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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第4节三角函数的图像与性质课件


备 高 考

研 考 点

第四节 三角函数的图象与性质
分 层 限 时 跟 踪 练

理 教 材

备高考| 2 个任务 1.考查三角函数的有关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及对 称性). 2.考查借助三角函数的性质求参数的值(或范围).

理教材| 回扣自测 要点梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域

x∈R _____

x∈R ______

π x ∈R 且 x≠2+kπ,k∈Z _____________________

值域

[-1,1] ___________

[-1,1] ___________

R ___

单调性

2kπ- 递增区间是[_________ 2kπ- 递增区间是[_______ π π π,2kπ] ________________ 2,2kπ+2] (k∈Z), ___________(k∈Z),

kπ+ 递减区间是[2 ______ π 3π ___________ 2,2kπ+ 2 ] (k∈Z)

递增区间是 π π (kπ-2,kπ+2) [ 2kπ, ______________ 递减区间是_______ (k∈Z)
2 kπ+π] (k∈Z) ___________

最值 奇偶性 对 称 对称 中心

ymax=1; ymin=-1 奇函数
(kπ,0),k∈Z ________________

ymax=1;
-1 ymin=___

无最大值 和最小值 奇函数
?kπ ? ? ,0?,k∈Z ______________ ?2 ?

偶函数
? π ? ?kπ+ ,0?,k∈Z 2 ? ?______________

性 对称轴 最小正周期

π x=kπ+2,k∈Z _______________

x=kπ,k∈Z _____________

无对称轴 π





[ 必记结论] 1.三角函数的周期性 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T= ,函数 y= |ω | π tan(ωx+φ)的最小正周期为 T= . |ω |

2.三角函数的奇偶性 (1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π ①f(x)为偶函数的充要条件是 φ=2+kπ(k∈Z); ②f(x)为奇函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z). (2)若 f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0),则 ①f(x)为偶函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z); π ②f(x)为奇函数的充要条件是 φ= +kπ(k∈Z). 2

基础自测 1.判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)y=tan x 在整个定义域上是增函数.(
? 3π? (2)y=sin?x+ ?是奇函数.( 2? ?

)

) )

(3)y=ksin x+1(x∈R),则 ymax=k+1.( (4)y=sin|x|是周期函数.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×

π 2.(2014· 全国卷Ⅰ)在函数①y=cos|2x|;②y=|cos x|;③y=cos2x+6;④y
? π? =tan?2x-4?中,最小正周期为 π 的所有函数为( ? ?

)

A.②④ C.①②③

B.①③④ D.①③

【解析】 ①y=cos|2x|=cos 2x,T=π. ②由图象知,函数的周期 T=π. ③T=π. π ④T=2. 综上可知,最小正周期为 π 的所有函数为①②③.
【答案】 C

? π? π 3.已知 ω>0,函数 f(x)=cos?ωx+3?的一条对称轴为 x=3,一个对称中心 ? ? ?π ? 为? ,0?,则 ω 有( ?12 ?

) B.最大值 2 D.最大值 1

A.最小值 2 C.最小值 1

π π T 【解析】 由题意可知3-12≥4,∴T≤π. 2π 2π 又 T= ,∴由 ≤π 可知 ω≥2,故选 A. ω ω
【答案】 A

4.若函数 f(x)=-cos 2x,则 f(x)的一个递增区间为(
? π ? A.?- ,0? ? 4 ? ?π 3π? C.? , ? ?2 4 ? ? π? B.?0, ? ? 2? ?3π ? D.? ,π? ?4 ?
? π? 当 2x∈ 0,π 时,x∈?0,2?. ? ?
? ? ? ? ? ?

)

【解析】

π ∵f(x)=cos 2x 在(0,2)上单调递减, π ∴f(x)=-cos 2x 在(0, )上单调递增. 2 【答案】 B

?π ? 5.函数 y=tan?4-x?的定义域是( ? ? ? ? ? π A.?x?x≠ ,x∈R ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

? ? ? π ? B. x?x≠- ,x∈R 4 ? ? ?

? ? ? 3π C.?x?x≠kπ- 4 ,k∈Z,x∈R ? ? ? ? ? ? 3π ? D. x?x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R 4 ? ? ?

π π 【解析】 由4-x≠2+kπ,k∈Z,得 π x≠-4+kπ,k∈Z.
? ? ? π ? ? 即函数的定义域为 x x≠-4+kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? 3π ?=?x?x≠ +kπ,k∈Z 4 ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ?

【答案】 D

研考点| 梯度提升 考向 1 三角函数的定义域和值域 题型:填空、解答题 基础考点

难度:低 命题指数:★★☆

命题热点:与三角恒等变换交汇考查三角函数值域的求 法.

[自主突破] 1 (1)函数 y= 的定义域为 tan x-1 (2)(2015· 安徽高考)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. ①求 f(x)的最小正周期;
? π? ②求 f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值. ? ?



?tan x-1≠0, ? 【解】 (1)要使函数有意义,必须有? π x≠2+kπ,k∈Z, ? ? ? π ?x≠4+kπ,k∈Z, 即? ?x≠π+kπ,k∈Z. ? 2 故函数的定义域为
? ? π ? π ?x?x≠ +kπ且x≠ +kπ,k∈Z? . 2 ? ? 4 ? ? ? ? π π 【答案】 ?x?x≠4+kπ且x≠2+kπ,k∈Z ? ? ?

? ? ? ? ?

(2)①因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2
? π? sin?2x+ ?+1, 4? ?

2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π. 2 ②由①知,f(x)=
? π? 2sin?2x+ ?+1. 4? ?

? π? π ?π 5π? 当 x∈?0,2?时,2x+4∈?4, 4 ?, ? ? ? ?

?π 5π? 由正弦函数 y=sin x 在? , ?上的图象知, ?4 4 ?

π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2+1; 4 2 8 π 5π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值 0. 4 4 2
? π? 综上,f(x)在?0, ?上的最大值为 ? 2?

2+1,最小值为 0.

[规律总结] 1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线 或三角函数图象来求解. 2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种形式的题目: (1)形如 y=asin x+bcos x+k 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式, 再 求最值(值域); (2)形如 y=asin2x+bsin x+k 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二 次函数求值域(最值); (3)形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数, 可先设 t=sin x±cos x, 化为关于 t 的二次函数求值域(最值).

考向 2 三角函数的单调性

能力考点

题型:选择、填空、解答题 难度:中 命题指数:★★☆ 命题热点:考查三角函数单调区间的求法及应用函数单调性 求参数的范围.

[师生共研] (1)函数 y=|tan x|的单调减区间为 ;

?π ? (2)已知函数 y=sin?3-2x?,求函数在[ -π,0] 上的单调递减区间. ? ?

【解析】 (1)y=|tan x|的图象如图所示:

? π ? 观察图象可知,减区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

【答案】

? π ? ?kπ- ,kπ?,k∈Z 2 ? ?

?π ? ? π? (2)y=sin?3-2x?=-sin?2x-3?. ? ? ? ?

π π π 令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.
?π ? ? π 5π? 所以 x∈R 时,y=sin? -2x?的减区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12? ?3 ? ?

取 k =- 1,0
? π ? ?- ,0?. ? 12 ?

? 7π? 可得函数在 [ - π, 0] 上的单调递减区间为 ?-π,-12? 和 ? ?

[规律总结] 形如 y=Asin(ωx+φ)的函数的单调区间的求法 π (1)代换法:①若 A>0,ω>0,把 ωx+φ 看作是一个整体,由-2+2kπ≤ωx π π 3π +φ≤ +2kπ(k∈Z) 求得函数的增区间,由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z) 求得 2 2 2 函数的减区间.②若 A>0,ω<0,则利用诱导公式先将 ω 的符号化为正,再利 用①的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解. (2)图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间.

[变式训练]
? π? ?π ? 1.已知 ω>0,函数 f(x)=sin?ωx+ ?在? ,π?上是减函数,则 ω 4? ?2 ? ?

的取值范围是(
?1 5? A.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? ? 2?

)
?1 3? B.? , ? ?2 4?

D.(0,2]

?π π π π π π π π? 【解析】 由 <x<π, 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 由题意知? ω+ ,πω+ ? 2 2 4 4 4 4 4? ?2 ?π ? ? 3π 2π π? ??2+2kπ, 2 +2kπ?(k∈Z)且 ≥2×?π-2?, ω ? ? ? ?

?π π π ?2ω+4≥2+2kπ,k∈Z, 则? 且 0<ω≤2, π 3 π ?πω+ ≤ +2kπ,k∈Z, 4 2 ? 1 5 故2≤ω≤4.
【答案】 A

2. (2015· 全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图 341 所示, 则 f(x) 的单调递减区间为( )

图 341
? 1 3? A.?kπ-4,kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? B.?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ?

【解析】

?5 1? 2π 由图象知,周期 T=2?4-4?=2,∴ =2,∴ω=π. ω ? ?

1 π π 由 π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= , 4 2 4
? π? ∴f(x)=cos?πx+4?. ? ?

π 1 3 由 2kπ<πx+4<2kπ+π,得 2k-4<x<2k+4,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为
? 1 3? ?2k- ,2k+ ?,k∈Z.故选 D. 4 4? ?

【答案】 D

考向 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 题型:选择题 难度:中

交汇考点

命题指数:★★☆

命题热点:与三角函数的图象变换交汇考查三角函数的性质.

[ 研· 真题] π (2014· 福建高考)将函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=f(x) 2 的图象,则下列说法正确的是( A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2
? π ? D.y=f(x)的图象关于点?-2,0?对称 ? ?

)

[ 导· 思路] y=sin x 判断奇偶性、对称中 y=cos x → 心、对称轴、求周期 → 选择答案

【解析】 由题意知,f(x)=cos x,所以它是偶函数,A 错;它的周期为 2π,
? π ? B 错;它的对称轴是直线 x=kπ,k∈Z,C 错;它的对称中心是点?kπ+2,0?,k ? ?

∈Z,D 对.
【答案】 D

[ 通· 技法] 1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大或最小值; 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. 2.对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点, 对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否为函数的对称 轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断.

[ 巧· 迁移] ● 迁移一 与恒等变换交汇,考查函数的性质 π 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0, |φ |<2的最小正周期为 π, 且 f( - x)=f(x),则( )
?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ?

? π? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ? π? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ?

【解析】 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) =
? π? 2sin?ωx+φ+4?, ? ?

2π ∵T= =π,∴ω=2. ω π π π 又 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数,∴φ+4=kπ+2,φ=kπ+4,k∈Z.
? ? π? π π π? 又|φ|<2,∴φ=4,∴f(x)= 2· sin?2x+2?= 2cos 2x,易得 f(x)在?0,2?上单 ? ? ? ?

调递减,故选 A.
【答案】 A

● 迁移二 函数的性质与不等式交汇,比较大小 (2015· 安徽高考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小 2π 正周期为 π,当 x= 3 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) )

2π 【解析】 法一:由题意,得 T= =π,∴ω=2, ω ∴f(x)=Asin(2x+φ), 2π 2π 3π 而当 x= 3 时,2× 3 +φ=2kπ+ 2 (k∈Z),
? π π? ∴φ=2kπ+ (k∈Z),∴f(x)=Asin?2x+ ?. 6 6? ?

π π 当 2x+ =2kπ+ (k∈Z), 6 2 π 即 x= +kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值. 6

下面只需判断 2,-2,0 与最近的最大值处的对称轴距离大小,距离越大, 函数值越小, π ? π? 当 k=0 时,x= ,?0- ?≈0.52, 6 ? 6?
? π? ?2- ?≈1.48, 6? ? ? 5π?? 5π ? 当 k=-1 时,x=- 6 ,?-2-?- 6 ??≈0.6, ? ? ??

∴f(2)<f(-2)<f(0).

法二:∵f(x)的最小正周期为 π, ∴f(-2)=f(π-2). 2π 又当 x= 3 时,f(x)取得最小值,
?π 2π? π 故当 x= 时,f(x)取得最大值,? , ?是函数 f(x)的一个递减区间. 6 ?6 3 ?

π 2π 又∵ <π-2<2< , 6 3 ∴f(π-2)>f(2),即 f(-2)>f(2).

π 再比较 0,π-2 与对称轴 x=6距离的大小.
? π? ? π? 5π π 2π ∵?π-2- ?-?0- ?= -2- = -2>0, 6? ? 6? 6 6 3 ?

∴f(0)>f(π-2),即 f(0)>f(-2). 综上,f(0)>f(-2)>f(2).故选 A.
【答案】 A



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