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河南省示范性高中罗山高中2016届高三数学复习单元过关练:必修五 数列(理科 含解析)


河南省示范性高中罗山高中 2016 届高三数学复习单元过关 练:必修五 数列(理科 含解析)
1.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a52 , a2 ? 1 ,则 a1 ? ( )

A.

1 2

B.

2 2

C. 2


D.2

2.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63 ( ) 3.数列 ?an ? 满足 an ? 4an?1 ? 3 且 a1 ? 0 ,则此数列第 5 项是 A.15 4.已知等比数列 B.255 C.16

)

D.63

2n {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ?a2 n? n?3 ) ,则当 n ? 1 时, 5 ? 2 (

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? (
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2


2 C. n

D. (n ? 1) )项.

2

5.已知数列 5, 11, 17, 23, 29,?, 则 5 5 是它的第( A.19 B.20 C.21 D.22

6.设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则

2a1 ? a 2 的值为( 2a 3 ? a 4
D.1

)

A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

7.若数列 ?an ? 满足

1 p ? ? 0 , n ? N * , p为非零常数 ,则称数列 ?an ? 为“梦想 an?1 an

数列”。已知正项数列 ? 值是( ) A.2 B.4

?1? 99 ? 为“梦想数列”,且 b1b2b3 ?b99 ? 2 ,则 b8 ? b92 的最小 ? bn ?
D.8 )

C.6

8.数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4 ,则 a2 ? a12 的值为( A.

4 3

B.

8 3

C. 2

D. 4 ( D.8 )

9. 在等比数列{an}中, a2=8, a5=64, , 则公比 q 为 A.2 B.3 C.4 10.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 ,

S S4 ? 4 ,则 6 的值为( S2 S4
D、4



A、

9 4

B、

3 2

C、

5 4

试卷第 1 页,总 3 页

11.在正项等比数列 于( ) A.16

{an }中, a1和a19为方程x2 ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a8 ? a10 ? a12 等
B.32 C.64 D.256 )

12. 在数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , 对于任意自然数 n , 都有 an ?1 ? an ? n ? 2n , 则 a15 ? ( A. 14 ? 2
15

?2

B. 13 ? 214 ? 2

C. 14 ? 215 ? 3

D. 13 ? 215 ? 3

13 . . 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a3 ? 3 , S4 ? 10 , 则 a6 的 最 大 值 为 .

14.已知 f (1,1) ? 1, f (m, n) ? N * (m, n ? N * ) ,且对任意 m, n ? N * 都有 ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ; ② f (m ? 1,1) ? 2 f (m,1) 。 则 f ( 2 0 1 3, 2 0 1 4 的 )值 为 ____________。
2 15. 若等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 81, 且 a4 ? ?1 则数列 ?an ? 的公比是_______. (2x)dx ,

16.设数列 [an } 的通项公式为 an ? 2n ? 3(n ? N * ) ,数列 [bm } 定义如下:对于正整数

m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最大值,则 b2 ?
通项公式 bm ? .

,数列 [bm} 的

17. .若果数列 列

?an ? 的项构成的新数列 ?an?1 ? kan ?是公比为 l 的等比数 列,则相应的数

?an?1 ? lan ? 是公比为 k 的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数
?an ? 中,
a1 ? 3 31 a2 ? 5, 100 ,

列的通项公式,并简称此法为双等比数列法.已知数列



a n ?1 ?

1 1 a n ? n ?1 10 2 .

(1)试利用双等比数列法求数列 (2)求数列

?an ? 的通项公式;

?an ?的前 n 项和 S n .

18 . (本小题满分 12 分)设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 ? 4 ,

a4a5a6 ? 212 .
(1)求首项 a1 和公比 q 的值; (2)若 Sn ? 210 ? 1,求 n 的值.

试卷第 2 页,总 3 页

19.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n

.

(1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ;(2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. 20.数列 ?an ? 中, an ?

9n 2 ? 9n ? 2 . 9n 2 ? 1

⑴求这个数列的第 10 项; ⑵

99 是否为该数列的项,为什么? 100

⑶求证: an ? (0,1) ; ⑷在区间 ? ,

?1 2? ? 内有无数列的项,若有,有几项?若无,说明理由. ?3 3?
an ?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立,则 an ? a1 ? qn?1 对 n ? N * an

21.对于正项数列 {an } ,若 也恒成立是真命题.

( 1 ) 若 a1 ? 1 , an ? 0 , 且

an ?1 1 , 求 证 : 数 列 {an } 前 n 项 和 ? 3c (c ? , c ? 1) an 3

1? ( 3 cn ) Sn ? ; 1 ? 3c
(2)若 x1 ? 4 , xn ?

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

22.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn 为数列{an}的前 n 项和. 3 (1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数 n 都有 Sn3=(Sn) 成立,求数列{an}的通项 公式; (2)对任意正整数 n,从集合{a1,a2,?,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经 过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1,a2,?,an 一 起恰好是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求 a1,a2 的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式.

试卷第 3 页,总 3 页

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:设公比为 q ,则由 a3 ? a9 ? 2a52 可得 a1q2 ? a1q8 ? 2(a1q4 )2 即 a12 q10 ? 2a12 q8 , 因 为 a1 ? 0 ,q ? 0, 从 而 q 2 ? 2 , 求 解 得 q ?

2 , 又 因 为 a2 ? a1q ? 1 , 所 以

a1 ?

1 1 2 ,选 B. ? ? q 2 2

考点:等比数列的通项公式. 2.C 【解析】根据等差数列性质及求和公式得: S7 ? 故选 C 3. B 【 解 析 】 由 an ? 4an?1 ? 3 且 a1 ? 0 ,得 a2 ? 3, a3 ? 15, a4 ? 63, a5 ? 255 . 4.C 【解析】 考点:等比数列及对数运算 由

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7 ?14 ? ? ? 49. 2 2 2

a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 及数列 {a } 为等比数列, 2 可得 an 又 an ? 0 , 所以 an ? 2 n , ? 2 2n , n

则 log2 a1 ? log2 a3 ? ?? log2 a2n?1 ? log2 (a1 a3 ?a2n?1 ) ? log2 21?3???( 2n?1)

? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)

?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2

点评:此题为等比数列与函数结合的典型题型,表面上看有很大的计算量,实际上只要掌握 等比数列的性质及对数计算公式便可以很快解决. 5.C 【解析】 试题分析:观察式子,其中根式里面的数字为以 6 为公差的等差数列.而

6 ? n ? 21 ,所以答案为 C. 5 5 ? 125 ?125 ? 5 ? (n ?1)?
考点:等差数列 6.A 【解析】将 a2=a1× 2,a3=a1× 22,a4=a1× 23 代入求解. 7.B 【解析】

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第 4 页

试题分析:依题意可得 bn?1 ? qbn ,则数列 ?bn ? 为等比数列。又 b1b2b3 ?b99 ? 299 ? b5099 , 则 b50 ? 2 。b8 ? b92 ? 2 b8 ? b92 ? 2b50 ? 4 ,当且仅当 b8 ? b92 即该数列为常数列时取等号. 考点:1.新定义;2.等比数列的性质;3.基本不等式. 8.B 【解析】 试题分析:由等差数列的性质知 a1 ? a7 ? a13 ? 3a7 ? 4 ,a7 ?

4 8 ,所以 a2 ? a12 ? 2a4 ? . 3 3

考点:等差数列的性质. 9.A 3 【解析】因为在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q =8,q=2,那么可知公比 q 为 2, 选 A. 10.A 【解析】略 11.C 【解析】略 12.D 【解析】 试题分析: 因为 an ?1 ? an ? n ? 2n ,所以有:

a2 ? a1 ? 1? 21 ,
a3 ? a2 ? 2 ? 22 , a4 ? a3 ? 3 ? 23 ,
?

an?1 ? an?2 ? (n ? 2) ? 2 n?2 , an ? an?1 ? (n ? 1) ? 2 n?1 ,
累加得: an ? a1 ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?1 ,①

2an ? 2a1 ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ,②
由①-②得: ? an ? a1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 1) ? 2n ,

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ? (2 ? n) ? 2 n ? 2 1? 2

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? an ? (n ? 2) ? 2n ? 3. ? a15 ? 13? 215 ? 3.
故选 D. 考点:数列递推式. 13. 6 【解析】略 14. 22012 ? 4026 【解析】 试题分析:

f (2013 ,2014 ) ? f (2013 ,2013 ) ? 2 ? f (2013 ,2012 ) ? 2 ? 2 ? f (2013 ,2011 ) ? 2 ? 3 ? ? ? f (2013 ,1) ? 2 ? 2013

f (2013 ,1) ? 2 f (2012 ,1) ? 22 f (2011 ,1) ? ? ? 22012 f (1,1) f (2
1 . 3
2 ,2 0) ? 20 1 ?4 0 1 . 3 0 14







22

6

考点:抽象数列. 15.

【解析】
2 2 试题分析: a4 ? ?1 (2 x)dx ? x2 |1 ? 3 ,又∵等比数列 {an } ,∴ q3 ?

a4 1 1 ? ?q? . a1 27 3

考点:1.定积分的计算;2.等比数列基本量的计算.

?m ? 3 ? 2 , m是奇数 ? 16. 2, bm ? ? ? m ? 2 , m是偶数 ? ? 2
【解析】 试题分析:∵对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最大值, ∴2n-3≤2 解得 n ? 则 b2 ? 2 ; 设 an ? m ,则 2n ? 3 ? m ? n ?

5 ,最大的整数为 2, 2

m?3 2 m?3 ] (其中[x]表示不超过 x 的最大整数) ; 2
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所以,满足 an ? m 的所有 n 中的最大值 bm ? [

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?m ? 3 , m是奇数 ? ? 2 故 bm ? ? ? m ? 2 , m是偶数 ? ? 2 ?m ? 3 , m是奇数 ? ? 2 故答案为:2, bm ? ? . m ? 2 ? , m是偶数 ? ? 2
考点:1.数列的函数特性;2.数列的应用.

17.解: (1)有条件知: 列,

a n ?1 ?

1 ? ? 1 1 1 a n ? n ?1 ?a n ?1 ? a n ? 10 ? 是公比为 2 的等比数 10 2 ,①所以 ?

1 ? ? 1 1 1 a 2 ? a1 ? ?a n ?1 ? a n ? 2 ? 是以首项为 2 100 ,公比为 10 的等比数列, 故?
a n ?1 ? 1 1 a n ? ( ) n ?1 2 10 ,② 5 1 1 ( n ?1 ? n ?1 ) 2 2 10 。

所以:

由①、②得

an ?

(2)

Sn ?

5? 1 1 1 1 1 1 ? 11 1 1 5 1 ( ? 3 ? ? ? n?1 ) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n?1 )? ? ? ? n ? ? n ? 2? 4 2 4 2 2 10 10 10 ? 9 36 10

【解析】略 18. (1) a1 ? 1, q ? 2 ; (2) n ? 10 【解析】
3 试题分析: (1) 根据题意利用等比数列的性质 a4a5a6 ? a5 将条件进行化简, 进一步求得 a1 , q

的值; (2)根据等比数列的求和公式列出关于 n 的方程,进一步求得 n 的值,得到结果.
3 试题解析: (1)? a4a5a6 ? a5 ? 212 ? a5 ? 24 ? 16(a5 ? 0) ,



a5 ? q2 ? 4 ? q ? 2 , a3

解得 a1 ? 1 .

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(2)由 Sn ? 210 ? 1,得: Sn ? ∴ 2n ? 1 ? 210 ? 1 ? 2n ? 210

a1 (q n ? 1) ? 2n ? 1 q ?1

∴ n ? 10 . 考点:1.等比数列的性质;2.等比数列的通项公式;3,。等比数列的前 n 项和公式. 19. (1)a1=-1 或 a1=2; (2)-5<a1<2. 【解析】 试题分析: (1)由公差 d=1, a 3 可用 d 与 a1 表示,又 1, a1 , a3 成等比数列,利用等比中项关 系式可列出关于 a1 的方程即可求解; (2) 由 S5 ? a1a9 其中 S5 及 a9 可用 a1 表示,S5 ? a1a9 可 化为关于 a1 的不等关系即可求其范围. 试题解析: (1)∵等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,∴a1 =1×(a1+2), 2 ∴a1 -a1-2=0 ∴a1=-1 或 a1=2; 2 2 (2)∵等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,∴5a1+10>a1 +8a1;∴a1 +3a1-10<0 ∴-5<a1<2. 考点: 等差数列的通项公式, 等比中项关系式, 等差数列前 n 项和公式, 解一元二次不等式, 化归思想. 20.⑴ a10 ? 数列的项 【解析】
2

28 99 ?1 2? ⑵ 不是该数列的项⑶证明略⑷当且仅当 n ? 2 时,在区间 ? , ? 内有 31 100 ?3 3?

9n 2 ? 9n ? 2 3n ? 2 28 ? ⑴? a n ? ,? a10 ? ; 2 31 9n ? 1 3n ? 1
3n ? 2 99 99 ? ? 3n ? 299 ,无整数解,? 不是该数列的项. 3n ? 1 100 100 3n ? 2 3 3 ?1? ? 1 , an ? (0,1) ⑶? a n ? , n ? N ? ,? 0 ? 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 1 2 1 3n ? 2 2 ? ⑷由 ? a n ? ,得 ? 3 3 3 3n ? 1 3
⑵令 an ? ?2 ?

?3n ? 1 ? 9n ? 6 7 8 ?1 2? ? ? n ? ,? 当且仅当 n ? 2 时,在区间 ? , ? 内有数列的项. ?? 6 3 ?3 3? ?9n ? 6 ? 6n ? 2
21. (1)证明见解析; (2)证明见解析. 【解析】

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试题分析: (1)根据题中定义,结合

an ?1 1 ? 3c(c ? , c ? 1) 得到 an ? a1 ? (3c) n?1 ,再利用等 an 3
2 xn ?1 ? 3 ,进一 3

比数列的求和公式进行求和证明; (2)利用分子有理化化简得到 xn ? 3 ?
n ?1 步推得 xn ? 3 ? ( ) x1 ? 3 ,再利用等比数列的求和公式进行证明.

2 3

试题解析: (1) ? 分

an?1 n ?1 ? 3c,? an ? a1 ? ?3c ? , an
n ?1

2

? a2 ? 3c, a3 ? 9c 2 ,? an ? ? 3c ?


n ?1

4分 , 6分

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? 3c ? 9c 2 ? ? 3c ?

1 ? ? 3c ? ; ? Sn ? 1 ? 3c
n

7分

(2) x n ? 3 ? 分

2 xn ?1 ? 3 ? 3 ?

?

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn ?1 ? 3 ? 3

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 2 xn ?1 ? 3 ? 3

, 10

? xn ? 3 ?

2 xn ?1 ? 3 , 3
n ?1

11 分

? 2? ? xn ? 3 ? x1 ? 3 ? ? ? ? 3?
?2? ? xn ? 3 ? ? ? ?3?
n ?1



12 分

13 分
n ?1

?2? ?3 ? ? ? ?3?

n ?1

? 2? ? xn ? 3 ? ? ? ? 3?

.

考点:1.新定义型题目;2.等比数列;3.放缩法. n-1 22. (1)an=1 或 an=2n-1(2)a1=1,a2=3,an=3 3 【解析】(1)设无穷等差数列{an}的公差为 d,因为 Sn3=(Sn) 对任意正整数 n 都成立,所以 分别取 n=1,n=2 时,则有: ?
3 ? ?a1=a1, 3 ? ?8a1+28d=(2a1+d ) .

因为数列{an}的各项均为正整数,所以 d≥0. 可得 a1=1,d=0 或 d=2.(4 分) 3 当 a1=1,d=0 时,an=1,Sn3=(Sn) 成立;
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当 a1=1,d=2 时,Sn=n ,所以 Sn3=(Sn) . 因此,共有 2 个无穷等差数列满足条件,通项公式为 an=1 或 an=2n-1.(6 分) (2)(ⅰ)记 An={1,2,?,Sn},显然 a1=S1=1.(7 分) 对于 S2=a1+a2=1+a2,有 A2={1,2,?,Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4}, 故 1+a2=4,所以 a2=3.(9 分) (ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,?,an}按上述规则,共产生 Sn 个正整数.(10 分) 而集合{a1,a2,?,an,an+1}按上述规则产生的 Sn+1 个正整数中,除 1,2,?,Sn 这 Sn 个正 整数外,还有 an-1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,?,Sn),共 2Sn+1 个数. 所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.(12 分) 又 Sn+1+

2

3

1 1 1? 1 ? n-1 1 1 ? ? n =3 ? S n ? ? ,所以 Sn= ? S1 ? ? ·3 - = ·3 - .(14 分) 2 2 2 2 2? 2? ? ? 1 1 ?1 1 ? n-1 n ·3 - - ? 3n ?1 ? ? =3 .(15 分) 2 2 ?2 2?

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=
n-1

而 a1=1 也满足 an=3 . n-1 所以,数列{an}的通项公式是 an=3 .(16 分)

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