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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第3篇 三角恒等变换学案 理


第二十八课时

三角恒等变换

课前预习案
考纲要求 1.掌握两角和与差的三角函数公式, 2.掌握二倍角公式; 3.能运用这些公式进行三角化简,求值等有关运算问题. 基础知识梳理 1.两角和与差的三角函数:

sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ?

; ; ; ;cos2

α = =

sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ?
tan(α -β )= = ;tan2α =

; ; . .

tan(α +β )= 2.二倍角公式: sin2α =

3.升幂公式: 1 ? cos 2? ? 降幂公式 cos 派生公式: (1) a sin x ? b cos x ?
2

1 ? cos 2? ?

2

?
2

?

sin 2

?
2

?

tan 2

?
2

?
b a a ? b2
2

a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? , 其中sin ? ?

? ? ? )(1 ? tan? ? tan? ) 。 (2)(sinα ±cosα ) =1±sin2α ; (3) tan? ? tan ? ? tan(
预习自测 1.若 tan α =

a ?b
2

2

, cos ? ?



1 π ,则 tan(α + )=____________. 2 4

2. (2013 课标 1(理) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______. 3.

2 cos10? ? sin 20? 的值是( sin 70?
A.


3 2

1 2

B.

C. 3

D. 2

课堂探究案 典型例题 考点 1 两角和与差的三角函数 【典例 1】 (1) tan(? ? ? ) ? (2)已知 ? , ? ? ?

2 1 , tan(? ? ? ) ? , 求 tan 2? 的值; 5 4

? 3 ? 12 ? 3? ? , ? ? ,sin(? ? ? ) ? ? ,sin(? ? ) ? , 求 cos(? ? ) 的值 4 5 4 13 ? 4 ?

1

【变式 1】 (1) (2013 年重庆(理) ) 4cos50 ? tan 40 ? (
0 0

)

A. 2

B.

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ?1

(2)

3 tan11? ? 3 tan19? ? tan11? tan19? =

【典例 2】已知 tan ?, tan ? 是方程x2 ? 5x ? 6 ? 0的两个实根根, 求 2sin2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ?? ? ? ?的值 .

, cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos 【变式 2】已知 sin ? ? sin ? ? 1 (? ? ?)的值。

考点 2 二倍角公式 【典例 3】 化简下列各式:

? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? ? ?, 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

【变式 3】若 cos?

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 ? x? ? , ? ? x ? ? ,求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

考点 3

三角恒等式的证明

【典例 4】已知 tan( ? + ? )=2tan ? ,求证:3sin ? =sin( ? +2 ? ).

考点 4

综合应用

【典例 5】已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期. (2) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合. 1 ? 2 ? ? π? ? π? 【变式 5】已知 f(x)=?1+ ?sin x-2sin?x+ 4 ?·sin?x- 4 ?. ? tan x? ? ? ? ? (1) 若 tan α =2,求 f(α )的值;

?π π ? (2)若 x∈? , ?,求 f(x)的取值范围. ?12 2 ?
当堂检测 1.已知 x∈(-

π 4 ,0) ,cos x= ,则 tan 2x 等于( 5 2


2

A.

7 24

B.-

7 24

C.

24 7

D.-

24 7

2.若

cos 2? 2 ?? ,则 cos ? ? sin ? 的值为 π 2 sin(? ? ) 4

3.设 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值为____ 2 9 2 3 2 2
课后拓展案 A 组全员必做题

1. (2013 新课标Ⅱ卷(理) )设 ? 为第二象限角,若 tan(? ?

?
4

)?

1 ,则 sin ? ? cos ? ? ________. 2

2. (2013 江西卷(理) )函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为_________.

3. (2013 湖北(理) )将函数 y ?

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得
)

到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6
B 组提高选做题

1 b. 1. (2013 年高考陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2 (1) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (2) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

?? ? 2. (2013 年天津理)已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (1) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (2) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

参考答案 预习自测 1.3 2. ?

2 5 5
3

3.C 典型例题 【典例 1】 (1)

13 56 ; (2) ? . 18 65

【变式 1】 (1)C; (2)1 【典例 2】3 【变式 2】 ?1

? ;. 2 4 【变式 3】 ? . 75
【典例 3】 sin 【典例 4】略 【典例 5】 (1) ? ; (2)最大值为 2 ? 1 ,此时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ?

?
8

, k ? Z} .

【变式 5】 (1)

3 2 ?1 ; (2) [0, ] 5 2

当堂检测 1.D 2.

1 2 239 729
A 组全员必做题

3. ?

1. ? 2. ? 3.B

10 5

B 组提高选做题 1.(1) ? ; (2)最大值为 1,最小值为 ?

1 . 2

2.(1) ? ; (2)最大值为 2 2 ;最小值为 ?2 .

4


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