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高二上学期数学理4


高二上学期数学(理)周测试题
一.选择题。 1.下列各组向量中不平行的是(

7.若

1 1 b a a ? b( ? ? 0, , 则下列不等式 (1)a ? b ? ab ( , 2) a ? b ( , 3) , 4) ? ? 2 a b a b
) B.2 个 C.3 个 D.4 个 A.1 个

r />中,正确的有(

) B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0)

A. a ? (1,2,?2), b ? (?2,?4,4)

?

?

?

?

8.在 ?ABC 中,

? ? C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)
1 2 2.抛物线 y ? ? x 的焦点坐标是 8
A.(0,-4) B.(0,-2)

? ? D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40)
A. 9.设

A ? 60?, AB ? 2, 且 S?ABC ?
B.3

3 2
C.

,则 BC=(

)

3

7


D.7

p : x ? ?1或x ? 1 ; q : x ? ?2或x ? 1 ,则 ?p是?q 的(
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既充分也不必要条件

1 C. ( ? ,0) 2

D.

? 1 ? ? ? ,0 ? ? 32 ?

3.已知点 P ( x, y ) 在直线 x ? 2 y

? 1 上运动,则 2 x ? 4 y 的最小值是
C.2

10. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是(



A. 4.与曲线

2

B.2

2

D.4

2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为 24 49 36 64 x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 A. 16 9 16 9 9 16 9 16

x2 y2 ? ? 1 (x≠0) A. 36 20 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) C. 6 20
11 . 四 棱 柱

x2 y2 ? ? 1 (x≠0) B. 20 36 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) D. 20 6
ABCD 为 矩 形 , AB = 1 , AD = 2 , ) D. 32

ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1的 底 面

AA1 ? 3 ,

?A1 AB ? ?A1 AD ? 60? ,则 AC1 的长为(
( ) A.

5.已知命题

p : ?x ? R,2x 2 ? 1 ? 0, 则?p 是
2

4 2

B.

23

C.

23

A. ?x ? R,2 x C. ?x ? R,2 x

?1 ? 0 ?1 ? 0

B. ?x ? R,2 x D.

2

?1 ? 0
12.已知 F1、F2 的椭圆

2

?x ? R,2x ? 1 ? 0
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,M 为椭圆上一点,MF1 垂直于 a2 b2

x

6. 若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列, A.4 B.2

c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10, 则 a 等于 C.-2 D.-4

轴, 且 ?F 1MF2

? 60?, 则椭圆的离心率为
B.





A.

3 3

3 2

C.

1 2

D.

2 2

二.填空题 13.命题“若 a

? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的逆否命题为

19.已知数列 {an } 的前n项和为S n , 且有a1 ? 2,3S n ? 5an ? an?1 ? 3S n?1 (n ? 2). (Ⅰ)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? (2n ? 1)an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

14. 设等差数列

?an ? 的公差 d ? 0,又 a1, a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10
的法向量

15. 若

A(0, 2,

19 ) , B (1, ?1, 5 ) , C ( ?2,1, 5 ) 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 8 8 8
.

? a ? ( x, y, z ) ,则 x : y : z ?
16.有下列命题:①双曲线

1 x2 y2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点;②“- <x<0” 25 9 35 2
B
1

A

C
1

20. (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 中, AB=1, AC

ABC ? A1B1C1

? ? ? ? 是“2x -5x-3<0”必要不充分条件;③若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;④若
2

? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 ? .
; AC 1

? ? ? ? ? ? x 2 ? 3x ? 3 ? 0 . a、 b、 c 三向量两两共面, b、 c 三向量一定也共面; 则a、 ⑤ ?x ? R ,
其中是真命题的有:_ 三.简答题 17. (本小题满分 12 分)在⊿ABC 中,已知 c (1)求出角 C 和 A ; (2)求⊿ABC 的面积 S. ___.

A B

(Ⅰ)证明: AB ?

C

(Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的余弦值。

? 3, b ? 1, B ? 300 .

21.已知椭圆的两焦点为 F 1 (Ⅰ)求此椭圆的方程。 18. 已知命题

(? 3,0) , F2 ( 3,0) ,离心率 e ?

3 。 2

p :c2 < c ,和命题 q :?x ? R,x 2 ? 4cx ? 1 ? 0 且 p ? q 为真, p ? q

(Ⅱ)设直线

y?

x ? m 与此椭圆交于 P,Q 两点,且 PQ 的长等于椭圆的短轴长, 2 x ? m 与此椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程。 2

为假,求实数 c 的取值范围。

求 m 的值。 (Ⅲ)若直线

y?

19.(Ⅰ) 3S n 17.(1)?

? 3S n?1 ? 5an ? an?1

(n ? 2) ????????2 分

sin C c 3 ? , sin C ? sin B b 2

??????????????????3 分

? 2an ? an?1 ,
又? a1

? c ? b, C ? B,?C ? 600 , 此时A ? 900 , 或者C ? 1200 , 此时A ? 300


an 1 ? ??????????????????????3 分 an?1 2

???6

? 2,
1 的等比数列 . ????????????4 分 2

(2)S=0.5bcsinA=

3 3 ???? , 2 4

?{a n }是以2为首项公比为

1 1 ? a n ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 2? n ????????5 分 2 2
(Ⅱ) bn

18 解:由不等式 c < c ,得 0 ? c
2

? 1,

? (2n ? 1)22?n

即命题

p : 0 ? c ? 1,

Tn ? 1? 21 ? 3 ? 20 ? 5 ? 2?1 ? ? (2n ? 1) ? 22?n ??????????7 分
1 Tn ? 1 ? 2 0 ? 3 ? 2 ?1 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 2? n ? (2n ? 1) ? 21? n ?????? 2
??8 分

所以命题 ? p : c 又由 (4c)
2

? 0 或c ?1,

1 1 ? 4 ? 0 ,得 ? ? c ? , 2 2 1 1 得命题 q : ? ? c ? 2 2 1 1 所以命题 ? q : c ? ? 或 c ? , 2 2 由题知: p 和 q 必有一个为真一个为假。 1 当 p 真 q 假时: ? c ? 1 2 1 当 q 真 p 假时: ? ? c ? 0 2 1 1 故 c 的取值范围是: ? ? c ? 0 或 ? c ? 1 。 2 2

1 ? Tn ? 2 ? 2(2 0 ? 2 ?1 ? ? ? 2 2?n ) ? (2n ? 1) ? 21? n ????????9 分 2

2[1 ? (2 ?1 ) n ?1 ] ? 2? ? (2n ? 1)21?n ?1 1? 2

? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n ??????
19.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨; 生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙 种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二 级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少,能使利润总额最大? 分析:将已知数据列成下表:

消耗量 资源

产品

甲种棉纱 (1 吨) 2 1 600

乙种棉纱 (1 吨) 1 2 900

资源限额 (吨) 300 250 20.方法一 (Ⅰ)因为三棱柱 在 ? ABC 中
y

一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利 润(元)

ABC ? A1B1C1 为直三棱柱所以 AB ? A1 A

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

AB ? 1 , AC ? 3, ?ABC ? 600 ??????2 分

?2 x ? y ? 300 ? 那么 ? x ? 2 y ? 250 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位 置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大, 此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组
50

由正弦定理得 ?ACB
2x+y=300

? 300 所以 ?BAC ? 900 ??????4 分



AB ? AC

,所以

AB ? 平面AAC 1 1C

,又因为

,所以 AC 1 ? 平面 A A 1 C 1 C

x+2y=250 50 x

A B? A 1 C ????6 分
(Ⅱ)如图所示,作 交 AC 于 D ,连 BD ,由三垂线定理可得 AD ? AC 1 1

?2 x ? y ? 300,得 M 的坐标为 x= 350 ≈117,y= 200 ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.

BD ? AC 1
所以 ? ABD 为所求二面角的平面角,在

Rt?AAC 1

中,

AD ?

A1 AgAC 3g 3 6 ,??????8 分 ? ? AC 2 6 1

在 Rt ?BAD 中,

BD ? AB2 ? AD2 ? 12 ? (
??10 分

6 2 10 ) ? 2 2

,??

6 AD 15 ? 2 ? 所 以 cos ABD ? BD 5 10 2

??????

11 分 即 二面角 A— AC 1 —B 的余弦值是

15 。?????????12 分 5

? ? ? ? ??2 分

? ? ? ? ??4 分

? ? ????6 分 ??????8 分 ??????9 分 ?????10 分

?? ? ?? ? m?n 3 ? 1 ? 1? 0 ? 1? 0 15 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 5 | m |?| n | ( 3) ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 0
???11 分 所以 二面角 A-A1C-B 所成角的余弦值是

22. (本小题满分 12 分) ??? 如图,过抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线与

抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向准线 l 作垂线,垂

15 5

足分别为 M1、N1. ?????????12 分 (I)求证:FM1⊥FN1; (II)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1 的面积分别为 S1、

S2、S3,试判断 S 2

2

? 4S1S3 是否成立,并证明你的结

?

5 8 ? 4m2 ? 5 2 ? m2 ? 2 2

所以: m ? ?

30 5

22.(本小题满分 12 分) 21.解: (Ⅰ )

(Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,MN 的中点为 P ( x,

y)

x12 ? 4y12 ? 4
c? 3
a?2

c? 3
c 3 ? ? a 2

x 2 ? 4y 2 ? 4
2 2

两式相减得 (x1 +x 2)+4(y 1 +y2) 1

y -y2 ?0 x1 -x 2

又 x1 +x 2 =2x,y 1 +y2

y -y 1 ? 2y, 1 2 ? x1 -x 2 2

x2 ? y 2 ? 1。 所以,椭圆的方程为: 4
(Ⅱ)

即 x ? 2y

?0

因为 P 在椭圆内部,可求得 ?

2?x? 2
? 0(? 2 ? x ? 2 )



x ? y2 ? 1 4 联立消去 y

2

所以线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y

y?

x ?m 2

得到关于 x 的方程: x 由△ ? 4m
2

2

? 2mx ? 2m2 ? 2 ? 0
解得: m
2

? 4(2m2 ? 2) ? 0

?2

设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 )

x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 2
5 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2

PQ ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?


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