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2014届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考理科数学试卷(带解析)


2014 届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考理科数学试卷(带解析) 1.已知集合 A ? ??1,1? , B ? x 1 ? 2 x ? 4 ,则 A ? B 等于 ( A. ??1, 0,1? B. ?1? 2.设 f(x)=lg C. ??1,1? D. ?0,1? )

?

?



2? x ?x? ?2? ,则 f ? ? +f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ?x?

A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 3.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( ) A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

?21? x , x ? 1 4.设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ?1 ? log 2 x, x ? 1
A. [? 1 ,2] B.[0,2] C.[1,+ ? ) D.[0,+ ? ) )

(

)

5.若函数 f ( x) ? x 2 ?

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x

A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数 6. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a , 2 分的概率为 b , 得 不得分的概率为 c ,

a, b, c ? (0,1) ,已知他投篮一次得分的期望是 2,则
A.

2 1 的最小值为( ? a 3b



32 3

B.

28 3

C.

14 3

D.

16 3

7.已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是 ( A. )

2 3

B. 2

C. 4

D. 6

8.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 系中,函数 g ( x) ? ( )

9 ( x ? ?1) ,当 x=a 时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐标 x ?1
)

1 a

x ?1

的大致图象为(

试卷第 1 页,总 3 页

y

y
3

y
2 1

2
2

1
1

x
–3 –2 –1

O
–1

1

–2

–1

O
–1

1

x

–1

O
–1

1

2

3 x

A

B

C

y
3 2 1

x
–1

O
–1

1

2

3

D

9.对于集合 M、N,定义 M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A={y|y x 2 =3 ,x∈R},B={y|y=-(x-1) +2,x∈R},则 A⊕B 等于 ( ) A.[0,2) B.(0,2] C.(-∞,0]∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪[2, +∞) 10.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0, t ] 上有最大值 3,最小值 2,则 t 的取值范围
2

是(

) B. [0, 2] C. (??, 2] D. [1, 2]

A. [1, ??)

11.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算 “※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数 时, m ※ n ? m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n ? m? n .则 在此定义下,集合 M ? {(a, b) | a ※ b ? 12, a ? N , b ? N } 中的元素个数是 (
* *

)

A.10 个 B.15 个 C.16 个 D.18 个 2 12.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图 象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有 ( ) A . 10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 二.填空题 13. 已知集合 A={(x, y)| ?

?x ? 1 }, 集合 B={(x, y)|3x+2y-m=0}, A∩B ? ? , 若 ?2 x ? y ? 1
1 2

则实数 m 的最小值等于__________. 14.若(a+1)
? 1 2

<(3-2a)
2

?

,则 a 的取值范围是__________.

15.用二分法求方程 x =2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时,如果我们选取初始区 间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__________次. 16.下列结论中是真命题的是__________(填序号). ①f(x)=ax +bx+c 在[0,+∞)上是增函数的一个充分条件是-
试卷第 2 页,总 3 页
2

b <0; 2a

②已知甲:x+y≠3,乙:x≠1 或 y≠2,则甲是乙的充分不必要条件; ③数列{an}(n∈N )是等差数列的充要条件是 Pn ? n,
*

? ?

Sn n

? ? 是共线的. ?

三、解答题 17.已知集合 A={x∈R|

3 2 2 ≥1},集合 B={x∈R|y= ? x ? x ? m ? m },若 A∪B x ?1

=A,求实数 m 的取值范围. 2 18.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域. 19.已知函数 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? kx(k ? R) 为偶函数. (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个根, 求实数 a 的取值范围. 20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千 米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密 度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) .
2 21.已知 p:?x∈R,2x>m(x +1),q:?x0∈R, x0 +2x0-m-1=0,且 p∧q 为真,求
2

实数 m 的取值范围. 22.设函数 f(θ )= 3 sinθ +cosθ ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ ≤π . (1)若点 P 的坐标为 ?

?1 3? ? 2 , 2 ? ,求 f(θ )的值; ? ? ?

?x ? y ? 1 ? (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω : ? x ? 1 ,上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围, ?y ?1 ?
并求函数 f(θ )的最小值和最大值.

试卷第 3 页,总 3 页

2014 届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考理科数学试卷(带解析)参考答案 1.B 【解析】 试题分析: B ? x 1 ? 2 x ? 4 ? {x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {1} ,选 B. 考点:1、集合运算;2、指数函数的单调性. 2.B 【解析】

?

?

2? x ? 0 ,得 f(x)的定义域为{x|-2<x<2}. 2? x x 2 故-2< <2,-2< <2.解得 x∈(-4,-1)∪(1, 4). x 2
试题分析:由 考点:1、对数函数;2、解不等式. 3.D 【解析】 试题分析:全称命题: ?x ? A, p ”的否定为“ ?x ? A, ?p ” “ ,否定原命题结论的同时要把 量词做相应改变, 所以“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数” . 故选 D. 考点:全称命题的否定. 4.D 【解析】 试题分析:当 x ? 1时,由 2
1? x

? 2 得 x ? 0 ,所以 0 ? x ? 1 ;
1 所以 x ? 1 .综上得:x ? 0 . 2

当 x ? 1 时, 1 ? log 2 x ? 2 得 1 ? 2 ? log 2 x, log 2 x ? ?1, x ? 由

考点:1、分段函数;2、指数函数与对数函数的性质;3、解不等式. 5.C 【解析】 试题分析: a ? 0 时, f ? x ? ? x 是一个偶函数.所以 C 正确.
2

对 f ( x) ? x 2 ?

a 2 x3 ? a a . 取 a ? 16 , 则 (a ? R) 求 导 得 : f ?( x) ? 2 x ? 2 ? x x2 x
( a 在)(0, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增.所以 A、B 都错. R ? a a a a , ? f ( x) ? ? x 2 ? .又 x ? 0 ,所以 x 2 ? ? ? x 2 ? , x x x x

f ( x) ?

2

a x? x

对 D 选项,因为 f (? x) ? x 2 ?

即 f (? x) ? ? f ( x) .所以不存在 a ? R ,使得 f ( x) 是奇函数. 考点:函数的性质. 6.D 【解析】
答案第 1 页,总 8 页

试题分析:法一、由题设得 3a ? 2b ? 0 ? 2 ? 所以 ( ?

3 a ? b ?1. 2

2 a

1 3a 1 2b a 16 )( ? b) ? 3 ? ? ? ? , a ? 2b 时取等号. 3b 2 3 a 2b 3

法二、由柯西不等式得: ( ?

2 a

1 3a 1 2 16 )( ? b) ? ( 3 ? ) ? 时取等号. 3b 2 3 3

考点:1、随机变量的期望;2、重要不等式;3、柯西不等式. 7.B 【解析】 试题分析: 因为函数 f ( x ? 1) 为偶函数,所以 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即函数 f ( x) 关于 x ? 1 对 称, 所以区间 (3 ? 2a, a ? 1) 关于 x ? 1 对称,所以 考点:函数的定义域及奇偶性. 8.B 【解析】 试题分析: ? x ? 4 ? y

3 ? 2a ? a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,所以选 B. 2

9 9 9 ? x ? 1+ ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 1 ? 0, ? 0 ,所以由 x ?1 x ?1 x ?1

均值不等式得 y ? x ? 1+
2

9 9 9 ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ? 5 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 ? , x ?1 x ?1 x ?1
1 a
x ?1

即 ( x ? 1) ? 9 ,所以 x ? 1 ? 3, x ? 2 时取等号,所以 a ? 2 ,所以 g ( x) ? ( )

1 x ?1 ? ( ) ,又 2

? 1 x ?1 1 x ?1 ?( ) , x ? ?1 ,所以选 B. g ( x) ? ( ) ? ? 2 2 ?2 x ?1 , x ? ?1 ?
考点:1、重要不等式;2、函数的图象. 9.C 【解析】 试题分析:由题可知,集合 A={y|y>0},B={y|y≤2},所以 A-B={y|y>2},B-A= {y|y≤0}, 所以 A⊕B=(-∞,0]∪ (2,+∞),故选 C. 考点:1、集合的基本运算;2、创新意识. 10.D 【解析】 试 题 分 析 : f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 , 当 x ? 1 时 f ( x) 取 最 小 值 2 , 又
2 2

f ( 0 )? f ( 2? .作出其图象如图所示: ) 3

答案第 2 页,总 8 页

y 5 4 3 2 1 x –1 O –1
结合图形可知: t 的取值范围是 [1, 2] . 考点:二次函数的最值. 11.B 【解析】 试题分析: 12 ? 1 ? 11 ? 2 ? 10 ? 3 ? 9 ? 4 ? 8 ? 5 ? 7 ? 6 ? 6 ? 1?12 ? 2 ? 6 ? 3? 4 ,其中

1

t2

3

4

2 ? 6 舍去,6 ? 6 只有一个,其余的都有 2 个,所以满足条件的 (a, b) 有:2 ? 7 ? 1 ? 15 个,
即:

(1,11),(11,1),(,10),(10, 2),(3,9),(9,3),(4,8),(8, 4),(5,7),(7,5),(6,6),(1,12),(12,1),(3, 4),(4,3)
考点:1、集合的基本概念;2、创新意识. 12.A 【解析】 试题分析:画出两个函数图象可看出交点有 10 个.

y
1

B(10,1) x

–1

O
–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

考点:1、二次函数与指数函数的图象;2、周期函数;3、图象的变换. 13.5 【解析】 试题分析:A∩B≠ ? 说明直线与平面区域有公共点,作出图形可知,问题转化为:求当 x, y 满足约束条件 x≥1,2x-y≤1 时,目标函数 m=3x+2y 的最小值.在平面直角坐标系中 画出不等式组表示的可行域.可以求得在点(1,1)处,目标函数 m=3x+2y 取得最小值 5.
答案第 3 页,总 8 页

y
3 2 1

–1

O
–1

x
1 2 3

考点:1、线性规划;2、集合的基本运算. 14. ( , ) 【解析】 试题分析:∵函数 y ? x 2a, 即
? 1 2

2 3 3 2

在定义域(0,+∞)上递减,∴a+1>0,3-2a>0,a+1>3-

2 3 ?a? . 3 2

考点:1、幂函数的单调性;2、解不等式. 15.7 【解析】 试题分析:设至少需要计算 n 次,则 n 满足 要达到精确度要求至少需要计算 7 次. 考点:二分法. 16.②③ 【解析】 试题分析:①f(x)=ax +bx+c 在[0,+∞)上是增函数,则必有 a>0, ?
2

0.1 ? 0.001 ,即 2n ? 100 ,由于 27 ? 128 ,故 2n

b ? 0 ,故①不 2a

正确. ②x=1 且 y=2,则 x+y=3. 从而逆否命题是充分不必要条件,故②正确. ③若{an}是等差数列,则 Sn=An +Bn,即
2

S n =An+B,故③正确. n

考点:1、命题与简易逻辑;2、二次函数;3、等差数列. 17.-1<m<2. 【解析】 试题分析:解不等式
2 2

3 2 2 ≥1 求出集合 A.要使得函数 y= ? x ? x ? m ? m 有意义,则 x ?1

x -x+m-m ≤0. 由题设 A∪B=A 得关于 m 的不等式组,解此不等式组便可得 m 的取值范围. 试题解析:由题意得:A={x∈R|
2 2

x-2 ? 0 }=(-1,2], x+1

B={x∈R| x -x+m-m ≤0}={x∈R|(x-m)(x-1+m)≤ 0}
答案第 4 页,总 8 页

由 A∪B=A 知 B?A,得-1<m≤2,-1<1-m≤2, 解得:-1<m<2. 考点:1、集合的运算;2、解不等式;3、函数的定义域. 18.(1) a ? ?1 或 a ?

3 19 .(2)g (a)的值域为 [? , 4] . 2 4

【解析】 2 试题分析:(1)函数 f(x)=x +4ax+2a+6 的值域为[0,+∞),意即这个二次函数的最小 值为 0,∴Δ =0, 由此便可得 a 的值. 2 (2)函数 f(x)=x +4ax+2a+6 的值均为非负数,说明这个二次函数的图象的顶点在 x 轴 上或 x 轴的上方, ∴Δ ≤0, 由此可求出 a 的取值范围, 从而求出 g(a)=2-a|a+3|的值域. 试题解析:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ =16a -4(2a+6)=0, ∴2a -a-3=0, ∴ a ? ?1 或 a ?
2 2 2

3 .. 2 3 , ∴a+3>0, 2

(2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, ∴Δ =8 (2a -a -3)≤0, ∴-1≤a≤ ∴g(a)=2-a|a+3|=-a -3a+2=- (a ? ) 2 ?
2

3 2

17 (a ? [-1, 3 ]) . 2 4

∵二次函数 g (a)在 [-1, 3 ] 上单调递减,

2

∴ g ( ) ? g (a) ? g (?1) ,即- 考点:二次函数. 19.(Ⅰ) k ? 【解析】

3 2

19 19 ≤g(a)≤4,∴g (a)的值域为 [? , 4] . 4 4

1 ;(Ⅱ) a ? 1 或 a ? ?2 ? 2 2 . 2

试题分析:(Ⅰ) f (x) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) . 将此等式化简整理便可得 k 的值. (Ⅱ)首先将方程 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 化简: 因为 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ?
1 x 1 x x ? log 4 (4 ? 1) ? log 4 4 2 ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 2 x . 2
x

∴由 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 得 log 4 (4 x ? 1) ? log 4 (a 2 ? a) ? log 4 2 x .

? 4 x ? 1 ? ( a ? 2 x ? a ) ? 2 x ?? * ? ? ? x ?a ? 2 ? a ? 0 ?
令 t ? 2 x ,则*变为 (1 ? a)t ? at ? 1 ? 0 .下面对进行讨论,考察这个方程的根的情况.
2

试题解析:(Ⅰ)因为 f (x) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) .
?x

即 log 4 (4

? 1) ? kx ? log 4 (4 x ? 1) ? kx ,∴ log 4

4x ?1 ? log 4 (4 x ? 1) ? 2kx . x 4

答案第 5 页,总 8 页

∴ (2k ? 1) x ? 0 ,∴ ( Ⅱ

k??
)

1 2
依 题 意 知 :

f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ?

1 x 1 x ? log 4 (4x ? 1) ? log 4 4 2 ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 2 x . 2
x

∴由 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 得 log 4 (4 x ? 1) ? log 4 (a 2 ? a) ? log 4 2 x .

? 4 x ? 1 ? ( a ? 2 x ? a) ? 2 x ………① ? ? ? x ? a ? 2 ? a ? 0 …………………② ?
令 t ? 2 x ,则①变为 (1 ? a)t ? at ? 1 ? 0 (t ? 0) .
2

(1) a ? 1, t ? ?1 不合题意 .

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0 ? (2)①式有一正一负根, ? 经验证满足 a ? 2 x ? a ? 0 ?a ? 1 . 1 ? t1t 2 ? 1 ? a ? 0 ?
(3)两相等正根, ? ? 0 ? a ? ?2 2 ? 2 综上得: a ? 1 或 a ? ?2 ? 2 2 . 考点:1、函数的奇偶性;2、指数函数与对数函数;3、二次方程. 经验证 a ? 2 x ? a ? 0

?a ? ?2 ? 2 2 .

0 ? x ? 20 ?60, ? 20. (1) v( x) ? ? 1 ; (2)当车流密度为 100 辆/千米时 ,车流量 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ?
可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 【解析】 试题分析:(1)当 0≤x≤20 时,速度 v(x)是一个常数 60;当 0≤x≤20 时,设 v(x)=ax+ b. 当 x =20 时,v=60;当 x=200 时,v=0,代入 v(x)=ax+b 得:20a+b=60,200a+b=0. 解这个方程组便可得 a、b 的值,从而得函数 v(x)的表达式. (2)由(1)可得 f(x)=x·v(x)的解析式,该函数是一个分段函数,所以分别求出每一段的 最大值,然后比较它们的大小,取大者即车流量的最大值. 试题解析:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 再由已知条件得 200a+b=0,20a+b=60,解得 a=-

1 200 ,b= . 3 3

0 ? x ? 20 ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ?

答案第 6 页,总 8 页

(2)依题意并由(1)可得:

0 ? x ? 20 ?60 x, ? . f ( x) ? ? 1 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20≤x≤200 时, f ( x) ?

1 1 x ? 200 ? x 2 10000 , x(200 ? x) ≤ f ( x) ? ( ) ? 3 3 2 3

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.

10000 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333, 3
所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时 ,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 考点:1、函数的应用;2、分段函数;3、函数的最值;4、重要不等式. 21.-2≤m<-1. 【解析】 2 2 试题分析:2x>m(x +1) 可化为 mx -2x+m<0. 2 所以若 p:?x∈R, 2x>m(x +1)为真, 2 则 mx -2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 由此可得 m 的取值范围.
2 若 q:?x0∈R, x0 +2x0-m-1=0 为真,

则方程 x +2x-m-1=0 有实根,由此可得 m 的取值范围. p∧q 为真,则 p、q 均为真命题,取 m 的公共部分便得 m 的取值范围. 2 2 试题解析:2x>m(x +1) 可化为 mx -2x+m<0. 2 若 p:?x∈R, 2x>m(x +1)为真, 2 则 mx -2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 2 当 m≠0 时,有 m<0,Δ = 4-4m <0,∴m<-1.
2 若 q:?x0∈R, x0 +2x0-m-1=0 为真,

2

则方程 x +2x-m-1=0 有实根, ∴Δ =4+4(m+1)≥0,∴m≥-2. 又 p∧q 为真,故 p、q 均为真命题. ∴m<-1 且 m≥-2,∴-2≤m<-1. 考点:1、全称命题与特称命题;2、逻辑连结词. 22. (1)2; (2)0≤θ ≤ 【解析】 试题分析:(1)由任意角三角函数的定义可得 sinθ ,cosθ ,代入函数 f(θ )= 3 sinθ + cosθ ,从而求出 f(θ )的值. (2)作出平面区域Ω (即三角区域 ABC),如图所示,其点 P 在该平面区域内,连结 OP,便
答案第 7 页,总 8 页

2

? ; f(θ )的最大值等于 2 ,f(θ )最小值等于 1. 2

可得角 θ 的范围.将 f(θ )化一得: f(θ )= 3 sinθ +cosθ =2sin(θ + 的范围,结合正弦函数的图象的性质,便 可得 f(θ )的范围. 试题解析:(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 sinθ =

? ).根据角 θ 6

3 1 ,cosθ = . 2 2

于是 f(θ )= 3 sinθ +cos θ = 3 ?

3 1 ? =2. 2 2

(2)作出平面区域Ω (即三角区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1).

y
2 1

C

P
1

B A x
2

–1

O
–1

由图可得:0≤θ ≤

? . 2

又 f(θ )= 3 sinθ +cosθ =2sin(θ + 故当 θ +

? ? ? = ,即 θ = 时,f(θ )取得最大值,且最大值等于 2 ; 6 2 3 ? ? 当 θ + = ,即 θ =0 时,f(θ )取得最小值,且最小值等于 1. 6 6
考点:1、任意角三角函数的定义;2、二元不等式组表示的平面区域;3、三角函数的最值.

? ? ? ?? ),且 ≤θ + ≤ , 6 6 6 3

答案第 8 页,总 8 页


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