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【 学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)课时作业第三章 §3.4 基本不等式:ab≤a+b2(二)


§ 3.4

基本不等式: ab≤

a+ b (二) 2

课时目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.设 x,y 为正实数

s2 (1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当 x=y 时,积 xy 有最大值,且这个值为 . 4 (2)若 x

y=p(积 p 为定值),则当 x=y 时,和 x+y 有最小值,且这个值为 2 p. 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需满足: (1)x,y 必须是正数; (2)求积 xy 的最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 的最小值时,应看积 xy 是 否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 利用基本不等式求最值时,一定要注意三个前提条件,这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等”.

一、选择题 1 1.函数 y=log2?x+x-1+5? (x>1)的最小值为(

?

?

)

A.-3 B.3 C .4 D.-4 答案 B 2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为( A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在 答案 B 解析 ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3. 3 3 + ∴2x+4y≥2 2x· 4y=2 2x 2y=4 2(x= ,y= 时取等号). 2 4 2 x -4x+5 5 3.已知 x≥ ,则 f(x)= 有( ) 2 2x-4 5 5 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1 2 4 答案 D x2-4x+5 ?x-2?2+1 解析 f(x)= = 2x-4 2?x-2? 1 1 = ??x-2?+x-2?≥1. 2? ? 1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时等号成立. x-2 x2+5 4.函数 y= 2 的最小值为( ) x +4 5 A.2 B. C.1 D.不存在 2

)

答案 解析

B y=

x2+5 x2+4

= x2+4+
2

1 x2+4

∵ x2+4≥2,而

1 1 ≤ ,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最 x +4 2

1 值,函数 y=x+ 在(1,+∞)上是增函数,∴在[2,+∞)上也是增函数. x 5 ∴当 x2+4=2 即 x=0 时,ymin= . 2 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) 9 11 A.3 B.4 C. D. 2 2 答案 B x+2y 2 解析 ∵8-(x+2y)=2xy=x· (2y)≤( ). 2 2 ∴原式可化为(x+2y) +4(x+2y)-32≥0. ∵x>0,y>0,∴x+2y≥4. 当 x=2,y=1 时取等号. 1 1 x+ ?2+?y+ ?2 的最小值是( 6.若 xy 是正数,则? ) ? 2y? ? 2x? 7 9 A.3 B. C.4 D. 2 2 答案 C 1 1 x+ ?2+?y+ ?2 解析 ? ? 2y? ? 2x? 1 1 1? x y 2 2+ 2 + + =x +y2+ ? 4?x y ? y x 1 ? ? 2 1 ? ?x y? 2 =? ?x +4x2?+?y +4y2?+?y+x?≥1+1+2=4. 2 2 当且仅当 x=y= 或 x=y=- 时取等号. 2 2 二、填空题 ?x+5??x+2? 7.设 x>-1,则函数 y= 的最小值是________. x+1 答案 9 解析 ∵x>-1,∴x+1>0, 设 x+1=t>0,则 x=t-1, ?t+4??t+1? t2+5t+4 4 于是有 y= = =t+ +5≥ t t t 4 2 t· +5=9, t 4 当且仅当 t= ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. t ∴当 x=1 时, ?x+5??x+2? 函数 y= 取得最小值为 9. x+1 8.已知正数 a,b 满足 a+b-ab+3=0,则 ab 的最小值是________. 答案 9 解析 ∵a+b-ab+3=0, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3. 令 ab=t,则 t2≥2t+3.

解得 t≥3(t≤-1 舍).即 ab≥3. ∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时,取等号. 9.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 答案 1 760 解析 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m,由于底面积为 4 m2,所以另一 4 边长为 m.那么 x 4? ?2x+2· ?x+4? y=120· 4+2· 80· x?=480+320? x ? ? 4 ≥480+320· 2 x· =1 760(元). x 当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元. 10.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 1 2 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 答案 8 解析 ∵A(-2,-1)在直线 mx+ny+1=0 上, ∴-2m-n+1=0, 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. 1 2 2m+n 4m+2n n 4m n 4m ∴ + = + =2+ + +2≥4+2· · =8. m n m n m n m n n 4m 1 1 当且仅当 = ,即 m= ,n= 时等号成立. m n 4 2 1 2 故 + 的最小值为 8. m n 三、解答题 1 9 11.已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y 1 9 解 方法一 ∵ + =1, x y ?1+9?=10+y+9x. ∴x+y=(x+y)· ? x y? x y y 9x y 9x ∵x>0,y>0,∴ + ≥2 · =6. x y x y y 9x 当且仅当 = ,即 y=3x 时,取等号. x y 1 9 又 + =1,∴x=4,y=12. x y ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 1 9 y 方法二 由 + =1,得 x= , x y y-9 ∵x>0,y>0,∴y>9. y-9+9 y 9 x+y= +y=y+ =y+ +1 y-9 y-9 y-9 9 =(y-9)+ +10. y-9 ∵y>9,∴y-9>0, 9 9 ∴y-9+ +10≥2 ?y-9?· +10=16, y-9 y-9 9 当且仅当 y-9= ,即 y=12 时取等号. y-9

1 9 又 + =1,则 x=4, x y ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 12.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设 备的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元 的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用 最少)? 解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 0.2x2+0.2x 10+0.9x+ 2 由已知,得 y= , x 10 x 即 y=1+ + (x∈N*). x 10 10 x 10 x 由基本不等式知 y≥1+2 · =3,当且仅当 = ,即 x=10 时取等号.因此使 x 10 x 10 用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 能力提升 13.若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( ) A.2∈M,0∈M B.2?M,0?M C.2∈M,0?M D.2?M,0∈M 答案 A k4+4 解析 ∵(1+k2)x≤k4+4,∴x≤ . 1+k2 k4+4 ?1+k2?2-2?1+k2?+5 5 ∵ = =(1+k2)+ -2≥2 5-2. 1+k2 1+k2 1+k2 ∴x≤2 5-2,M={x|x≤2 5-2},∴2∈M,0∈M. 14.设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______. 答案 2 x+ y x+y 解析 ∵ ≤ 成立, 2 2 ∴ x+ y≤ 2· x+y,∴a≥ 2. 1.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,并且和为定值, 积有最大值;积为定值,和有最小值. 2.使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解. 3.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,利用基 本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.


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