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高中物理奥赛讲义(静电场)doc第一讲基本知


静电场
第一讲 基本知识介绍

在奥赛考纲中,静电学知识点数目不算多,总数和高考考纲基本相同,但在个别知识点上,奥赛的要求显然更加深化了: 如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上,对无限分割和叠加 原理提出了更高的要求。 如果把静电场的问题分为两部分,那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究,高考考纲比较注重第二部分中带电 粒子的运动问题,而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说,奥赛关注的是电场中更本质的内容,关 注的是纵向的深化和而非横向的综合。

一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律 内容; 条件:⑴点电荷,⑵真空,⑶点电荷静止或相对静止。事实上,条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制,因为叠加 原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体, 非真空介质可以通过介电常数将 k 进行修正 (如果介质分布是均匀和 “充 分宽广”的,一般认为 k′= k /ε r) 。只有条件⑶,它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被不恰 当地“综合应用”的) 。 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 电场的概念;试探电荷(检验电荷) ;定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段;电场线是抽象而直观地描 述电场有效工具(电场线的基本属性) 。 b、不同电场中场强的计算 决定电场强弱的因素有两个:场源(带电量和带电体 可以从不同电场的场强决定式看出—— ⑴点电荷:E = k
Q r2

的形状) 和空间位置。 这

结合点电荷的场强和叠加原理,我们可以求出任何电 ⑵均匀带电环,垂直环面轴线上的某点 P:E = 的意义见图 7-1。 ⑶均匀带电球壳 内部:E 内 = 0

场的场强,如——
kQr (r ? R 2 )
2 3 2

,其中 r 和 R

外部:E 外 = k

Q ,其中 r 指考察点到球心的距离 r2

如果球壳是有厚度的的(内径 R1 、外径 R2) ,在壳体中(R1 E=
3 4 r 3 ? R1 ,其中ρ 为电荷体密度。这个式子的物理意 ?? k 2 3 r

<r<R2) : 义可以参照万有引力定 中虚线以内部分的总电

律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解〔 ? ?(r 3 ? R 3 ) 即为图 7-2 量?〕 。 ⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ ) :E =
2 k? r

4 3

⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ ) :E = 2π kσ 二、电势 1、电势:把一电荷从 P 点移到参考点 P0 时电场力所做的功 W 与该电荷电量 q 的比值,即 U= 参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。 和场强一样,电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点,U = k b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点,U 外 = k 3、电势的叠加 由于电势的是标量,所以电势的叠加服从代数加法。很显然,有了点电荷电势的表达式和叠加原理,我们可以求出任何 电场的电势分布。 4、电场力对电荷做功 WAB = q(UA - UB)= qUAB 三、静电场中的导体 静电感应→静电平衡(狭义和广义)→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义—— a、导体内部的合场强 为零;表面的合场强 不为零且一般各处不等,表面的合场强 方向总是垂直导体表面。 ... ... ... b、导体是等势体,表面是等势面。 c、导体内部没有净电荷;孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽 导体壳(网罩)不接地时,可以实现外部对内部的屏蔽,但不能实现内部对外部的屏蔽;导体壳(网罩)接地后,既可 实现外部对内部的屏蔽,也可实现内部对外部的屏蔽。 四、电容 1、电容器
Q ,U r


W q

Q r

=k

Q R

孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式 C =
Q U

b、决定式。决定电容器电容的因素是:导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类,所以不同电容器有不同的电容 ⑴平行板电容器 C = 对介电常数,ε
r

? rS 4?kd

=

?S ,其中ε 为绝对介电常数(真空中ε d

0

=

1 1 ,其它介质中ε = ) ,ε 4 ?k 4?k?

r 则为相

=

? 。 ?0
?rL R 2 k ln 2 R1

⑵柱形电容器:C =

⑶球形电容器:C = 3、电容器的连接 a、串联

? r R1R 2 k (R 2 ? R1 )

1 1 1 1 1 = + + + ? + C C1 C 2 C3 Cn

b、并联 C = C1 + C2 + C3 + ? + Cn 4、电容器的能量 用图 7-3 表征电容器的充电过程, “搬运”电荷做功 W 就是图中 容器的储能 E ,所以 E=
2 1 1 1 q0 2 q0U0 = C U0 = 2 2 2 C

阴影的面积, 这也就是电

电场的能量。 电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场? 我们可以将电容器的能量用场强 E 表示。 对平行板电容器 E 总 =
Sd 2 E 8 ?k

正确答案是后者,因此,

认为电场能均匀分布在电场中,则单位体积的电场储能 w = 五、电介质的极化 1、电介质的极化

1 E2 。而且,这以结论适用于非匀强电场。 8 ?k

a、电介质分为两类:无极分子和有极分子,前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合(如气 态的 H2 、O2 、N2 和 CO2) ,后者则反之(如气态的 H2O 、SO2 和液态的水硝基笨) b、电介质的极化:当介质中存在外电场时,无极分子会变为有极分子,有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列, 如图 7-4 所示。 2、束缚电荷、自由电 电荷 a、束缚电荷与自由 质左右两端分别显现负 不能自由移动,因此称为 导体中的原子核和内层 电荷:在图 7-4 中,电介 电和正电,但这些电荷并 束缚电荷,除了电介质, 电子也是束缚电荷;反 荷、极化电荷与宏观过剩

之,能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上,导体中存在束缚电荷与自由电荷,绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷, 只是它们的比例差异较大而已。 b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷,就是指图 7-4 中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来 说的,它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是:前者能够用来冲放电,也能用仪表测量,但 后者却不能。

第二讲 重要模型与专题

一、场强和电场力 【物理情形 1】试证明:均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。 如图 7-5 所示,在球壳内取一点 P ,以 P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体,锥体与球面相交得到球面上的两个面 元Δ S1 和Δ S2 ,设球面的电荷面密度为σ ,则这两个面元在 P Δ E1 = k Δ E2 = k
??S1 r12 ??S2 r22

点激发的场强分别为

为了弄清Δ E1 和Δ E2 的大小关系,引进锥体顶部的立体角Δ
?S1 cos? ?S2 cos? = ΔΩ = r12 r22

Ω ,显然

所以 Δ E1 = k

??? cos ?

,Δ E 2 = k

??? cos ?

,即:Δ E1 = Δ E2 ,

而它们的方向是相反的,

故在 P 点激发的合场强为零。 同理,其它各个相对的面元Δ S3 和Δ S4 、Δ S5 和Δ S6 ? 激发的合场强均为零。原命题得证。 【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面,电荷的面密度为σ ,试求球心处的电场强度。 【解析】如图 7-6 所示,在球面上的 P 处取一极小的面元 发的场强大小为 Δ E=k
??S ,方向由 P 指向 O 点。 R2

Δ S ,它在球心 O 点激

无穷多个这样的面元激发的场强大小和Δ S 激发的完全相 们矢量合成的效果怎样呢?这里我们要大胆地预见——由于 的对称性,Σ E ix = Σ E iy = 0 ,最后的Σ E = Σ Ez ,所以先 Δ Ez = Δ Ecosθ = k 所以 Σ Ez =
??S cos? , 而且Δ Scosθ 为面元在 xoy R2
?

同, 但方向各不相同, 它 由于在 x 方向、 y 方向上 求 平面的投影,设为Δ S′

?

k? Σ Δ S′ R2

而 Σ Δ S′= π R2 【答案】E = kπ σ ,方向垂直边界线所在的平面。 〖学员思考〗如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷,面密度仍为?,那么,球心处的场强又是多少?

〖推荐解法〗将半球面看成 4 个 球面,每个 球面在 x、y、z 三个方向上分量均为 z 两个方向上的分量,因此ΣE = ΣEx … 〖答案〗大小为 kπ?,方向沿 x 轴方向(由带正电的一方指向带负电的一方) 。

1 8

1 8

1 kπ?,能够对称抵消的将是 y、 4

【物理情形 2】有一个均匀的带电球体,球心在 O 点,半径为 R ,电荷体密度为 ρ ,球体内有一个球形空腔,空腔球 心在 O′点,半径为 R′, OO? = a ,如图 7-7 所示,试求空腔中各点的场强。 【模型分析】这里涉及两个知识的应用:一是均匀带电球体的场强定式(它也是来自叠加原理,这里具体用到的是球体 内部的结论,即“剥皮法则” ) ,二是填补法。 将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电(电荷 合,对于空腔中任意一点 P ,设 OP = r1 , O?P = r2 ,则
4 ? ?r13 E1 = k 3 2 r1

体密度相等) 的小球的集 大球激发的场强为

=

4 kρ π r1 ,方向由 O 指向 P 3

“小球”激发的场强为
4 ? ?r23 E2 = k 3 2 r2

=

4 kρ π r2 ,方向由 P 指向 O′ 3

E1 和 E2 的矢量合成遵从平行四边形法则, Σ E 的方向如图。 又由于矢量三角形 PE1Σ E 和空间位置三角形 OP O′是相似的, Σ E 的大小和方向就不难确定了。 【答案】恒为 kρ π a ,方向均沿 O → O′,空腔里的电场是匀强电场。 〖学员思考〗如果在模型 2 中的 OO′连线上 O′一侧距离 O 为 b(b>R)的地方放一个电量为 q 的点电荷,它受到的电 场力将为多大? 〖解说〗上面解法的按部就班应用… 〖答〗 πkρq?
4 3 4 3

R3 R?3 ? ? 。 2 b (b ? a ) 2

二、电势、电量与电场力的功 【物理情形 1】如图 7-8 所示,半径为 R 的圆环均匀带电,电荷线 过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点, PO = r ,以无穷远为参考点,试 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一 形成的电势 Δ U=k 环共有
??L R2 ? r2

密度为λ ,圆心在 O 点, 求 P 点的电势 UP 。 个元段Δ L ,它在 P 点

2?R 段, 各段在 P 点形成的电势相同, 而且它们是标量叠加。 ?L

【答案】UP =

2?k?R R2 ? r2

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量 Q ,则 UP 的结论为多少?如果这个总电量的分布不是均匀的,结论会改变吗? 〖答〗UP =
kQ R2 ? r2

;结论不会改变。

〖再思考〗将环换成半径为 R 的薄球壳,总电量仍为 Q ,试问: (1)当电量均匀分布时,球心电势为多少?球内(包括 表面)各点电势为多少?(2)当电量不均匀分布时,球心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少?

〖解说〗 (1)球心电势的求解从略; 球内任一点的求解参看图 7-5 ΔU1 = k
r ?? ? r12 ??S1 ? = k 〃 = k?ΔΩ 1 cos ? cos? r1 r1 r2 cos ? r1 ? r2 cos ?

ΔU2 = k?ΔΩ

它们代数叠加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = k?ΔΩ 而 r1 + r2 = 2Rcosα 所以 ΔU = 2Rk?ΔΩ 所有面元形成电势的叠加 Σ U = 2Rk?Σ ΔΩ

注意:一个完整球面的Σ ΔΩ = 4π(单位:球面度 sr) ,但作为对顶的锥角,Σ ΔΩ只能是 2π ,所以 —— Σ U = 4πRk?= k
Q R

(2)球心电势的求解和〖思考〗相同; 球内任一点的电势求解可以从(1)问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗 (1)球心、球内任一点的电势均为 k
Q R

; (2)球心电势仍为 k

Q R

,但其它各点的电势将随电量的分布情况的不

同而不同(内部不再是等势体,球面不再是等势面) 。 【相关应用】如图 7-9 所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别 量+q ,现在其内部距球心为 r 的地方放一个电量为+Q 的点电荷,试 【解析】由于静电感应,球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 电势、点电荷形成电势的合效果。 根据静电感应的尝试,内壁的电荷量为-Q ,外壁的电荷量为 是不均匀的, 根据上面的结论, 其在球心形成的电势仍可以应用定式, 【答案】Uo = k
Q Q Q?q - k +k 。 r R1 R2

为 R1 和 R2 ,带有净电 求球心处的电势。 心电势是两个球壳形成

+Q+q , 虽然内壁的带电 所以?

〖反馈练习〗如图 7-10 所示,两个极薄的同心导体球壳 A 和 B,半径分别为 RA 和 RB ,现让 A 壳接地,而在 B 壳的外部 距球心 d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求: (1)A 球壳的感应电荷量; (2)外球壳的电势。 〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形,B 壳将形成图 有净电量) ,A 壳的情形未画出(有净电量) ,它们的感应电荷分 此外,我们还要用到一个重要的常识:接地导体(A 壳)的 是,这里的“为零”是一个合效果 ,它是点电荷 q 、A 壳、B 壳 ... 在时 在 A 中形成的的电势的代数和,所以,当我们以球心 O 点 .. UO = k
q d

示的感应电荷分布 (但没 布都是不均匀的。 电势为零。 但值得注意的 (带同样电荷时) 单独存 ... 为对象,有

+ k

QA RA

+ k

QB RB

= 0

QB 应指 B 球壳上的净电荷量,故 QB = 0 所以 QA = -
RA q d

☆学员讨论:A 壳的各处电势均为零,我们的方程能不能针对 A 壳表面上的某点去列?(答:不能,非均匀带电球壳的 球心以外的点不能应用定式! ) 基于刚才的讨论,求 B 的电势时也只能求 B 的球心的电势(独立的 B 壳是等势体,球心电势即为所求)—— UB = k
q d

+ k

QA RB
RA q R q ; (2)UB = k (1- A ) 。 d d RB

〖答〗 (1)QA = -

【物理情形 2】图 7-11 中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒,每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体 棒时完全相同。点 A 是 Δabc 的中心,点 B 则与 A 相对 bc 棒对称,且已测得它们的电势分别为 UA 和 UB 。试问:若将 ab 棒取走,A、B 两点的电势将变为多少? 【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根 前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加,也具有 绍另一种求电势的方法。 每根细棒的电荷分布虽然复杂,但相对各自的中点必 的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着:①三棒 同 (可设为 U1) ; ②ab 棒、 ac 棒对 B 点的电势贡献相同 (可 B 两点的贡献相同(为 U1) 。 所以,取走 ab 前 3U1 = UA 2U2 + U1 = UB 取走 ab 后,因三棒是绝缘体,电荷分布不变,故电势贡献不变,所以 UA′= 2U1 UB′= U1 + U2 【答案】UA′=
2 1 1 UA ;UB′= UA + UB 。 3 6 2

细棒也没有构成环形, 故 相当的困难。 所以这里介

然是对称的, 而且三根棒 对 A 点的电势贡献都相 设为 U2) ;③bc 棒对 A、

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成,各导体板带电且电势分别为 U1 、U2 、U3 和 U4 ,则盒子中心 点 O 的电势 U 等于多少? 〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对 O 点具有对称性,但电量各不相同,因此对 O 点的电势贡献也不相同,所以应该 想一点办法—— 我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观:先将每一块导体板复制三块,作成一个正四面体盒子,然后将这四个 盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中,每个壁的电量将是完全相同的(为原来四块板的电 量之和) 、电势也完全相同(为 U1 + U2 + U3 + U4) ,新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体,故新盒子 的中心电势为 U′= U1 + U2 + U3 + U4 最后回到原来的单层盒子,中心电势必为 U = 〖答〗U =
1 (U1 + U2 + U3 + U4) 。 4 1 U′ 4

☆学员讨论:刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形 2”?(答:不行,因为三角形各边上电势虽然相等,但中点

的电势和边上的并不相等。 ) 〖反馈练习〗电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面半径为 R ,CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线,如图 7-12 所示。 P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点,已知 P 点的电势为 UP ,试求 Q 点的电势 UQ 。 〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成 外层均匀地带上电量为 q 的电荷,如图 7-12 所示。 从电量的角度看,右半球面可以看作不存在,故这 何改变。 而换一个角度看,P、Q 的电势可以看成是两者的叠 整球面;②带电量为-q 的半球面。 考查 P 点,UP = k
2q + U 半球面 R

完整球面,并令右边内、

时 P、Q 的电势不会有任

加:①带电量为 2q 的完

其中 U 半球面显然和为填补时 Q 点的电势大小相等、符号相反,即 U 半球面= -UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ = k
2q - UP 。 R
?

【物理情形 3】如图 7-13 所示,A、B 两点相距 2L ,圆弧 OCD 是以 B 为圆心、L 为半径的半圆。A 处放有电量为 q 的 电荷,B 处放有电量为-q 的点电荷。试问: (1)将单位正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点,电场力对它做了多少功?(2)将 单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到无穷远处去, 【模型分析】电势叠加和关系 WAB = q(UA - UO = k UD = k
q L
?

电场力对它做多少功? UB) = qUAB 的基本应用。

+k

?q =0 L

q ?q 2 kq +k = - 3L L 3L

U∞ = 0 再用功与电势的关系即可。 【答案】 (1)
2 kq 2 kq ; (2) 。 3L 3L

【相关应用】在不计重力空间,有 A、B 两个带电小球,电量分别为 q1 和 q2 ,质量分别为 m1 和 m2 ,被固定在相距 L 的两点。试问: (1)若解除 A 球的固定,它能获得的最大动能是多少?(2)若同时解除两球的固定,它们各自的获得的最 大动能是多少?(3)未解除固定时,这个系统的静电势能是多少? 【解说】第(1)问甚间;第(2)问在能量方面类比反冲装置的能量计算,另启用动量守恒关系;第( 3)问是在前两 问基础上得出的必然结论?(这里就回到了一个基本的观念斧正:势能是属于场和场中物体的系统,而非单纯属于场中物体 ——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中,我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。 ) 【答】 (1)k
q1q 2 qq m2 ; (2)Ek1 = k 1 2 r r m1 ? m 2

,Ek2 =

qq qq m1 k 1 2 ; (3)k 1 2 r r m1 ? m 2



〖思考〗设三个点电荷的电量分别为 q1 、q2 和 q3 ,两两相距为 r12 、r23 和 r31 ,则这个点电荷系统的静电势能是多少? 〖解〗略。 〖答〗k(
q1q 2 q 2q3 q 3q1 + + ) 。 r23 r12 r31

〖反馈应用〗 如图 7-14 所示, 三个带同种电荷的相同金属小球,

每个球的质量均为 m 、

电量均为 q ,用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着,系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断,三个球将 开始运动起来,试求中间这个小球的最大速度。 〖解〗设剪断的是 1、3 之间的绳子,动力学分析易知,2 球获得最大动能时,1、2 之间的绳子与 2、3 之间的绳子刚好 应该在一条直线上。而且由动量守恒知,三球不可能有沿绳子方向的速度。设 2 球的速度为 v ,1 球和 3 球的速度为 v′, 则 动量关系 mv + 2m v′= 0 能量关系 3k
q2 L

= 2 k

q2 L

+ k

1 1 q2 2 + mv + 2m v?2 2 2 2L

解以上两式即可的 v 值。 〖答〗v = q
2k 。 3mL

三、电场中的导体和电介质 【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B,面积都是 S ,间距为 d(d 远小于金属板的线度) ,已知 A 板带 净电量+Q1 ,B 板带尽电量+Q2 ,且 Q2<Q1 ,试求: (1)两板内外表面的电量分别是多少; (2)空间各处的场强; (3)两 板间的电势差。 【模型分析】由于静电感应,A、B 两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布(金属板虽然很薄,但内部合场强为 零的结论还是存在的) ;这里应注意金属板“很大”的前提条件,它事 此,可以应用无限大平板的场强定式。 为方便解题,做图 7-15,忽略边缘效应,四个面的电荷分布应是均 密度分别为σ (σ (σ
1 1

实上是指物理无穷大, 因

匀的, 设四个面的电荷面

、σ

2

、σ 3 和σ

4

,显然

+ σ 2)S = Q1 + σ 4)S = Q2
1

3

A 板内部空间场强为零,有 2π k(σ A 板内部空间场强为零,有 2π k(σ 解以上四式易得 σ σ
1

? σ + σ

2

? σ + σ

3

? σ 4)= 0 ? σ 4)= 0

1

2

3

= σ = ?σ

4

=
3

Q1 ? Q 2 2S Q1 ? Q 2 2S
1

2

=

有了四个面的电荷密度,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如 EⅡ =2π k(σ 最后,UAB = EⅡd 【答案】 (1)A 板外侧电量 侧空间场强 2π k 强 2π k

+ σ

2

? σ

3

? σ 4)= 2π k

Q1 ? Q 2 〕 。 S

Q1 ? Q 2 Q ?Q Q ?Q Q ? Q2 、A 板内侧电量 1 2 ,B 板内侧电量? 1 2 、B 板外侧电量 1 ; (2)A 板外 2 2 2 2

Q1 ? Q 2 Q ?Q ,方向垂直 A 板向外,A、B 板之间空间场强 2π k 1 2 ,方向由 A 垂直指向 B,B 板外侧空间场 S S

Q1 ? Q 2 Q ?Q ,方向垂直 B 板向外; (3)A、B 两板的电势差为 2πkd 1 2 ,A 板电势高。 S S

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷,两板的外侧空间场强等于多少?(答:为零。 ) 〖学员讨论〗 (原模型中)作为一个电容器,它的“电量”是多少(答:
Q1 ? Q 2 )?如果在板间充满相对介电常数为 εr 2

的电介质,是否会影响四个面的电荷分布(答:不会)?是否会影响三个空间的场强(答:只会影响Ⅱ空间的场强)?

〖学员讨论〗 (原模型中)我们是否可以求出 A、B 两板之间的静电力?〔答:可以;以 A 为对象,外侧受力 (方向相左) ,内侧受力
Q1 ? Q 2 E 2 k? 〃 Ⅱ (方向向右) ,它们合成即可,结论为 F = Q1Q2 ,排斥力。 〕 2 2 S

E Q1 ? Q 2 〃 Ⅰ 2 2

【模型变换】如图 7-16 所示,一平行板电容器,极板面积为 S ,其上半部为真空,而下半部充满相对介电常数为 εr 的 均匀电介质,当两极板分别带上+Q 和?Q 的电量后,试求: (1)板上自由电荷的分布; (2)两板之间的场 强; (3)介质表面的极化电荷。 【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数,但由于改变了场强,故对电荷的分布情况肯 定有影响。设真空部分电量为 Q1 ,介质部分电量为 Q2 ,显然有 Q1 + Q2 = Q 两板分别为等势体,将电容器看成上下两个电容器的并联,必有 U1 = U2 即
Q1 Q = 2 C1 C2

,即

Q1 S/ 2 4?kd

=

Q2 ?r ? S / 2 4?kd

解以上两式即可得 Q1 和 Q2 。 场强可以根据 E =
U 关系求解,比较常规(上下部分的场强相等) 。 d

上下部分的电量是不等的,但场强居然相等,这怎么解释?从公式的角度看,E = 2πkσ(单面平板) ,当 k 、σ 同时改变, 可以保持 E 不变,但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看,k 的改变正是由于极化电荷的出现所致,也就是说,极 化电荷的存在相当于在真空中 形成了一个新的电场,正是这个电场与自由电荷(在真空中)形成的电场叠加成为 E2 ,所以 .... E2 = 4πk(σ ? σ′)= 4πk(
Q2 Q? ? ) S/ 2 S/ 2

请注意:①这里的 σ′和 Q′是指极化电荷的面密度和总量;② E = 4πkσ 的关系是由两个带电面叠加的合效果。 【答案】 (1)真空部分的电量为
1 ? 8?kQ ? ?1 Q ,介质部分的电量为 r Q ; (2)整个空间的场强均为 ; (3) r Q 。 1 ? ?r 1 ? ?r (1 ? ? r )S ?r ? 1

〖思考应用〗一个带电量为 Q 的金属小球,周围充满相对介电常数为 εr 的均匀电介质,试求与与导体表面接触的介质表 面的极化电荷量。 〖解〗略。 〖答〗Q′=
?r ? 1 Q 。 ?r

四、电容器的相关计算 【物理情形 1】由许多个电容为 C 的电容器组成一个如图 7-17 所示的多级网络,试问: (1)在最后一级的右边并联一个 多大电容 C′,可使整个网络的 A、B 两端电容也为 C′?(2)不接 C′,但无限地增加网络的级数,整个网络 A、B 两端 的总电容是多少? 【模型分析】这是一个练习电容电路简 第(1)问中,未给出具体级数,一般结 数为 1 ,于是
1 1 1 + = 解 C′即可。 C ? C? C C?

化基本事例。 论应适用特殊情形: 令级

第(2)问中,因为“无限” ,所以“无限加一级后仍为无限” ,不难得出方程

1 1 1 + = C C ? C总 C总

【答案】 (1)

5 ?1 5 ?1 C ; (2) C 。 2 2

【相关模型】在图 7-18 所示的电路中,已知 C1 = C2 C5 = C6 = C7 = 2μ F ,C8 = C10 = 3μ F ,试求 A、B 之 【解说】对于既非串联也非并联的电路,需要用到 参见图 7-19,根据三个端点之间的电容等效,容易得出 Δ →Y 型:Ca = Cb = Cc = Y→Δ 型:C1 = C2 = C3 =
C1C2 ? C2C3 ? C3C1 C3

= C3 = C9 = 1μ F ,C4 = 间的等效电容。 一种“Δ →Y 型变换” , 定式——

C1C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C1 C1 C1C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C1 C2
Ca Cc C a ? C b ? Cc Ca C b Ca ? C b ? Cc C b Cc Ca ? C b ? Cc

有了这样的定式后,我们便可以进行如图 化(为了方便,电容不宜引进新的符号表达, 值标示在图中)——

7-20 所示的四步电路简 而是直接将变换后的量

【答】约 2.23μ F 。 【物理情形 2】如图 7-21 所示的电路中,三个电容器完全相同,电源电动势 ε1 = 3.0V ,ε2 = 4.5V,开关 K1 和 K2 接通前 电容器均未带电,试求 K1 和 K2 接通后三个电容器的电压 Uao 、Ubo 和 Uco 各为多少。 【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题,解题的关键是要抓与 o 相连的三块极板(俗 称“孤岛” )的总电量为零。 电量关系:
U ao U ao U ao + + =0 C C C

电势关系:ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco 解以上三式即可。 【答】Uao = 3.5V ,Ubo = 0.5V ,Uco = ?4.0V 。 【伸展应用】如图 7-22 所示,由 n 个单元组成的电容器网络,每一个单元由三个电容器连接而成,其中有两个的电容 为 3C ,另一个的电容为 3C 。以 a、b 为网络的输入端,a′、b′为输出端,今在 a、b 间加一个恒定电压 U ,而在 a′b′ 间接一个电容为 C 的电容器,试求: (1)从第 k 单元输入端算起,后面所有电容器储存的总电能; (2)若把第一单元输出端 与后面断开,再除去电源,并把它的输入端短路,则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少? 【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。 (1)类似“物理情形 1”的计算,可得 C 总 = Ck = C 所以,从输入端 算起 ,第 k 单元后的电压的经验公式为 Uk = ... ..
U 3 k ?1

再算能量储存就不难了。 (2)断开前,可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时,C1 的右 板和 C2 的左板 (或 C2 的下板和 C3 的右板) 容器的相互充电过程 (C3 类比为 “电源” ) 电量关系:Q1′= Q3′ Q2′+ Q3′= 电势关系:
Q 3

形成“孤岛” 。此后,电 满足——

? ? ? Q3 Q Q + 1 = 2 3C 2C 3C
Q 4Q 1 Q2 ,Q2′= ,这样系统的储能就可以用 得出了。 7 21 2 C

从以上三式解得 Q1′= Q3′= 【答】 (1)Ek =

CU 2 CU 2 ; (2) 2 k ?1 63 2?3



〖学员思考〗图 7-23 展示的过程中,始末状态的电容器储能是否一样?(答:不一样;在相互充电的过程中,导线消 耗的焦耳热已不可忽略。 )


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