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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第6课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 - 1.函数 y=3x 与 y=-3 x 的图象关于________对称( ) A.x 轴 B.y 轴 C.直线 y=x D.原点 -x -x 解析:选 D.由 y=-3 ,得-y=3 ,(x,y)→(-x,-y),即关于原点中心对称. 1?x2 2.函数 y=? ) ?3? 的值域是( A.(0,+∞) B.(0,1) C.(0,1] D.[1,+∞) 1 2 ?x 解析:选 C.∵x2≥0,∴? ?3? ≤1,即值域是(0,1]. ?x2?x<0? ? 3.函数 y=? x 的图象大致是( ) ? ?2 -1?x≥0?

解析:选 B.当 x<0 时,函数的图象是抛物线,当 x≥0 时,只需把 y=2x 的图象在 y 轴 右侧部分向下平移 1 个单位即可,故大致图象为 B. 3 2 3?2 ?2? ,c=?2? ,则 a,b,c 的大小关系是( 4.(2014· 东北三校联考)设 a=? , b = ) 5 5 5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? A.a>c>b C.c>a>b B.a>b>c D.b>c>a

2?x 解析:选 A.构造指数函数 y=? ?5? (x∈R),由该函数在定义域内单调递减可得 b<c;又
2 2 2?x ?3?x(x∈R)之间有如下结论:当 x>0 时,有?3?x>?2?x,故?3? >?2? , y=? ( x ∈ R ) 与 y = ?5? ?5? ?5? ?5? ?5?5 ?5?5 ∴a>c,故 a>c>b. 1?x-1 ?1?x 5.方程? ) ?2? +?4? +a=0 有正数解,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) B.(-∞,-2) C.(-3,-2) D.(-3,0) 1?x 2 解析:选 D.令 t=? ?2? ,因为方程有正根,所以 t∈(0,1),则方程可转化为 t +2t+a=0, 所以 a=1-(t+1)2.因为 t∈(0,1),所以 a∈(-3,0),故选 D. 二、填空题 2 3?-1 ? 7?0 1 4 ?-2?3=________. - 6.? × + 8 × 2 - 4 ?2? 3 ? 6? ? 3? 1 3 1 1 2 ? ×1+2 ×2 -?2? =2. 解析:原式=? 3 4 4 3 3 ? ? ? ?3

答案:2 7.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、 n 的大小关系为________. 解析:∵a2-2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=ax 在 R 上递增,由 f(m)>f(n),得 m>n.

答案:m>n
?f?x?,x≥0, ? 1 8. 已知函数 f(x)=2x- x, 函数 g(x)=? 则函数 g(x)的最小值是________. 2 ? ?f?-x?,x<0,

1 解析:当 x≥0 时,g(x)=f(x)=2x- x为单调增函数,所以 g(x)≥g(0)=0;当 x<0 时, 2 1 - g(x)=f(-x)=2 x- -x为单调减函数,所以 g(x)>g(0)=0,所以函数 g(x)的最小值是 0. 2 答案:0 三、解答题 9.已知 f(x)=|2x-1|,求函数 f(x)的单调区间.

解:由 f(x)=|2x-1| x ? ?2 -1,x≥0, ? = x ?1-2 ,x<0. ? 可作出函数的图象如图.因此函数 f(x)在(-∞,0)上递减;函数 f(x)在[0,+∞)上递增. 10.求下列函数的定义域和值域. 1?2x-x2 1 2x-1 (1)y=? ; (2) y = 3 - . 2 ? ? 9 解:(1)显然定义域为 R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1?x 且 y=? ?2? 为减函数. 1?2x-x2 ?1?1 1 ∴? ≥?2? = . ?2? 2 1 2 ?2x-x 的值域为?1,+∞?. 故函数 y=? ?2? ?2 ? 1 1 - - - (2)由 32x 1- ≥0,得 32x 1≥ =3 2, 9 9 1 ∵y=3x 为增函数,∴2x-1≥-2,即 x≥- , 2 1 ? 此函数的定义域为? ?-2,+∞?, 1 - 由上可知 32x 1- ≥0,∴y≥0. 9 即函数的值域为[0,+∞). [能力提升] 一、选择题 + 1.(2014· 浙江绍兴一中月考)函数 f(x)=a|x 1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4) 与 f(1)的关系是( ) A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1) C.f(-4)<f(1) D.不能确定 解析:选 A.由题意知 a>1,∴f(-4)=a3,f(1)=a2,由单调性知 a3>a2,∴f(-4)>f(1), 故选 A. 1?a ?1?b 2.已知实数 a,b 满足等式? ?2? =?3? ,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有( )

A.1 个 C.3 个 解析:

B.2 个 D.4 个

1?x ?1?x 选 B.函数 y1=? ?2? 与 y2=?3? 的图象如图所示. 1?a ?1?b 由? ?2? =?3? 得 a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0. 故①②⑤可能成立,③④不可能成立. 二、填空题 a 3.已知函数 f(x)=ln(1- x)的定义域是(1,+∞),则实数 a 的值为________. 2 a a 解析:由题意得,不等式 1- x>0 的解集是(1,+∞),由 1- x>0,可得 2x>a,故 x 2 2 >log2a,由 log2a=1,得 a=2. 答案:2 - 4.(2014· 皖南八校联考)对于给定的函数 f(x)=ax-a x(x∈R,a>0,a≠1),下面给出五 个命题,其中真命题是________.(只需写出所有真命题的编号) ①函数 f(x)的图象关于原点对称; ②函数 f(x)在 R 上不具有单调性; ③函数 f(|x|)的图象关于 y 轴对称; ④当 0<a<1 时,函数 f(|x|)的最大值是 0; ⑤当 a>1 时,函数 f(|x|)的最大值是 0. 解析:∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,①对;当 a>1 时, f(x)在 R 上为增函数,当 0<a<1 时,f(x)在 R 上为减函数,②错;y=f(|x|)是偶函数,其图 象关于 y 轴对称,③对;当 0<a<1 时,y=f(|x|)在(-∞,0)上为增函数,在[0,+∞)上为 减函数,∴当 x=0 时,y=f(|x|)的最大值为 0,④对;当 a>1 时,f(x)在(-∞,0)上为减函 数,在[0,+∞)上为增函数,∴当 x=0 时,y=f(x)的最小值为 0,⑤错.综上,真命题是 ①③④. 答案:①③④ 三、解答题 a - 5.已知 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0, - y=ax 为增函数,y=a x 为减函数, -x x 从而 y=a -a 为增函数. 所以 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, - y=ax 为减函数,y=a x 为增函数,

从而 y=ax-a x 为减函数. 所以 f(x)为增函数. 故当 a>0 且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数. 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1). a - 所以 f(x)min=f(-1)= 2 (a 1-a) a -1 2 a 1-a = 2 · =-1. a -1 a 所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1.故 b 的取值范围是(-∞,-1]. - 6.(选做题)设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 解:∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,即 k=1. 1 (1)∵f(1)>0,∴a- >0, a - 又 a>0 且 a≠1,∴a>1,f(x)=ax-a x, -x -x x x ∵f′(x)=a ln a+a ln a=(a +a )ln a>0, ∴f(x)在 R 上为增函数. 原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x), ∴x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, ∴x>1 或 x<-4, ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. 3 1 3 (2)∵f(1)= ,∴a- = ,即 2a2-3a-2=0, 2 a 2 1 ∴a=2 或 a=- (舍去), 2 - - ∴g(x)=22x+2 2x-4(2x-2 x) -x 2 -x x x =(2 -2 ) -4(2 -2 )+2. - 令 t(x)=2x-2 x(x≥1), 则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2 ∴原函数变为 w(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, ∴当 t=2 时,w(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.



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