, 2 x2 ?

2

25

④.

∴线段 AB 所在直线的方程为: y ? ?
20. (本小题满分 12 分)

3 x ? 2? . 3
2

如图,已知椭圆 C : 6x ? 10 y ? 15m (m ? 0) ,经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 k(k≠0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆的中心,射线 OM 交椭圆于 N 点. (1)是否存在 k,使对任意 m>0,总有 OA ? OB ? ON 成立?若存在,求出所有 k 的值; (2)若 OA ? OB

2

2

1 ? ? (m3 ? 4m) ,求实数 k 的取值范围. 2

(1)椭圆 C :

x2 y2 5m 2 3m 2 2 ? ? 1, c ? ? ? m 2 ,即 c=m. 2 2 5m 3m 2 2 2 2

∴ F(m , 0) , 直 线

? y ? k ( x ? m) , 即 AB : y ? ( x ? m) , ? 2 2 2 ?6 x ? 10 y ? 15m (m ? 0)
, 设

(10k 2 ? 6) x 2 ? 20k 2 mx ? 10k 2 m2 ?15m2 ? 0

A(

1

x,

1

y)

, ( 2 x,

2

则 y ,

)

2 2 20k 2 m 10k m 2 ? 15m x1 ? x ?2 , x x ? ,设 M ( xm , ym ) ,则 1 2 10k 2 ? 6 10k 2 ? 6 x ?x 10k 2 m ?6km xm ? 1 2 ? , ym ?? k ( xm ? m) ? . 2 2 10k ? 6 10k 2 ? 6

若存在 k,使 OA ? OB ? ON ,M 为 ON 的中点,∴ OA ? OB ? 2OM , ∴ OA ? OB ? (2 xm , 2 ym ) ? ?

??? ? ??? ?

? 20k 2 m 12km ? , ? ,即 N 点坐标为 2 2 10 k ? 6 10 k ? 6 ? ?

? 20k 2 m 12km ? , ? ?, 2 2 ? 10k ? 6 10k ? 6 ?
2 ? 20k 2 m ? 12km ? ? 2 ? 由 N 点在椭圆上,则 6? ? ? 15m , 2 ? 10k 2 ? 6 ? ? 10? ? 10k ? 6 ? ? ? 3 2 2 4 2 即 5k ? 2k ? 3 ? 0 ,∴ k ? 1或k ? ? (舍去) , 5 故存在 k ? ?1使OA ? OB ? ON . 2 (2) OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? k ( x1 ? m)( x2 ? m) 2

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 m( x1 ? x2 ) ? k 2 m 2 ? (1 ? k ) ?
2

10k 2 m 2 ? 15m 2 10k 2 ? 6

?k m?

2

20k 2 m 10k 2 ? 6

?k m ?

2

2

m 2 (k 2 ? 15) 10k 2 ? 6

6



m 2 (k 2 ? 15) 1 3 (k 2 ? 15) 1 4 ,得 ? ? ( m ? 4 m ) ? ? ( m ? ) ? ?2 , 2 2 m 10k 2 ? 6 10k 2 ? 6
2 2 2

即 k ? 15 ? ?20k ? 12, k ?

1 7 7 ,?? ?k? 且k ? 0?. 7 7 7

21. (本小题满分 12 分) (理)设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线与 x 轴交点为 Q,过 Q 点的直线 l 交抛物线于 A、B 两点.
2

2 ,求证: FA ? FB ? 0 . 2 (2)设直线 FA、FB 的斜率为 k FA 、 k FB 探究 k FB 与 k FA 之间的关系并说明理由.
(1)直线 l 的斜率为

(1)∵ Q ? ?

2 p ? p ? ,0 ? ,∴直线 l 的方程为: y ? (x ? ) , 2 2 ? 2 ?

? 2 p (x ? ) ?y ? 2 2 由? 2 2 消去 x 得: y ? 2 2 py ? p ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?
? 3? 2 2 ? ? 3? 2 2 ? ?p ? p , ( 2 ? 1) p , B p , ( 2 ? 1) p ,而 F ? ,0 ? . ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2 ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 故 FA ? ((1 ? 2) p,(1 ? 2) p), FB ? ((1 ? 2) p,( 2 ?1) p) ,
解得: A ?

? p2 ? 0. (2) k FA ? ?k FB或k FA ? k FB ? 0 .
∴ FA ? FB ? ? p 因直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,故直线 l 方程: y

2

? k(x ?

p )(k ? 0) , 2

p ? ? y ? k(x ? ) 2 消去 x 得 ky2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 由? ? y 2 ? 2 px ?
则 y1 y2

? p 2 , kFA ?

y1 p x1 ? 2

, kFB ?

y2 p x2 ? 2

,

7



k FA ?

p2 y2 p ? 2p 2
2 y1

?

p2 y2 p ( )2 y2 2p
2

? ? p 2

y2
2 p y2 ? 2 2p

? ?k FB

22. (本小题满分 12 分) 如图, 过抛物线 C : x ? 4 y 的对称轴上一点 P (0, m) (m>0)作直线 l 与抛物线交于 A(x1, y1),B(x2, y2)两点,点 Q 是 P 关于原点的对称点,以 P、Q 为焦点的椭圆为 C2. (1)求证:x1x2=-4m; (2)若 l 的方程为 x-2y+4=0,且 C1、C2 以及直线 l 有公共点,求 C2 的方程; (3)设 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,若 QP ? (QA ? ?QB) ,求证: ? ? ? .
2

(1)由题设 l :

, y ? kx ? m (k 为该直线的斜率)

?x 2 ? 4 y 2 ∴? ,消去 y,可得 x ? 4kx ? 4m ,∴ x1 x2 ? ?4m , ? y ? kx ? m (2)由 x ? 2 y ? 4 ? 0 得 P(0, 2), Q(0, ?2) , ?x 2 ? 4 y 又由 ? 得 A(?2,1), B(4, 4) x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
∴ | AP |? 5 | AQ |? 13 | BP |? 2 5 | BQ |? 2 13. ①当椭圆 C2 过 A 点时, 2a ?|
2 2

AP | ? | AQ |? 5 ? 13 ,
2

? 5 ? 13 ? 9 ? 65 2 ? 5 ? 13 ? 1 ? 65 , a ?? ? ,b ? ? ?4? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

2y2 2x 2 椭圆 C2 的方程为 ? ?1; 9 ? 65 1 ? 65 ②当椭圆 C2 过 B 点时, 2a ?| BP | ? | BQ |? 2 5 ? 2 13 ,
a2 ?

?

5 ? 13

?

2

? 18 ? 2 65, b2 ?

?

5 ? 13 ? 4 ? 14 ? 2 65 ,

?

2

y2 x2 ∴此时椭圆 C2 的方程为 ? ?1. 18 ? 2 65 14 ? 2 65 (3)由题意得 AP ? ? PB ,
x1 ? ? x2 y ? ? y2 x ? 0, 1 ? m ,即 1 ? ?? , 1? ? 1? ? x2

8

又∵ Q(0, ?m), QA ? ( x1 , y1 ? m), QB ? ( x2 , y 2 ? m) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? QA ? ?QB ? ( x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 ? (1? ?)m), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又∵ QP ? (0, 2m), QP ? (QA ? ?QB) ,

2 2 x1 x2 ∴ 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m] ? 0 ,从而 ? ? ? (1 ? ?)m ? 0 , 4 4 2 2 2 2 即 x1 ? ?x2 ? 4(1 ? ?)m ? 0(?) . 由(1)知 x1 ? ?x2 ? (1 ? ?) x1 x2 ? 0 ,

?x ? x 2 ∴ ? 1 ? ? (1 ? ?) 1 ? ? ? 0 ,∴ ? ? (1 ? ?)? ? ? ? 0 , ?x ? x2 ? 2? ∴ ? ? ?1 或 ? ? ? ,而由题目可知道 ? ? 0 ,所以 ? ? ? .

2

9


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