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宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第四次模拟考试试题 理


宁夏六盘山高级中学 2016 届高三年级第四次模拟考试试卷 理科数学
分值:150 分 时间:120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡 一并交回。第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它题为必考题。考生 作答时,将答案答在答 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第I卷 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 设集合 A ? ?? 1,0,1,2,3 ?, B ? {x | x ? 2} ,则 A ? B ? ( A. ) D.

?? 1,0,1 ?

B. ?0,1

?

C.

?? 2,?1,0,1,2 ?

?? 1,0,1,2 ?


2.已知复数 z1 ? 2 ? i , z 2 ? a ? 2i ( i 为虚数单位, a ? R ),若 z1 ? z 2 ? R ,则 a ? ( A.1 B.4 ) C.
2

C. ? 1

D. ? 4

1 3.已知 sin ? ? ,则 cos 2? ? ( 3 7 7 A. B. ? 16 16
n

7 9


D. ?

7 9

4. 二项式 ?x ? 1? n ? N ? 的展开式中 x 项的系数为 15 ,则 n ? ( A.4 B.5 C.6

?

?

D. 7

5. 设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? 8a5 ? 0 ,则 A.

S8 ?( S4



1 2

B.

17 16

C.2

D.17

6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记 A={两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为 4},则 P(B∣A)=( ) A.

1 12

B.

1 4

C.

2 3

D.

2 9
2

7. 命题 p : ?? ? R,sin(? ? ? ) ? cos ? ; 命题 q : "0 ? a ? 4" 是”关于 x 的不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R " 的充分必要条件,则下面结论正确的是( A. p 是假命题 B. q 是真命题 ) D. " p ? q " 是假命题 4 1 3
1

C. " p ? q " 是假命题

4

8.一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为( A. 33 B. 17 C. 41 D. 42



9. 将向量 OA ? ?1,1? 绕原点 O 逆时针方向旋转 60? 得到 OB , 则 OB ? ( )

?1? 3 1? 3 ? ? A. ? , ? 2 ? 2 ? ? ? ?1? 3 ?1 ? 3 ? ? C. ? , ? ? 2 2 ? ?
2

?1? 3 1? 3 ? ? B. ? , ? 2 ? 2 ? ? ? ?1? 3 ?1? 3 ? ? D. ? , ? ? 2 2 ? ?

2 10.已知圆的方程为 x ? ? y ? 1? ? 4 ,若过点 P ?1, ? 的直线 l 与此圆交于 A,B 两点,圆心为 C,

? 1? ? 2?

则当 ?ACB 最小时,直线 l 的方程为( A. 4 x ? 2 y ? 3 ? 0

) C. 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

B. x ? 2 y ? 2 ? 0

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 11 .已知变量 x, y 满足 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? y ( 其中 ? y ? 1 ? 0, ?
a ? 0 )仅在点(1,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为 ( ) 1 1 1 1 A. (0, 2) B. (0, ) C. (0, ) D. ( , ) 2 3 3 2 1 n n 12.已知数列满足, a1 ? 1, a 2 ? ,且 3 ? ?? 1? an?2 ? 2an ? 2 ?? 1? ? 1 ? 0, n ? N ? ,记 T2 n 为数 2

?

?

?

?

列 ?an ? 的前 2 n 项和,数列 ?bn ? 是首项和公比都是 2 的等比数列,则使不等式 ? ? T2 n ?

? ?

1 bn

? 1 ? ? ? b ? 1成 ? n

立的最小整数 n 为( A. 7

) D. 4

B. 6 C. 5 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.当 x ? 2 时,右面的程序运行的结果是 .

14.在四面体 ABCD 中, AB, AC, AD 两两垂直,且 AB ? 3 ,

i=1 s=0 WHILE i<=4 s=s*x+1
2

AD ? 2 , AC ? 5 ,则该四面体的外接球的表面积为
2 2

.

i=i+1 WEND PRINT s END

15.椭圆 C :

x y y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,双曲线 x 2 ? ? 1的 2 a b 3

一条渐近线与椭圆 C 交于 A, B 两点,且 AF ? BF ,则椭圆 C 的离心率为 _____.

2

16. 对于函数 f ( x ) 给出定义:设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方 程 f ??( x) ? 0 有 实 数 解 x0 , 则 称 点 ( x0 , f ( x0 )) 为 函 数 y ? f ( x) 的 “ 拐 点 ” . 某 同 学 经 过 探究发现:任何一个三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 都有“拐点”; 任何一个三次函数都

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据上面探究 3 2 12 1 2 3 2016 )? f( )? f( ) ??? f ( ) = 的结果,计算 f( . 2017 2017 2017 2017
有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数 f ( x) ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分)函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ??? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的部分图像如图所示. y 2 (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2, f ? A? ? 1 ,求 sin B . O

11? 12
x

18.(本小题满分 12 分)某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下: 甲运动员得分:30,27,9,14,33,25,21,12,36,23, 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39 (Ⅰ)根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图,并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及 稳定程度;(不要求计算出具体数值,给出结论即可) (Ⅱ)若从甲运动员的十次比赛的得分中选出 2 个得分,记选出的得分超过 23 分的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 19.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1 D B A
?

? 6

B1 C1

AC ? CC1 ? 2, AB ? BC, D 是 BA1 上的一点,且 AD ? 平面 A1BC.
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ABB1 A1;

C

(Ⅱ)在 BB1 棱上是否存在一点 E,使平面 AEC 与平面的 ABB1 A 1 夹角等于 60 ?若存在,试确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由. 20 .(本小题满分 12 分) 动点 P 在抛物线 x 2 =2 y 上,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q ,设

???? ? ??? ? 2PM ? PQ.
(Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 设点 N (?4, 4) ,过点 H (4,5) 的直线交轨迹 E 于 A, B(不同于点 N ) 两点, 设直线 NA, NB 的 斜率分别为 k1 , k2 ,求 | k1 ? k2 | 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x
3

(Ⅰ) 判断函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性; (Ⅱ) 若 f ( x ) ?

k 恒成立, 求整数 k 的最大值; x ?1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 E 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲 F 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 是圆 O 的直径, D BC ? CD , AD 的延长线与 BC 的延长线交于点 E ,过 C 作 CF ? AE , 垂足为点 F . A (Ⅰ)证明: CF 是圆 O 的切线; O (Ⅱ)若 BC ? 4 , AE ? 9 ,求 CF 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

C
B

? x ? 3 cos ? , ? (? 为参数 ) . ? ? y ? sin ?
? ) ? 2. 4

以点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (Ⅰ)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程; (Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a . (Ⅰ)当 a ? 7 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ≥ 3 的解集是 R,求实数 a 的最大值.

?

?

4

宁夏六盘山高级中学 2016 届高三年级第四次模拟考试答案 学科:理科数学 分值:150 分时间:120 分钟 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分。) 题 号 答 案 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

C

C

B

D

C

C

A

A

B

D

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分。) 13、 15 14、 12? 15、

3 ?1

16、 2016

三、 解答题 17、解:由图知:

?

2?

3T 11? ? 3? ? ? ? ,? T ? ? , 4 12 6 4

???2分 ???4分

?

? ? , ? ? 2 ,? f ?x? ? 2 sin?2 x ? ? ? ,

? ? ?? ? ?? ? ? 点 ? ,2 ? 在函数图象上,? sin ? ? ? ? ? 1, ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 3 2 ?3 ? ?6 ?
? 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
6

,? f ?x ? ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??
? 6?

???6分

?? ?? 1 ? ? ? f ? A? ? 2 sin? 2 A ? ? ? 1 ,? sin ? 2 A ? ? ? , 6? 2 6? ? ?
?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13? ? 5? ? ,? 2 A ? ? ,A? 6 6 6 3
2

???8分
1 ? 2 ? 7 , BC ? 7 , ???10分 2

在 ?ABC 中,由余弦定理得, BC ? 9 ? 4 ? 2 ? 3 ?

由正弦定理得:

7 sin

?
3

?

21 2 . ,故 sin B ? 7 sin B

???12分

18、解: (12分) (Ⅰ)? AD ? 平面A1 BC,? AD ? BC.

? ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,? AA1 ? 平面ABC. ? AA1 ? BC , ? AD ? AA1 ? A,AD、AA1 ? 平面ABB1 A1 ,? BC ? 平面ABB1 A1 . ?? 4分
(Ⅱ)? BC ? 平面ABB 1A 1 ,? BC ? AB ,? BB 1 ? AB ,? BB 1 ? BC ,
5

于是可建如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz , ??5分

? ?ABC 是等腰直角三角形, 且斜边 AC ? 2 , ? AB ? BC ? 2 ,A 2,0,0 , B?0,0,0?, C 0, 2,0
设存在点 E ?0,0, a ??0 ? a ? 2? 满足题意,由知 平面ABB1 A1 的一个法向量 BC ? 0, 2,0 ,

?

?

?

?

?

?

?? 7分
设平面 ACE 的法向量为 n ? ?x, y, z ? , 则?

?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? 2 x ? az ? 0

, 令z ?

得 n ? a, a, 2 ?10分 2,

?

?

由已知得 cos n, BC ?

1 ? , a ? 1 ? E 为棱 BB1 中点时满足题意. ??12分 2 ? 2a 2 ? 2 2

2a

19、(12 分)(Ⅰ)茎叶图

由茎叶图得,乙的平均值大于甲的平均数,甲比乙稳定; (Ⅱ)根据题意 ? 的所有可能取值为 0,1, 2 , 则 P ?? ? 0 ? ?
1 1 C 52 2 C5 C5 5 C 52 2 , , P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? ? 2 2 2 C 10 9 C10 9 C 10 9

?6 分

所以 ? 的分布列为

?

0
2 9

1
5 9

2
2 9
?12 分

P ?? ?
E ?? ? ? 1

20、解:(Ⅰ)设 M ( x, y) ,有 P( x,2 y ) ,将 P 代入 x2 ? 2 y ,得 x2 ? 4 y , 从而点 M 的轨迹 E 的方程为 x2 ? 4 y . 分 (2) 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,联立 ? ----------------4

? y ? k ( x ? 4) ? 5
2

?x ? 4 y ? x1 ? x2 ? 4k y ?4 y ?4 , k2 ? 2 则? ,因为 k1 ? 1 ,所以 x1 ? 4 x2 ? 4 ? x1 x2 ? 16 k ? 20 kx ? 4k ? 1 kx2 ? 4k ? 1 (1 ? 8k )(x1 ? x2 ) | k1 ? k2 |?| 1 ? |?| | x1 ? 4 x2 ? 4 x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

2 ,得 x ? 4kx ? 16k ? 20 ? 0 ,

6

因为 A, B 不同于点 N ,所以 k ? 故 k1 ? k2 的取值范围是 [1,??) . 21、解:(Ⅰ) f ?( x) ?

1 2 ,则 | k1 ? k2 |? ( k ? 2) ? 1 8
----------------12 分

1 x 1 1 [ ? 1 ? ln( x ? 1)] ? ? 2 [ ? ln( x ? 1)] ----------------3 分 2 x x ?1 x x ?1

? x ? 0,? x 2 ? 0,

1 ? 0, ln( x ? 1) ? 0,? f ?( x) ? 0 x ?1

? f ( x)在(0, ??)

上 是 减 函 数

------------- 5 分 (Ⅱ) f ( x) ?

k ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] 恒成立, 即h( x) ? ? k 恒成立 , x ?1 x

即 h( x ) 的最小值大于 k .----------------7 分

x ? 1 ? ln( x ? 1) , ----------------8 分 x2 x ? 0,? g ( x)在(0, ??) 上单调递增, 令 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? 0) ,则 g ?( x) ? x ?1 h?( x ) ?
又 g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,

? g ( x) ? 0 存在唯一实根 a , 且满足 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1) ,----------------10 分
当 x ? a 时, g ( x ) ? 0, h?( x) ? 0; 当 0 ? x ? a 时, g ( x) ? 0, h?( x) ? 0 ∴ h( x ) min ? h ( a ) ?

(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] ? a ? 1 ? (3, 4) , 故正整数 k 的最大值是 3 -----------12 a

分 22、(Ⅰ)证明: 连接 OC , AC , ∵ BC ? CD , ∴ ?CAB ? ?CAD . ∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ OC ? OA . ∴ ?CAB ? ?ACO . ∴ ?CAD ? ?ACO . ∴ AE ∥ OC . ∵ CF ? AE ,∴ CF ? OC . ∴ CF 是圆 O 的切线. ------------- 5 分

E D A F C B

O

? (Ⅱ)解:∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ?ACB ? 90 ,即 AC ? BE .

∵ ?CAB ? ?CAD ,∴ 点 C 为 BE 的中点. ∴ BC ? CE ? CD ? 4 . 由割线定理: EC ? EB ? ED ? EA ,且 AE ? 9 .得 ED ?

32 . 9 16 . 9
CF 的 长 为

在△ CDE 中, CD ? CE , CF ? DE ,则 F 为 DE 的中点.∴ DF ?

? 2 2 2 ?1 6 在 Rt △ CFD 中 , CF ? CD ? DF ? 4 ? ? ? ? ?9?

2

4 65 . ∴ 9

7

4 65 .------------10 分 9
23、(Ⅰ)解:由 ?

? x ? 3 cos ? , x 2 ? ? y 2 ? 1, 得 3 ? ? y ? sin ? ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

由 ? sin(? ? ∴x? y ? 2

? ? ?? ? ) ? 2 ,得 ? ? sin? cos ? cos ? sin ? ? 4 4 4? ?
∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 .

化简得, ? sin ? ? ? cos? ? 2 , 2

------------- 5 分

(Ⅱ)解:由于点 Q 是曲线 C 上的点,则可设点 Q 的坐标为

?

3 cos ? ,sin ? ,

?

点 Q 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 2 2

?? ? 2cos ? ? ? ? ? 2 6? ? ? 2

当 cos ? ? ?

? ?

??

4 ?2 2. ? ? ?1 时, d max ? 6? 2
------------- 10 分

∴ 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . 24、(Ⅰ)解:由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,

① 当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,解得 x ? 4 . ② 当 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? 2 ? x ? 7 ,无解. ③ 当 x ? 1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 解得 x ? ?3 . ∴函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ?3? ? ? 4, ??? . ------------- 5 分 (Ⅱ)解:不等式 f ( x) ? 3 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , ∵ x ?R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3 又不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 解集是 R, ∴ a ? 8 ? 3 ,即 a ? ?5 . ∴ a 的最大值为 ?5 . ------------- 10 分

8


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