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2015届高三第一学期数学限时训练(4)


2015 届高三第一学期数学限时训练(4)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 1.函数 f(x)=cos2x-sin2x 的最小正周期为 2.已知复数 z= ▲ . ▲ .

1 ,其中 i 是虚数单位,则|z|= 1+i

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:3:3,现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本,则应从高一年级抽取 4.从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加 学校会议,则甲被选中的概率是 ▲ . ▲ 名学生.
开始 S←0 k←1 k←k+2

5.已知向量 a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λb)⊥a, 则实数 λ= ▲ . ▲ .

6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是

S←S+k2 N k>5 Y 输出 S

x2 y2 7.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 a b 为 y=± 3x,则该双曲线的离心率为 ▲ .

8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是



结束



9. 设 f(x)=x2-3x+a. 若函数 f(x)在区间(1, 3)内有零点, 则实数 a 的取值范围为

(第 6 题图)





10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.已知 a+ 2c=2b,sinB= 2sinC, 则 cosA= ▲ . ▲ ▲ . .

?a, ? x≥1, 11.若 f(x)=?x 是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为 ? ?-x+3a,x<1
12. 记数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 a1=1, Sn=2(a1+an)(n≥2, n∈N*), 则 Sn=

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2-6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且 AB → → =2 3,则| OA + OB |的最大值是 ▲ .

14.已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(ex)<0 的 x 的取值范 围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

1

π 已知函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2). 2 (1)求 φ 的值; α 6 π π (2)若 f( )= ,- <α<0,求 sin(2α- )的值. 2 5 2 6

16. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别为 AB,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 CC1=CB1,CA=CB,平面 CC1B1B⊥平面 ABC,求证:AB?平面 CMN.
C1 N B1 C A1

B

M (第 16 题图)

A

17. (本小题满分 14 分) 已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

2

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆” .已知椭 a b 圆 C 的离心率为 3 ,且经过点(0,1). 2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.

19. (本小题满分 16 分) 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα=-2.在 该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现 要过点 P 修建一条直线公路 BC, 将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园. 为尽量减少 耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C

·
α
A

P

B (第 19 题图)

M

3

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax3+|x-a|,a∈R. (1)若 a=-1,求函数 y=f(x) (x∈,都存在 x2∈ 1 - 11.[ ,+∞) 12.2-2n 1 13.8 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 10. 2 4

14.(0,1)

π 解: (1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2), 2 π 所以 f( )=2sin(π+φ)=-2, 2 即 sinφ=1. ????????????????? 4 分 π 因为 0<φ<2π,所以 φ= . ????????????????? 6 分 2 (2)由(1)得,f(x)=2cos2x. ???????????????? 8 分 α 6 3 因为 f( )= ,所以 cosα= . 2 5 5 π 4 又因为- <α<0,所以 sinα=- . ?????????????? 10 分 2 5 24 7 所以 sin2α=2sinαcosα=- ,cos2α=2cos2α-1=- .???????? 12 分 25 25 π π π 7-24 3 从而 sin(2α- )=sin2αcos -cos2αsin = . ???????? 14 分 6 6 6 50 16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)取 A1C1 的中点 P,连接 AP,NP. 1 因为 C1N=NB1,C1P=PA1,所以 NP∥A1B1,NP= A1B1. ???????? 2 分 2 C1 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1∥AB,A1B1=AB. 1 P N 故 NP∥AB,且 NP= AB. 2 B1 1 A1 因为 M 为 AB 的中点,所以 AM= AB. 2 C 所以 NP=AM,且 NP∥AM. 所以四边形 AMNP 为平行四边形. 所以 MN∥AP. ??????????????? 4 分 M A 因为 AP?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1CB C 1 , (第 16 题图) 所以 MN∥平面 AA1C1C. ?????????????????? 6 分 (2)因为 CA=CB,M 为 AB 的中点,所以 CM⊥AB. ??????????? 8 分 因为 CC1=CB1,N 为 B1C1 的中点,所以 CN⊥B1C1. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC∥B1C1,所以 CN?BC. 因为平面 CC1B1B⊥平面 ABC,平面 CC1B1B∩平面 ABC=BC.CN?平面 CC1B1B, 所以 CN⊥平面 ABC. ?????????????? 10 分 因为 AB?平面 ABC,所以 CN⊥AB. ?????????????? 12 分 因为 CM?平面 CMN,CN?平面 CMN,CM∩CN=C, 所以 AB⊥平面 CMN. ?????????????? 14 分 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.
4

由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.???????????? 3 分 ?2+3d+2q3=21, ?d=1, 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 解得? 3 ?8+6d+2q =30, ?q=2. 所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. ???????????? 7 分 (2)由题意知,cn=(n+1)×2n. 记 Tn=c1+c2+c3+?+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+?+cn - =2×2+3×22+4×23+?+n×2n 1 +(n+1)×2n, + 2 3 n-1 2 T n= 2×2 +3×2 +?+(n-1)×2 +n×2n+ (n+1)2n 1, + 所以-Tn=2×2+(22+23+?+2n )-(n+1)×2n 1,?????????? 11 分 + 即 Tn=n·2n 1,n∈N*. ???????????? 14 分 18. (本小题满分 16 分) 解: (1)记椭圆 C 的半焦距为 c. c 3 由题意,得 b=1, = ,c2=a2+b2, a 2 解得 a=2,b=1. ?????????????????? 4 分 x2 2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y =1,圆 C1 的方程为 x2+y2=5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0.????????????? 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, kx+m, ?y= ? 2 故方程组?x (*) 有且只有一组解. 2 ? 4 +y =1 ? 由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 从而△=(8km)2-4(1+4k2)( 4m2-4)=0. 化简,得 m2=1+4k2.① ???????????????? 10 分 因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. |m| 即 2 = 3. ② ??????????????? 14 分 k +1 由①②,解得 k2=2,m2=9. 因为 m>0,所以 m=3. ??????????????? 16 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (方法一) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. N y 设点 P(x0,y0). C 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, P · ∣2x0+y0∣ 得 = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 所以点 P(1,3). ???????????? 4分 (A ) O B 显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈ ( - 2 , 0) . (第 19 题图 1) 3 令 y=0 得 xB=1- . ???????????? 6 分 k ?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . ???????????? 8 分 k+2 ?y=-2x -k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 2 k +2k k +2k
5

x

-2(4k+3)(k-3) 3 =0 得 k=- 或 k=3. 2 2 4 (k +2k) 3 3 当-2<k<- 时,S?<0,S 单调递减;当- <k<0 时,S?>0,S 单调递增? 13 分 4 4 3 所以当 k=- 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 4 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2?????? 16 分 (方法二) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, ∣2x0+y0∣ 得 = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 所以点 P(1,3). ???????????? 4 分 显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- . ???????????? 6 分 k ?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . ???????????? 8 分 k+2 ?y=-2x -k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 2 k +2k k +2k t+9 令 8k-9=t,则 t∈(-25,-9),从而 k= . 8 t 64t 64 因此 S=-1+ =-1+ 2 =-1+ .??? 13 分 225 t+9 2 t+9 t +34t+225 34+t+ ( ) +2× t 8 8 225 因为当 t∈(-25,-9)时,t+ ∈(-34,-30], t 225 当且仅当 t=-15 时,此时 AB=5,34+t+ 的最大值为 4.从而 S 有最小值为 15. t 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2?????? 16 分 (方法三) 如图 2,过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.设 AB=x,AC=y. N 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, 5, C 即 PE=3,PF= 5. P 由 S△ABC=S△ABP+S△APC · 1 1 1 = ?x?3+ ?y? 5 = (3x+ 5y). ① ?? 4 分 F 2 2 2 M 2 A E B 因为 tan?=-2,所以 sin?= . 5 (第 19 题图 2) 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? . ② ??????????????? 8 分 2 5 1 2 1 由①②可得 ?x?y? = (3x+ 5y). 2 5 2 即 3 5x+5y=2xy. ③ ???????????????10 分 由 S?= 因为 3 5x+5y≥2 15 5xy,所以 2xy≥2 15 5xy. 解得 xy≥15 5. ???????????????13 分 当且仅当 3 5x=5y 取“=” ,结合③解得 x=5,y=3 5.

6

1 2 所以 S△ABC= ?x?y? 有最小值 15. 2 5 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2?????? 16 分 20. (本小题满分 16 分) 1024 1024 1024 解: (1)当 a=-1,x∈时,f(x)∈, ∈[ , ], f(x) f(a+2) f(a) 91 当 x∈,都存在 x2∈?2= . 100 答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91 . 100 ??????????? 10 分.

7


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