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基本不等式的证明


高二数学(必修五)多媒体课件

3.4.1 基本不等式的证明

【问题1】
把一个物体放在天平的一个盘子上, 在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得 物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天 平的两臂长略有不同(其它因素不计),那么 并非实际质量.不过,我们可作第二次测量: 把物体调换到天平的另一盘上,此时称得 物体的质量为b.那么如何合理地表示物体 的质量呢?

问题一:把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一 个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果 天平制造得不准确,天平的两臂长略有不同(其它因素 不计),那么并非实际质量.不过,我们可作第二次测量: 把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为 b.那么如何合理地表示物体的质量呢? a?b 1.猜测: 物体的实际质量应为 2

2.讨论:

3.提示: 应用力学原理求解 4.求解: 5.结论: 物体的实际质量应为

ab

(一)定义新概念

叫做a,b的算术平均数 2.几何平均数: 对于正数a,b,我们把 ab 叫做a,b的算术平均数 (二)提出新问题 【问题2】 两个非负数的算术平均数与几何 平均数之间具有怎样的大小关系呢?

a?b 1.算术平均数: 对于正数a,b,我们把 2

【问题2】 两个非负数的算术平均数与几何 平均数之间具有怎样的大小关系呢? 1.试验: a?b (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2.猜测: ab ? 3.证明:
2

●证明:如果a,b是正数,那么
证法一:

a?b ab ? (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

证明不等式的方法一:比较法 1. 依据: a ? b ? a ? b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0
2.比较法(作差法)的解题步骤:

作差——变形——判断——结论

●证明:如果a,b是正数,那么
证法二:

a?b ab ? (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

证明不等式的方法二:分折法 证明不等式时,有时可以从求证的不 等式出发,分析使这个不等式成立的充分 条件,把证明不等式转化为判定这些充分 条件是否具备的问题,如果能够肯定这些 充分条件都已具备,那么就可以断定原不 等式成立,这种方法通常叫做分析法. 筒单地说就是“执果索因”.

说明:①分析法是“执果索因”, 步步寻求上一步成立的充分条件,它 与综合法是对立统一的两种方法. ②分析法论证“若A则B”这个 命题的模式是:为了证明命题B真, 只需要证明命题B1为真,从而有…… 只需要证明命题B2为真,从而又有…… …… 只需要证明命题A为真 而已知A为真,故B必真

●证明:如果a,b是正数,那么
证法三:

a?b ab ? (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

证明不等式的方法三:综合法 利用某些已经证明过的不等式(如 基本不等式)和不等式的性质推导出所 要证明的不等式成立,这种证明方法通 常叫做综合法 。 筒单地说就是“由因导果”.

证明不等式的方法
(一)比较法—— 作差—变形—判号—结论。
(二)综合法——结合已知条件,再利用熟知的事 实或已经证明过的不等式作为基 础推导出所要求证的不等式。 (三)分析法—— 从求证的不等式出发,寻求使 它成立的充分条件,直至这些 条件都已具备,那么就可以断 定原不等式成立。

(三)定理:如果a,b是正数,那么

a?b ab ? (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

●两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

★定理的变形公式:

a?b 2 (1)ab ? ( ) (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

(2)a ? b ? 2 ab(当且仅当a ? b时取"?"号).
(4)a ? b ? 2ab(当且仅当a ? b时取" ?"号).

a b (3)当ab ? 0时, ? ? 2(当且仅当 a ? b时取" ?"号). b a 2 2

(四)定理的几何解释

“半径不小于半弦”

3

(五)定理的拓广: 1.如果a,b,c是非负数,那么 a?b?c abc ? (当且仅当 a ? b ? c时取" ?"号). 3 三个非负数的算术平均数 不小于它们的几何平均数. 2.如果 a1 , a2 ,? ? ?, an 都是非负数,那么 ? a2 ? ? ? ? ? an a 1 n a1 a2 ? ? ? an ? n (当且仅当a1 ? a2 ? ? ? ? ? an 时取" ?"号).

(一)证明不等式 例1.证明:
1 a ? 2 ? 1(当且仅当 a ? 0时取" ?"号). a ?1
2

【变式1】已知a,b.c是不全相等的实数,证明:

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ac 【变式2】已知a,b.c,d都是正数,证明:
ad ? bc ab ? cd ? ?4 bd ac

(一)证明不等式 例2.证明:若0<x<2,则 3x(6 ? 3x) ? 3
【变式1】若0<x<2,证明: x(6 ? 3x) ? 3

1 【变式2】若x>0,y>0且2x+y=1,证明: xy ? 8

(一)证明不等式 例3.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:
1 1 1 ? ? ?9 a b c

【变式】已知a,b,c都是互不相等的正数, 且abc=1,求证:
1 1 1 a? b? c? ? ? a b c

①教科书第93页习题3.4第1,2,3 ②《学习与评价》第11课时



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