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第1章 章末检测(B)


第1章
一、填空题

三角函数(B)

1 1.已知 cos α= ,α∈(370° ,520° ),则 α=________. 2 2.若 sin x· cos x<0,则角 x 的终边位于第________象限. 4 π 3.已知 tan(-α- π)=-5,则 tan( +α)的值为________. 3 3 1 π

4.如果 cos α= ,且 α 是第四象限的角,那么 cos(α+ )=________. 5 2 5.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 φ=________. sin θ+cos θ 6.若 =2,则 sin θcos θ 的值是________. sin θ-cos θ 7. 已知函数 y=2sin (ωx+φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图, 那么 ω=________. 8.设 θ 是第二象限角,则点 P(sin θ,cos θ)落在第________象限. π π 9.将函数 y=sin(x-θ)的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称轴是直线 x= ,则 3 4 θ 的所有可能取值的集合是________. x 3π? 1 10.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos? ?2+ 2 ?(x∈[0,2π])的图象和直线 y=2的交点个数是______. 5π 2π 2π 11.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 a,b,c 按从小到大的顺序是________. 7 7 7 12.

函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则 ω=________. π 13.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂 2 足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________. 14.给出下列命题: (1)函数 y=sin |x|不是周期函数; (2)函数 y=tan x 在定义域内为增函数; 1 π (3)函数 y=|cos 2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 π π (4)函数 y=4sin(2x+ ),x∈R 的一个对称中心为(- ,0). 3 6 其中正确命题的序号是________. 二、解答题 π 3π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? 2 2 15.已知 α 是第三象限角,f(α)= . tan?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 cos(α- π)= ,求 f(α)的值. 2 5

4sin θ-2cos θ 6 16.已知 = ,求下列各式的值. 3sin θ+5cos θ 11 5cos2θ (1) 2 ; sin θ+2sin θcos θ-3cos2θ (2)1-4sin θcos θ+2cos2θ.

1 17.已知 sin α+cos α= , 5 求:(1)sin α-cos α;(2)sin3α+cos3α.

π 18.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程.

第1章
1.420° 2.二或四 3.5 2 6 4. 5 1 解析 ∵α 是第四象限的角且 cos α= . 5 π 5.kπ+ (k∈Z) 2

三角函数(B)

2 6 π 2 6 ∴sinα= - 1-cos2α=- , ∴cos(α+ )=-sin α= . 5 2 5

π 解析 若函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 f(0)=cos φ=0,∴φ=kπ+ ,(k∈Z). 2 3 6. 10 sin θ+cos θ tan θ+1 sin θcos θ tan θ 3 解析 ∵ = =2, ∴tan θ=3. ∴sin θcos θ= 2 = = . sin θ-cos θ tan θ-1 sin θ+cos2θ tan2θ+1 10 2π 7.2 解析 由图象知 2T=2π,T=π,∴ =π,ω=2. ω 8.四 解析 由已知 θ 是第二象限角,∴sin θ>0, cos θ<0,则点 P(sin θ,cos θ)落在第四象限. 7π 9.{θ|θ=kπ- ,k∈Z} 12 π π ? π? ? 解析 将 y=sin(x-θ)向右平移 个单位长度得到的解析式为 y=sin? 其对称轴是 x ??x-3?-θ?=sin(x-3-θ). 3 π π π π 7π 7 = ,则 - -θ=kπ+ (k∈Z). ∴θ=-kπ- (k∈Z).即 θ=kπ- π,k∈Z. 4 4 3 2 12 12 x 3π? x 1 + =sin ,x∈[0,2π],图象如图所示,直线 y= 与该图象有两个交点. 10.2 解析 函数 y=cos? 2 2 ? ? 2 2

5π 5π 2π =sin(π- )=sin . 7 7 7 π π? 2π 2π 又 α∈? ?4,2?时,sin α>cos α. ∴a=sin 7 >cos 7 =b. 2π 2π ∴c=tan >sin =a. ∴c>a.∴c>a>b. 7 7 11.b<a<c 解析 ∵a=sin 12.3 解析 由函数 y=Asin(ω x+φ )的图象可知: 2π 2 ∵T= = π,∴ω=3. ω 3 ? ?y=6cos x, 2 13. 解析 由? 消去 y 得 6cos x=5tan x. 3 ?y=5tan x ?

2π π 8π 7π π 2π π - = - >0. ∴ < < . 7 4 28 28 4 7 2 π? 又 α∈? ?0,2?时,sin α<tan α. T π 2 π 2 =(- )-(- π)= ,∴T= π. 2 3 3 3 3

整理得 6cos2 x=5sin x,6sin2x+5sin x-6=0,(3sin x-2)(2sin x+3)=0, 2 3 2 2 所以 sin x= 或 sin x=- (舍去).点 P2 的纵坐标 y2= , 所以 P1P2= . 3 2 3 3 14.(1)(4) 解析 本题考查三角函数的图象与性质.(1)由于函数 y=sin |x|是偶函数,作出 y 轴右侧的图象,再关于 y 轴对称即得左侧图象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函数; (2)错,正切函数在定义域内不单 π 1 π 调,整个图象具有周期性,因此不单调;(3)由周期函数的定义 f(x+ )=|-cos 2x+ |≠f(x),∴ 不是函数的 2 2 2 π π 周期;(4)由于 f(- )=0,故根据对称中心的意义可知(- ,0)是函数的一个对称中心,故(1)(4)是正确的. 6 6 π 3π π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? -sin? -α?sin α?-tan α? 2 2 2 cos αsin αtan α 15.解 (1)f(α)= = = =-cos α. tan?-α-π?sin?-π-α? ?-tan α?sin α -tan αsin α

3π 3π 1 1 (2)∵cos(α- )=cos( -α)=-sin α= .∴sin α=- . 2 2 5 5 2 6 2 6 ∵α 是第三象限角,∴cos α=- .∴f(α)=-cos α= . 5 5 4sin θ-2cos θ 6 4tan θ-2 6 16.解 由已知 = ,∴ = .解得:tan θ=2. 3sin θ+5cos θ 11 3tan θ+5 11 5 5 (1)原式= 2 = =1. tan θ+2tan θ-3 5 sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ tan2θ-4tan θ+3 1 (2)原式=sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ= = =- . 2 2 2 5 sin θ+cos θ 1+tan θ 1 24 17.解 (1)由 sin α+cos α= ,得 2sin αcos α=- , 5 25 24 49 7 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ = ,∴sin α-cos α=± . 25 25 5 3 3 2 2 (2)sin α+cos α=(sin α+cos α)(sin α-sin αcos α+cos α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α), 12 12 1 1 37 1+ ?= . 由(1)知 sin αcos α=- 且 sin α+cos α= ,∴sin3α+cos3α= ×? 25? 125 25 5 5 ? 18.解 (1)由图象知 A=2. 5π π 2π π f(x)的最小正周期 T=4×( - )=π,故 ω= =2.将点( ,2)代入 f(x)的解析式得 12 6 T 6 π π π π sin( +φ)=1,又|φ|< ,∴φ= ,故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ). 3 2 6 6 (2)变换过程如下:

1 19.解 (1)由题意得 A=3, T=5π?T=10π, 2 2π 1 1 π ∴ω= = .∴y=3sin( x+φ),由于点(π,3)在此函数图象上,则有 3sin( +φ)=3, T 5 5 5 π π π 3π 1 3π ∵0≤φ≤ ,∴φ= - = .∴y=3sin( x+ ). 2 2 5 10 5 10 π 1 3π π (2)当 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ 时,即 10kπ-4π≤x≤10kπ+π 时,原函数单调递增. 2 5 10 2 ∴原函数的单调递增区间为[10kπ-4π,10kπ+π](k∈Z). 2 ? ?-m +2m+3≥0, (3)m 满足? 解得-1≤m≤2. 2 ?-m +4≥0, ? ∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4,∴0≤ -m2+2m+3≤2,同理 0≤ -m2+4≤2. 由(2)知函数在[-4π,π]上递增,若有: Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ),只需要: 1 1 -m2+2m+3 > -m2+4 , 即 m> 成 立 即 可 , 所 以 存 在 m ∈ ( , 2] , 使 Asin(ω -m2+2m+3 + 2 2 2 φ)>Asin(ω -m +4+φ)成立. 20.解 (1)由表中数据知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1, 1 π ∴y= cos t+1. 2 6 1 π π π π π (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, ∴ cos t+1>1, ∴cos t>0,∴2kπ- < t<2kπ+ , 2 6 6 2 6 2

即 12k-3<t<12k+3.① ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 即 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24, ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有 6 个小时时间可供冲浪者运动,即上午 9∶00 至下午 3∶00.


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