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椭圆的知识点方法总结


1.(1)定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意当到两定点的距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段 F1F2;当到两定点的距离 之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)标准方程:中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为:

r />x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0); a 2 b2

中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为:

y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0). a 2 b2

注意当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可设成 Ax2+By2=1 的形式,其中 A,B 是不 相等的正常数,或设成

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( m2 ? n2 )的形式. 2 m n

2.(1)椭圆的几何性质:①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦 距、离心率等;②与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等. 注意在解题时要特别注意第二类性质, 先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条 坐标轴上,再进行求解. (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质, 求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方 法:①求出 a,c 代入公式 e ?
2 2 2

c ;②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结 a
2

合 b =a -c 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 转化为关于 e 或 e2 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围). 3.(1)位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组,消掉 y,得到 Ax2+Bx+C=0 的形式(这里的系数 A 一定不为 0),设其判别式为 Δ, ①Δ>0?直线与椭圆相交;②Δ=0?直线与椭圆相切;③Δ<0?直线与椭圆相离. (2)弦长公式 ①若直线 y=kx+b 与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB ? 1 ? k | x1-x2 |?
2

1?

1 | y1-y2 | . k2
2b 2 ,最长为 2 a . a

②焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长 (3)中点弦的重要结论 AB 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0). a 2 b2

b2 x0 ①斜率:k=- 2 2 ;②弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定 a y0
值?

b2 . a2

4.求轨迹方程 (1)定义法:求轨迹方程时,若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则 可以直接根据定义求出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法. ①运用圆锥曲线的定义求轨迹方程, 可从曲线定义出发直接写出方程, 或从曲线定义出发建 立关系式,从而求出方程;②定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线,其方程是什 么形式的方程的情况.利用条件把待定系数求出来,使问题得解. (2) 相关点法 ( 代入法 ) :若动点 P(x , y) 所满足的条件不易表述或求出,但随另一动点 且动点 Q 的轨迹方程给定或容易求得, 则可先将 x?, y? 表 Q( x?,y?) 的运动而有规律地运动, 示为 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然后整理得点 P 的轨迹方程,这种求轨迹方程的 方法叫做相关点法,也称代入法. 用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式: x?=f ( x,y),y?=g ( x,y ) ,然后代入已知 曲线方程.求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题. 1.(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常 数 2a ?| F1F2 | 这一条件. (2)利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常 用到结论有:(其中, ?=?F 1PF 2) ①| PF 2a ; 1 | + PF 2 =
2 ② 4c = PF1 + PF2 -2 PF1 ?PF2 cos? ; 2 2

③当 P 为短轴端点时,θ 最大. ④ S ?PF1F2=

1 sin ? PF1 PF2 sin?= ? b2 2 1 ? cos ?

? b 2 tan

?
2

? c ? y0 .

当 y0=? b ,即 P 为短轴端点时, S?PF1F2 有最大值为 bc. ⑤焦点三角形的周长为 2(a+c). 2.椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到 一个图形.

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如 -a ? x ? a,-b ? y ? b,0 ? e ? 1 , 在求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. 3.(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题, 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立, 消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用 “点差法”解决,往往会更简单. (2)代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系.常涉及中点问题、 三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识.


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