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动量和机械能竞赛辅导授课版1


动量和机械能 【基本知识】 一. 动量和动量定理 1.冲量 2.质点的动量和动量定理 3.质点系的动量定理:作用在质点系上的外力在一段时间内的冲量等于质 点系总动量的增量。 说明:⑴质点系的内力对总动量的变化无贡献 ⑵质点系的动量定理适用于任意多个质点组成的质点系,并且仅 在惯性系中成立。 【例题1】 (见《学习的艺术》课时3例题5) 【例题2】长度为 L,质量为 m 的柔软的绳

子盘放在水平面上,用手将绳子的 一端以恒定的速率 V 向上提起,求当提起高度为 x 时手的提力。 〖分析〗整个绳子可以看成有很多质点组成,对此质点系,共受到三个外力: 重力 mg,桌面支持力 N,手提力 F,其中 N 和 F 是变力,但是只要所考察 的过程时间取得足够短,则此过程中这两力可以看成恒力。 在提起高度为 x 时刻,系统的动量为 x P=m V L 在此后足够短的时间△t 内,提起的高度变为 x+V△t,这时系统的动量 (x+V?t) V 变为: P=m L m 2 ' 根据系统的动量定理有: P -P= V ?t ? ( F ? N ? mg ) ?t L m F ? N ? mg ? V 2 L
F? m 2 V ? ( mg ? N ) L N=剩余在桌面上的部分绳子的重力 m 2 x V ? mg L L

故有:F ?

式中第二项为提起部分的重力, 第一项为系统动量增加所需要的附加力。 〖练习1〗用光滑的细条做正方形卷轴窗帘,面积为 l×l=1.5×1.5 米2,质 量为 m=3kg,沿着墙壁悬挂在屋檐板下, 将窗帘的最下变抬起与上边缘对其, 使之对折起来,然后让它落下,如图所示,求出作用于屋檐板上的力 F 随时 间 t 变化的函数关系。 〖分析〗 :设想窗帘下落过程中每一小段窗帘到应到最低位置后它留到那里不动, 速度为 零, 作用于屋檐板上的力 F 应等于 t 时刻原先右边这段窗帘 OA 的重力和在 t~t+ ? t 这 段时间内落下的一微段窗帘 AB 所产生的冲击力 f 的和。 〖解答〗 :令 t 时刻 C 端下落 h,设 OA=x,则 AB= ? x,OA 段的质量 mx=Mx/l, AB 段的质量 ? m=M ? x/l,AB 段落到最低点前一瞬间的速度 V1=gt, 落到最低点后一瞬间的速度 V2=0,由于 ?t ? 0 ,所以可以忽略重力的冲量,则有:

?m M gt Mgt ?x V1 ? ?x ? ? ?t l ?t l ?t ?x 上式中, 是窗帘右边部分的长度的增长率,考虑到窗帘左端 C 下落 h 时,窗帘右边 ?t ?x V ? ,式中 V 为窗帘左端 C 下落 h 时的速度,就是前面的 V1, 只增长了 h/2,因此 ?t 2 ?x 1 故 ? gt 。 ?t 2 f ?

Mgt 1 Mg 2 2 gt ? t 由此可得: f ? l 2 2l
由于OA段长度x=

l h l 1 1 2 ? ? ? ? gt , 2 2 2 2 2 Mg l 1 2 所以Gx ? ( ? gt ) l 2 4 因而O点受到的力 1 3 gt 2 F=Gx+f ? Mg ( ? ) 2 4l

由于C到最低点的时间为

2l ? 0.533秒 g 0 ? t ? 0.533s t ? 0.533s

代入数据后的F ~ t的函数关系为: F= ? 14.7+240.1t2 (牛) 29.4(牛)

〖练习 2〗一根均匀柔软的链条悬挂在天花板上,且下端正好接触地面。若松开悬点,让链条 自由落下,试证明:在下落过程中,链条对地面的作用力等于已经落在地面上的那段链 条的重力的三倍。 〖〗 :链条柔软即已经落地的那段与正在着地的那段及正在下落的链条之间无作用力, 所 以链条对地面的作用力等于已经落地的那段链条的重力加上正在着地的那段链条的冲 力,而与正在下落的那段链条无关。 〖解答〗 :设链条的线密度为 ? ,当有长度为 l 的链条落地时,落地部分的重力为 mg , 取将要着地的链条微元 ? m ,其速度为: V ? 2gl 。
设在时间?t内速度由V ? 0,不计重力,则冲力为 ?P ?m ?V ?t ? V? V ? ?V 2 ?t ?t ?t 而 mg=? l g F= 故总的作用力为 F ? F1 ? F2 ? ? l g ? ?V 2 ? 3? l g ? 3mg 证毕。

〖练习 3〗如图所示,定滑轮两边分别悬挂质量为 2m 和 m 的重物,从静止开始运动 3s 后,2m 的重物将触地且无反弹,试求从 2m 的重物第一次触地后, ⑴经过多长时间,2m 的重物将第二次触地? ⑵经过多长时间系统停止运动? 〖分析与解答〗 :⑴对系统而言,其加速度为

a?

2mg ? mg g ? 3m 3

2m 物体第一次触地时的速度:V1=at=10m/s 此后 m 继续作竖直上抛运动,经过 t1=2V1/g=2s 又返回原来位置。速度 V1=10m/s,方 向向下。此后绳子张紧,忽略重力的冲量,有: 对 m:-Tt=mV2-mV1 对 2m:Tt=2 mV2 即:再经过 t 2 ?

2V2 ? 2 s ,2m 的重物将第二次触地。 a

所求时间为 T=t1+t2=4s ⑵:2m 的物体第二次触地时的速度为 V2=10/3m/s,类同(1)可得经过 4/3s 后它第三 次触地,触地时的速度为 V3=10/9m/s,再经 4/9s 第四次触地,所以有: T=T1+T2+T3+…=

1 1 4(1 ? ? 2 ? .........) ? 6s 3 3

二.动量守恒定律 (一)动量守恒定律 1. 内容:若系统所受的外力之和为零,则系统的总动量守恒 2. 条件: 3. “守恒”的含义:系统内物体在发生相互作用(动量传递)过程中,系统的总动量 始终不变。 4. “四性”原则:⑴系统性;⑵矢量性;⑶同一性;⑷同时性。 5. 常见的三种守恒情形:⑴整体守恒;⑵近似守恒;⑶局部守恒。 (二)反冲与火箭原理 1. 反冲:是物体通过分离排出部分物质,而使自身获得加速的现象。 2. 反冲与碰撞的不同:后者通常是伴随着机械能向其它形式的能的转化(弹性碰撞 除外) ;而前者是其它形式的能向机械能转化,也就是说,反冲后系统的机械能总 是增加的。反冲是作用力与反作用力都做正功的典型事例。 3. 火箭原理:反冲。火箭在自由空间连续喷射高速气流时,喷出的气体具有很大的 动量,火箭也就获得数值相等的向前的动量,即使喷出气流的对地速度方向与火 箭的运动方向一致时,火箭也能向前加速。 (三)碰撞 1. 概念:系统内物体通过相互作用,而使各自的动量发生明显的变化,一般不考虑 碰撞过程中物体位置的变化。 2. 分类:弹性碰撞: 一般碰撞: 完全非弹性碰撞:

3. 恢复系数:① e= V 2-V1 = 靠近速度 01 02 ②只由两个碰撞物体的材料决定 ③0<e<1

V -V

分离速度

【例题分析】

【例题 1】一段凹槽 A 倒扣在水平木板 C 上,槽 l 内有一小物块 B, 它到槽两内侧的距离均为 2 , 如图所示.木板位于光滑水平的桌面上, 槽与木板间的摩 擦不计,小物块与木板间的动摩擦因数为 μ .A、 B、 C 三者质量相等,原来都静止,现使槽 A 以大小为 V0 的 初速向右运动,已知 V0< 2? gl .当 A 和 B 发生碰撞时, 两者速度互换. (1)从 A、B 发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间 内,木板 C (2)在 A、B 刚要发生第四次碰撞时,A、B、C 三 者速度的大小.

V0 V0
第一次碰撞,在 A 左壁

V1
第一次 BC 共速

V1 V1 V1 V2 V1 V2 V2 V2 V2 V3

第二次碰撞,在 A 右壁

第二次 BC 共速, V2<V1

V1
第三次碰撞,在 A 左壁

V3
第三次 BC 共速,V3>V2

第四次碰撞,在 A 右壁

第一次碰撞在 A 左壁 第二次碰撞在 A 右壁 第三次碰撞在 A 左壁

第四次碰撞 在 A 右壁

解:(1)A 与 B 刚发生第一次碰撞后,A 停下不动, B 以初速 V0 向右运动。由于摩擦,B 向右作匀 减速运动,而 C 向右作匀加速运动,两者速率 逐渐接近。 设 B、 C 达到相同速度 V1 时 B 移动的路程为 s1。 设 A、B、C 质量皆为 m,由动量守恒定律,得 mV0=2mV1 ① 由功能关系,得 2 2 μ mgs1=2mV0 /2-mV1 /2 ② 由①得 V1=V0/2 2 代入②式,得 s1=3V0 /(8μ g) 根据条件 V0< ,得 s1<3l/4 ③ 可见,在 B、C 达到相同速度 V1 时,B 尚未与 A 发生第 二次碰撞,B 与 C 一起将以 V1 向右匀 速运动一段距离(l-s1)后才与 A 发生第二次碰 撞。设 C 的速度从零变到 V1 的过程中,C 的路 程为 s2。由功能关系,得 2 μ mgs2=mV1 /2 ④ 2 解得 s2=V0 /(8μ g) 因此在第一次到第二次碰撞间 C 的路程为

s=s2+l-s1=l-V0 /(4μ g) ⑤ (2)由上面讨论可知,在刚要发生第二次 碰撞时,A 静止,B、C 的速度均为 V1。刚碰撞 后,B 静止,A、C 的速度均为 V1。由于摩擦, B 将加速,C 将减速,直至达到相同速度 V2。 由动量守恒定律,得 mV1=2mV2 ⑥ 解得 V2=V1/2=V0/4 因 A 的速度 V1 大于 B 的速度 V2,故第三次碰 撞发生在 A 的左壁。刚碰撞后,A 的速度变为 V2,B 的速度变为 V1,C 的速度仍为 V2。由于摩 擦,B 减速,C 加速,直至达到相同速度 V3。 由动量守恒定律,得 mV1+mV2=2mV3 ⑦ 解得 V3=3V0/8 故刚要发生第四次碰撞时,A、B、C 的速度分 别为 VA=V2=V0/4 ⑧ VB=VC=V3=3V0/8 ⑨

2

【例题 2】如图所示,一排人站在沿 x 轴的 水平轨道旁,原点 O 两侧的人的序号都记为 n(n=1,2,3……).每人只有一个沙袋,x>0 一 侧的每个沙袋质量 m=14kg,x<0 一侧的每个 沙袋质量为 m′=10kg.一质量为 M=48kg 的小 车以某初速度从原点出发向正 x 方向滑行.不 计轨道阻力,当车每经过一人身旁时,此人就 把沙袋以水平速度 V 朝与车速相反的方向沿车 面扔到车上,V 的大小等于扔此袋之前的瞬间 车速大小的 2n 倍(n 是此人的序号数). (1) 空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车 就反向滑行? (2)车上最终有大小沙袋共多少个?

【分析与解答 1】 :在小车运动过程中,由于不 断有沙袋扔到车上,小车的速度逐渐变小。显 然,这是一个多物体参与作用、过程较复杂的 物理问题。我们先以各个子过程为切入点,分 别运用动量守恒定律进行分析和探究。

(1)在

的一侧,

第 1 个人扔沙袋到车上: 第 2 个人扔沙袋到车上: 第 3 个人扔沙袋到车上: 由以上分析和计算可得出一定的规律,则第 n 个人扔沙袋到车上时有

要使小车反向滑行,则要满足

所以 解得 , 所以当小车上堆积 个沙

袋时小车开始反向滑行。 ( 2)只要小车的速度不等于零,就将有人扔 沙袋到小车上。



的一侧, (令



负侧第 1 人扔沙袋到车上: 负侧第 2 人扔沙袋到车上: 容易看出当小车经过负侧第 n 人(看小车的速 度能否为零)有

解得 n=8。则车上最终有大小沙袋共 11 个。 【分析与解答 2】 : 因为扔到车上的沙袋的水平 速度与车行方向相反,两者相互作用后一起运 动时,总动量的方向 (即一起运动的方向 )必与 原来动量较大的物体的动量方向相同.当经过 第 n 个人时,扔上去的沙袋的动量大于车及车 上沙袋的动量时,车就会反向运动.车向负 x 方向运动时、当扔上去的沙袋的动量与车及车 上沙袋的动量等值反向时,车将停止运动. (1)设小车朝正 x 方向滑行过程中,当车上已有 (n-1)个沙袋时的车速为 Vn-1,则车与沙袋的动

量大小为 p1=[M+(n-l)m]Vn-1. 车经过第 n 个人时,扔出的沙袋速度大小 为 2nVn-1,其动量大小为 p2=2nmVn-1, 当满足条件 p2>p1 时,车就反向滑行.于 是由 2nmVn-1>[M+(n-l)m]Vn-1, 得

取 n=3,即车上堆积 3 个沙袋时车就反向 运动. (2)设车向负 x 方向滑行过程中,当第(n— 1)个人扔出沙袋后的车速为 V'n-1,其动量大小 为 p'1=[M+3m+(n-l)m']V'n-1. 车经过第 n 个人时,扔出沙袋的速度大小 为 2nV'n-1,其动量大小为 当满足条件 P'2=P'1 时,车就停止.于是由

[M+3m+(n-l)m']Vn-1=2nm'V'n-1,得

所以车停止时车上共有沙袋数为 N=3+8=11(个). 【说明】 本题依据的物理道理是很显然的, 由于构思新颖,使不少同学难以从具体问题中 抽象出简化的物理模型,以致感到十分棘 手.因此,学习中必须注重打好基础和提高分 析问题的能力
【例题3】 : 如图 18 所示, 长为 L 的轻绳, 一端用轻环套在光滑的横杆上(轻绳和轻 杆的质量都不计) ,另一端连接一质量为 m 的小球,开始时,将系球的绳子绷紧并 转到与横杆平行的位置,然后轻轻放手, 当绳子与横杆成θ 时,小球速度在水平方 向的分量大小是多少?竖直方向的分量 大小是多少? 【分析与解答】 : 对于轻环、小球构成的系统,在水平方向上不受外力作用,所以在水平方向动量守恒。又 由于轻环的质量不计,在水平方向的动量恒为零,所以小球的动量在水平方向的分量恒为零,小 球速度在水平方向的分量为零。 又因为轻环、小球构成的系统的机械能守恒,所以 mgLsinθ 2 =mVy /2 即 Vy= 2gLsin? .此为速度竖直方向的分量。 【例题4】 :如图所示,质量均为 m 的两个质点 A 和 B,由长为 l 的不可伸长的轻绳连接,B 质 点被限制在水平面上的光滑直槽内,A、B 垂直于直槽且相距为 1 .若质点 A 以速度 V 在桌面上平
2

行于槽的方向运动,求质点 B 开始运动时的速度大小.并求绳受到的冲量和槽的反作用力冲量。

解析:质点系在原来速度 V 的方向上动量守恒,但在绳张紧时刻时 V 沿绳方向的速度已有损失. 根据动量守恒定律及动量定理即可求解. 绳张紧时刻球 A 在垂直于绳方向上的速度未变化,V1=Vsin30° ,沿绳方向的速度已经变化,设为 V2.若张紧时刻绳子张力的冲量大小为 I,则对 A 和 B 分 别有 I=m(Vcos30° -V2) ① Icos30° =mVB. ② 因为 A、B 由绳子牵连,所以它们沿绳方向的速度 分量 应相等 V2=VBcos30. ③ 取立求解以上三式可得:VB= ④代入②可得: I ?

3 V. 7



2 3 mV 7

点评: 该题的关键是对绳在张紧时刻的速度变化情况进行分析.当物体由绳子牵连时, 它们沿绳方 向的速度应相等.

【例题 5】 :网球拍以速率 V1 击中以速率 V0 飞来 的网球,被击回的网球的最大速率为多少? (以 上所有的速率均指相对于地面) 【解答】 : 以拍为参照物, 网球以(V1 +V0)的速度击 中球拍,根据小质量物体碰远大质量物体,在无 动能损失的情况下原速反弹的知识可知: 网球以 (V1 +V0)的速度反弹, 故网球此时的对地速度为: (V1 +V0)+V1=2V1 +V0

【例题 6】 : 用两根完全相同的弹簧将一个质量为 m 的 小球安装在质量为 M 的框架内(如图所示,弹簧的 劲度系数为 k,质量可以忽略)在小球位于框架内 中心位置的状态下, 框架以速 V0 度 V0 沿着水平光滑的地板向 左方滑动, 并且于墙壁作瞬时 完全非弹性碰撞, 假设框架与 墙壁之间无吸附力,求: ⑴框架与墙壁接触后,小球偏离中心的最大距离。 ⑵从框架与墙壁接触直至脱离所经历的时间。 ⑶在框架脱离墙壁后的运动中,弹簧的最大形变量 ⑷框架在远离墙壁的运动中的最大速度。 【解答】 : (1) M 与壁碰撞,M 的速度 为 0
1 1 mV02 ? 2 ? kx 2 2 2 可得:x ? V0 m 2k

(2)对小球 m 而言作简谐运动,所需时间为
t= 1 T ?? 2 m 2k

(3)框架脱离墙壁后,达到共同速度时弹簧 有最大压缩量,则

mV0 ? (m ? M )V共

1 1 1 mV02 ? (M ? m)V共2 +2 kx?2 2 2 2
x? ? V0 mM 2k ( m ? M )

(4)当框架第一次恢复原长时,其速度达到 最大值

mV0 ? mV1 ? MV2
1 1 1 2 2 mV0 ? mV1 ? MV22 2 2 2

V 2max

2mV0 ? M ?m

【例题7】 : (斜碰)如图 所示,质量为 M,半 径为 R 的铁环, 放在 光滑平面上,另有质 量为 m 的小铁球, 以 速度 V0 从 O?出发, 而 oo?=R/2, 则经过多少时间小球将与铁环发

生第 N 次弹性碰撞? 【分析】 :小球与铁环在 A 点相互碰撞时,因 二者相互作用力在 A 点的法线法方向,即 AO 方向,而 V0 不在 AO 方向,故属于弹性斜碰。 所以碰撞前后两物体的相对速度大小不变,方 向相反。但要注意此时的相对速度是指沿相互 作用力方向的相对速度。 【解答】 :易知α =30°,将小球在 A 点的速 3 度分解:

V0? ? V0 cos ? ?

2 V0 V0 n ? V0 sin ? ? 2

V0

V0n 便是二者在 OA 方向的相对速度,碰后 V'=V0n, 将反向沿着 AO 方向,而 V0τ 不变。 以环为参照物, 碰后小球的合速度沿 AB 方向, 大小仍等于 V0。AB 方向满足:

?O ' AO ? ?OAB

即小球与环弹性碰撞时, 满足反射定律。 于是:

?OAB ? 2?O ' AO ? 2? ? 60
这样一来,小球在 B 点和圆环碰撞后,仍满足

反射定律,碰后将沿 BC 方向运动,在 C 点碰 撞后情况相同,结果,小球以环为参照物,将 在一个等边三角形 ABC 的三边上以初速 V0 运 动,从出发开始,经过 l t1 ? 2 的时间第一次相碰。 V0 式中 l 为三角形的边长。 l ? 2R cos ? ? 3R 由此可得第1次、第2次、……第 N 次的碰撞 时刻为:

t1 ?

3 R 2V0 3 3 3 R R? R? (2 ? 2 ? 1) 2V0 V0 2 V0

t2 ? t1 ? Vl0 ?

3 tN ? R(2 N ? 1) 2V0
注意: 铁环和小球的质量, 并未在答案里出现, 质量只影响二者碰后的各自的速度,却不影响 二者的相对速度,这就是事情的微妙之处。

2 N ? 1 2R 2 思考:若 OO’= R ,答案又如何?( 2 V0 ) 2

【例题8】 :圆筒形容器中,有 质量为 M 的盖子可以无摩擦地 上下滑动,另有质量为 m 的小 球在距离筒底 H 高处,以初速 V0 向下运动,与筒底做弹性碰 撞以后,反跳回 H 高处,与从 h 高度落下的盖子作弹性碰撞,以后小球反跳 落回筒底,盖子反跳上升,双方返回时,仍在 距离筒底 H 高处再次碰撞,此过程不断重复, V0 和 h 应为多大? 【解答】 :球反跳到达 H 高度时速度仍为 V0, 设盖子当时的速度为 V,只有碰后双方均原速 反弹才满足要求,即: mV0 -MV=MV- mV0 同时, 双方往返所需时间也应该相同, 即满足:

1 2 H ? V0t1 ? gt1 2 V ? gt2 2t1 ? 2t2 过程才能重复进行,即

V02 ? 2 gH ? V0 V ? g g

2 M 2 gH 得:V0 ? m(2 M ? m) m 2 2 m 2 2M 2 gH 又因为:V ? 2 gh ? 2 V0 ? 2 M M m(2M ? m) mM 得:h ? 2M ? m
2

【例题9】 :三个钢球,放在光滑水平面上,球心成一 直线, 位于中间的球质量为 m1,两边的球质量均为 m2, 给中间球一个初速度,方向沿着球心联成的直线,使 它和另外两个球先后相互碰撞,并且使此球能发生第 三 次 碰 撞 , 则 m1 、 m2 应 该 满 足 什 么 关 系 ?
m2 ( m1 ? 2 ? 5 )

【解答】 :设质量为 m1 的球的初速度为 V0,与质量为 m2 的球碰撞后,两球速度分别为 V1、V2,则 m1V0= m1V1+ m2V2

1 1 1 2 2 m1V0 = m1V1 + m 2 V2 2 2 2 2 m1-m 2 2m1 ' 得:V1 = V0 V2 ? V0 m1 +m 2 m1 +m 2
要使质量为 m1 的球与另外一个质量为 m2 的球相碰, 必须满足 V1<0,即 m1<m2,这两个球相互碰撞的过程中 也满足动量守恒和能量守恒,同理得:

? m1-m2 ? m1-m2 m2-m1 得:V = V0 ? ? ? ? V0 m1 +m2 m1 +m2 ? m1 +m2 ?
' 1

2

负号表示碰后速度反向, 要使质量为 m1 的球与质量为 m2 的球发生第三次 碰撞,必须满足

V1' >V2 ? m1-m 2 ? 2m1 V0 ? ? V0 ? m1 +m 2 ? m1 +m 2 ? 2 化简后可得:m 2 -4m m -m 2 1 2 1 >0 m2 解得: >2+ 5 m1
【例题 10】 :质量为 0.5kg,长度为 1.2m 的金属盒 AB, 放在水平桌面上,它与桌面之间的动摩擦因数μ =1/8, 在盒内右端 B 放着质量也为 0.5kg,半径为 0.1m 的弹 性硬球 , 球与盒接触光滑 , 若在盒的 A 端给盒一个水 平向右的初速度 3m/s, 设 盒在运动过程中与球的碰撞时间极短 , 并且无能量损 失, 求: ⑴盒从开始运动到完全停止所通过的路程多大? ⑵盒从开始运动到完全停止所经过的时间多长? 【解答】 :(1)盒运动,球静止, 球与盒的左壁相碰速 度交换;球运动,盒静止,再碰,再速度交换……故有
2

rc ?

m1r1 ? m2 r2 ? ... ? mN rN ? m1 ? m2 ? ... ? mN
N i ?1

? mi ri
i ?1

N

m

公式中m=? m (下同)。  rc的分量式为: i -μ
i ?1 i ?1 i ?1 x=   y=   z= c c c m m m

? mixi
N

N

? miyi

N

? mi zi

N

1 2mgs=0- mV2 2

m v= c ? mv i i
i ?1

代入数字得:s=1.8m. (2)对盒,由牛顿定律得: a=2μmg/m=2μg=2.5m/s2 2 由题意得:L-2r=V0t1-at1 /2 可得: t1=0.4s 此时盒的速度为:V 盒= V0-at1=2m/s 接着盒与球交换速度,球运动的时间: t2=(L-2r)/ V 盒=0.5s 接着盒与球交换速度后,因为 s= V 盒 2/2a=0.8m<1m , 所以盒已经停止. 因此,0= V 盒- at3 t3=0.8s 所求时间为:t 总=t1+t2+t3=1.7s. 【例题 11】 :运动的球 A 在光滑水平面上与一个原 来静止的球 B 发生弹性碰撞,A、 B 的质量关系如何, 才可能实现使得 B 球获得 (1) 最大的动能;

(2) 最大的速度 (3) 最大的动量 答案:( mA=mB; mA>>mB; mA<<mB) (四)质心与质心运动 1.质心的概念 设系统有 N 个质点组成,以 m1、m2、…mN 和 r1、 r2、…rN 表示个质点的质量和位置矢量,则质心的 位置矢量 rc 可表示为:
mi ri m1r1 ? m2 r2 ? ... ? mN rN ? rc ? ? i?1m m1 ? m2 ? ... ? mN N
N

公式中m=? m (下同)。  rc的分量式为: i
i ?1
i=1 i=1 i=1 x=   y=   z= c c c m m m

? mixi

N

? miyi

N

? mi z i

N

2.质心的速度:相对于选定的参照系,其质心 的位置随时间的变化也有一定的速度,称为质 心的速度。用符合 VC 表示。记作:

mVc ? ?
i ?1

N

mV ? mV ? c i i (其中 m 为质点 mV
i i

N

i ?1

组的总质量) 因此,质点组的动量定理还可以写成:

?I
i ?1

N

i

? mVC ? m VC 0

意思是:在一段时间内,外力的总冲量等于质 心动量的增量。


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高三物理竞赛辅导讲义()、知识讲解 1.动量 运动物体的质量和速度的乘积叫...即用系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量, 即转变为系统内能的量...


高三物理竞赛辅导讲义(一)

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高中物理竞赛培训试题 力学(一)习题

到达同水平面 B.重力对它们的冲量相同 C.它们的末动能相同 D.它们动量变化...由于机械能守恒,c 的机械能最大(有初动能) ,到地面时末动能也大,因此 C ...

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