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高中物理竞赛赛模拟卷4含答案


物理竞赛复赛模拟卷

1.μ 子的电量 q=-e(e=1.6×10-19C), 静止质量 m0=100MeV/c2, 静止时的寿命 τ 0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为 h=104m 处有一μ 子以接近于真空中 光速的速度垂直向下运动。 1) 、试问此μ 子至少应有多大总能量才能到达地面? 2) 、若把赤道上空 104m 高度范围内的地球磁场看作匀

强 磁场,磁感应强度 B=10 T,磁场方向与地面平行。试求 具有第 1 问所得能量的μ 子在到达地面时的偏离方向和总 的偏转角。

-4

北 z
B

西

x

O y

2. 热中子能有效地使铀 235 裂变,但裂变时放出的中子能量代谢较高,因 此在核反应堆中石墨作减速剂。若裂变放出的中子动能为 2.2MeV,欲使该中子 慢化为热中子(动能约为 0.025eV) ,问需经过多少次对撞?

3. 半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重

物分别用细绳,AD 和 ACE 悬挂于同一点 A,并处于平衡,如 图 11-205 所示,已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L,不考虑绳的 质量和绳与球的摩擦,试求悬挂圆球的绳 AD 与竖直方向 AB

A ?
T

D

O B M1g

N

C
E

M2g

的夹角θ 。

4. 火车以速度 v1 向前行驶。司机忽然发现,在前方同一轨道上距车为 s 处

有另一辆火车,它沿相同的方向以较小的速度 v2 作匀速运动,于是他立即使车 作匀减速运动,加速度大小为 a,要使两车不致相撞,则 a 应满足的关系式为 _____________________。

5.如图所示,有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器, 将其开口向上竖直放置。在气温为 27℃、气压为 760mmHg、相对湿 度为 75%时,用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。已知水蒸 气的饱合蒸气压为 26.7mmHg,在 0℃时为 4.5mmHg。 (1)若保持温 度不变, 想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠 出现,那么容器至少为多长?(2)若在水蒸气刚开始凝结时固定活 塞,降低容器温度,当温度降至 0℃时,容器内气体压强为多大?

水银 活塞

6.一个静止的竖直放置的玻璃管,长为 H=23cm,粗细均匀,开口向下, 其内有一段长为 h=10cm 的水银柱,把长为 L0=10cm 的空气柱封闭在管的上端。 设外界大气压强 p0=1.0×105Pa,求当管以 20m/s2 的加速度上升时,管中封闭的

气柱长为多少厘米?(取 g=10m/s2,水银密度ρ =1.4×104kg/m3)

7.如图所示,用导热材料制成的两端开口的 U 型管 ABCD,其中 AB 高 h=24cm,CD 高 L2=20cm,截面积分别为 SAB=1cm2,SCD=2cm2,开始时两管均 有高 h=16cm 的水银柱,现用两个橡皮帽将两个管口封闭,打开下 方的阀门 K,用注射器从底部缓慢抽出水银,当其中的一个管内的 A 水银被抽干时立即关闭阀门 K。 (已知大气压强为 p0=75cmHg)
B D

h
K

(1)请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银? (2)另一只管中剩余的水银柱高度为多少?

C

8.如图(a)所示,水平固定的圆筒由足够长粗筒和细 筒相接而成, 筒中有直径不同的两个活塞 A、 B 用一根细绳 相连, 活塞 B 通过水平细绳、 定滑轮与一个质量为 m=2.0kg 的重物 C 连接,A、B 两活塞的横截面积分别为 S1=20cm2,
A

L

L B

(a)

S2=10cm2。当两活塞封闭的空气柱温度为 t=327℃时,两活塞保持静止,此时两 活塞分别与大小圆筒的相接面的距离均为 L, 已知大气压强 p0=1.0×105Pa, 活塞 与筒壁、滑轮与轮轴间的摩擦均可忽略不计,取 g=10m/s2,求: (1)此时筒内两活塞间气柱的压强为多大?
? (2)当筒内气柱的温度缓慢降到 27 C 时,活塞 A 能否向右移动距离 L,

试说明理由。

? (3)当气柱温度降到 27 C 时,筒内气柱的压强为多大?(在整个变化过

程中,A、B 绳子始终有作用力) 。

9. 众所周知,在沙漠中能观察到蜃楼现象,假设在近大地的空

i3 i2

i1

n4 气层中,光速按 c(z)=c (1-az)规律变化,式中 c 为光沿地面的速度, 0 0 n3 n2 z 为离地高度。试问:观察者观察到蜃楼现象时,估计真实景物离 n1
他多远?设观察者身高为 h。

10.如图所示,在内半径为 r、外半径为 R,折射率为 n1 的玻璃管

r

中充满了折射率为 n2 的发光液体,试问,从远处看,当管的厚度消
R

n1 n2

失时,r 和 R 应满足什么条件?

11. 空气中放一个半径为 R、折射率为 n

的玻璃球,两支相距 d<2R 的平行细光束相对 球心对称地射到球上,两支光束与球心共面,

d 2 d 2

α

R ? α

? 2

如图所示。 (1)为使两支光束在球内有实交点,d 与 n 之间必须满足什么样的关系? (2)为使两支光束对任何 d<2R 均在球外有实交点,n 可取哪些值?

12.如图所示,半径为 R 的绝缘圆环由直径 AB 分成的两半部分各均匀带有正、负电荷。正负 电荷的电量都是 Q。 (1)试证明过直径 AB 的直线是一条电势为零 的等势线。 (2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心 O 点的电势。
D

a
? ?

?

?

?

A ? ?

O C ?
? ? ? ? ?

?

B

b

1.μ 子的电量 q=-e(e=1.6×10-19C), 静止质量 m0=100MeV/c2, 静止时的寿命 τ 0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为 h=104m 处有一μ 子以接近于真空中 光速的速度垂直向下运动。 1) 、试问此μ 子至少应有多大总能量才能到达地面? 2) 、若把赤道上空 104m 高度范围内的地球磁场看作匀强 磁场,磁感应强度 B=10-4T,磁场方向与地面平行。试求 具有第 1 问所得能量的μ 子在到达地面时的偏离方向和总 的偏转角。 分析: 利用时间膨胀公式可将地球上观测到的 ? 子的 寿命 ? 与静止系中的寿命 ? 0 建立联系。对地球上的观察者而言,? 子为能达到地 面,所具速度必须保证它在 ? 时间内走完全程。利用质能公式可得 ? 子的相应能 量。由于 ? 子的动能比重力势能大得多,重力影响可忽略。又因地磁场引起的偏 转较小,计算第 1 问时可不考虑洛伦兹力,因此,可把 ? 子近似看成作匀速直线 运动。 求解第 2 问时,必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力,此力使 ? 子产生偏转。 因洛伦兹力对 ? 子不做功, 故其能量保持常值。根据动力学方程和质能公式可写 出 ? 子坐标所遵从的微分方程, 解此微分方程即可求得偏转量。? 子除受洛伦兹 力外, 还受地球自转引起的科星奥利力的作用, 它对 ? 子偏转的影响应作一估算。 解: (1)近似地把 ? 子看成是作匀速直线运动,速度为 ? ,到达地面所需地 球时间为
南 西 北 z
B

x

O y

t?
为能到达地面,需满足

h

?

?

h c

t ??
式中 ? 为地球观察者测得的 ? 子寿命,它与 ? 0 的关系为

??

?0
1?

?2
c2

由质能公式, ? 子的能量为

E?

m0 c 2 1?

?2
c2

给合以上诸式,有

E ? m0 c 2

? t m ch ? m0 c 2 ? 0 ?0 t0 ?0

代人数据, ? 子至少应有能量

E?

m0 ch

?0

?

100 ? 10 4 M e V? 3.3 ? 103 M e V 8 ?6 3 ? 10 ? 10

(2) 、如图所示,取直角坐标系 Oxyz,原点 O 在地面,x 轴指向西,y 轴 垂直于地面向上指向北。 ? 子的初始位置和初速度为

x?0? ? 0
y?0? ? h

x?0? ? 0
y?0? ? ??

z ?0? ? 0

z ?0? ? 0

磁场 B 与 z 轴方向一致, ? 子所受洛伦兹力为

F ? ?e? ? B
? 子的动力学方程为

dp ? F ? ?e? ? B dt

其中

p ? m? ?

E ? c2

E=常量

i ? r? ? d? c e c e ? ?? ? ?B ? ? x dt E E 0
2 2

j ? y 0

k ? z B

成分量形式为

? ?? ? x

c 2 eB c 2 eB ?, ? ?? ? y y x E E

(1) (2)

(1)式对 t 求导后再将(2)式代入,得

? ?? ? ? 2 x ? ?0 x
式中

??
上述方程的解为

c 2 eB E

? ? ?? c o ? x s ?t ? ? ?

?? ??t ? ? ? ? x? x? s in ?
因此,有

c 2 eB c 2 eB ? ? ? ?? ? ? ??? sin??t ? ? ? ? ? x y ? sin??t ? ? ? E E
故得

? ? ?? s i n ??t ? ? ? y

y??

?? co? s ?t ? ? ? ? y ? ?

初条件为

??0? ? ? ? c o ? x s ?0

?? x?0? ? s i n ? ? x? ? 0 ?
? ?0? ? ? ? s i n y ? ? ??

y?0? ? ?


?? co? s ?h ?

? ? ? ? ,? ? ? ?
2

x? ?
最后得 ? 子的坐标为

?? ? ? ? ,y ?h ? ?

x?

? ? ?? ? ? sin s t? ??t ? ? ? ? ?1 ? c o ? ? ? 2? ? ?
? ?? ? ? c o? s?t ? ? ? h ? h ? s i n ?t ? ? 2? ?

y??

到达地面时,y=0,即有

?h c 2 e B h sin ?t ? ? ? E?
因 ? ? c ,有
sin ?t ?
8 ? 4 4 c e B h 3? 1 0 ? 1 0? 1 0 ? ? 0.091 9 E 3.3 ? 10

? ? ?h ? 2 ? 2 1 ? ?h ? 2 1? c o ? s t ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? 子到达地面时的 x 坐标为

1

? 1 ? ?h ? x地 ? ? ? ? ? 2? ? ?
朝 x 方向(向西)的偏转角为

2

??

x地 ?h 1 ? ? ? 0.0 9 r 1a d ? 0.0 4 6 rad h 2? 2

落地点向西偏离的距离为
4 x地 ? h a? 1 0 ? 0.0 4 6 m?460 m

? 子落地过程需时

t ?? ?

?0
1?

?2
c2

? 3.3 ? 10 ?5 s

此阶段地球表面一点转过的距离为

s ? R? 地t ? 6.4 ?106 ?

2? ? 3.3 ?10?5 m ? 0.015m 24 ? 3600

可见,s? x地 ,即由地球自转引起的偏离可以忽略。 2. 热中子能有效地使铀 235 裂变,但裂变时放出的中子能量代谢较高,因 此在核反应堆中石墨作减速剂。若裂变放出的中子动能为 2.2MeV,欲使该中子 慢化为热中子(动能约为 0.025eV) ,问需经过多少次对撞? 解:运动的中子与石墨中静止的碳原子碰撞可作为弹性碰撞处理。设第 k 次碰拼音字母前中子速度大小为 ?k ?1 ,碰后速度 大小为 ? k ,由动量守恒和能量 守恒可得

?k ?

mC ? mn ? k ?1 mC ? mn

式中 mC .mn 分别为碳原子、中子的质量,近似有 mc ? 12mn 。于是 ? k 可表述


? mc ? m n ? ? 11 ? VK ? ? ? V0 ?m ?m ? ? V0 ? ? 13 ? ? c n ? ?
K K

初始的中子 ?? 对应动能 E? ? 2.2MeV ,碰撞 k 次后的动能取为

Ek ? 0.025eV ,则有
m ? mn 2 k E? ? 2 13 ? ?2 ? ( C ) ? ( ) 2k Ek ? k mC ? mn 11

两边取对数解得
k ? 54 .8

取整数后为

k ? 55(次) 3. 半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重物分别用细绳,AD
和 ACE 悬挂于同一点 A,并处于平衡,如图 11-205 所示,已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L,不考虑绳的质量和绳与球的摩擦,试求悬挂圆球的绳 AD 与竖直方 向 AB 的夹角θ 。 分析:在平衡条件下,一个物体受到三个共点力作用时,这三个力的作用线 必相交于一点。这是平衡问题的一个基本结论,本题就是一例。 解:作用在球上的力有重力 M 1 g , AD 绳的拉力 T 和 ACE 绳的压力 N。由于 不考虑绳与球的摩擦,所以 N 的方向沿半径指向球心,重力也是通过球心的。 由于球平衡,所以绳 AD 的拉力也必过球心,因此可判断绳一定沿 OA 方向(如 图 11-206) 。
A ?
T

对球和重物组成的系统,根据平衡条件, M 1 g 和 M 2 g 对 A 点的力矩 大小相等,即
N C
E

D

O B M1g

M1 g ? OB ? M 2 g ? BC
由图可知

(1)

OB ? L s i n ? , BC ? R ? L s i n ?

M2g
图 11-206

代入(1)式,可解得

sin ??

M2g L( M 1 ? M 2 )
? ? M 2R ? ? L( M 1 ? M 2 ) ?

? ? arcsin ?

4. 火车以速度 v1 向前行驶。司机忽然发现,在前方同一轨道上距车为 s 处

有另一辆火车,它沿相同的方向以较小的速度 v2 作匀速运动,于是他立即使车 作匀减速运动,加速度大小为 a,要使两车不致相撞,则 a 应满足的关系式为 _____________________。 分析: 司机使火车作匀减速运动,当后面的火车与前方火车时的速度相等 时,两车再也不能接近了,也就是后面的火车与前面火车的速度相等时,后面火 车的位移与前面火车的位移之差要小于 s 时,两车才不致相撞,本题解法中有四 种。 解法一:当两车速度相等时,两车没有相撞,以后再也不会相撞,前车减速 的时间为 t,则

t?

(v1 ? v 2 ) a

s1 ?

(v1 ? v2 )t 2

s 2 ? v2 t
a? (v1 ? v 2 ) 2 2s

s1 ? s 2 ?

(v1 ? v 2 )t (v1 ? v 2 ) 2 ? ?s 2 2a

解法二:以前车为参照系,后车的速度为 v ? (v1 ? v2 ) ,当后车的速度减为 零时,其位移小于 s,两车不会相撞,即
(v1 ? v2 ) 2 (v ? v ) 2 ? s, a ? 1 2 2a 2s 。

? ?1 ?2
O

解法三:作出两车运动的速度—时是图像如图 12-34 所示,由图像 可知:在两图像相交前与时间轴所围面积之差(即图中阴影部分)小于

t t
图 12-34

s 时,两车不会相撞。
(v1 ? v2 ) 2 (v ? v ) 2 ? s, a ? 1 2 2a 2s



解法四:后车的位移为 相撞,即

s1 ? v1t ?

at 2 2 ,前车的位移为 s2 ? v2 t ,要使两车不

at 2 s1 ? s 2 ? (v1 ? v 2 )t ? ?s 2 , at 2 ? (v1 ? v 2 )t ? s ? 0 2

说明此二次函数无解,即
a? (v1 ? v 2 ) 2 2s 。

? ? (v1 ? v2 ) 2 ? 2as ? 0 ,

以上四种解法中,以第二种解法最简捷。 5.如图 24-28 所示,有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热 容器,将其开口向上竖直放置。在气温为 27℃、气压为 760mmHg、 相对湿度为 75%时,用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。已 知水蒸气的饱合蒸气压为 26.7mmHg,在 0℃时为 4.5mmHg。 (1)若 保持温度不变, 想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始 有水珠出现,那么容器至少为多长?(2)若在水蒸气刚开始凝结时

水银 活塞

图 24-28

固定活塞,降低容器温度,当温度降至 0℃时,容器内气体压强为多大? 分析:当活塞上加入水银时,密闭管内的空气和水蒸气的压强均增大,当水 蒸气的压强达到饱和气压后,管内开始有水珠出现。 解: (1)灌水银前空气柱中水蒸气的压强为

p汽 ?

3 p饱 4

设容器长为 l0 ,空气柱长度减小到 l 时,水蒸气达饱和状态,根据玻意耳定 律有

p汽 ? l0 ? p饱 ? l ,



l?

3 l0 4 ,

此时活塞上下方压强分别为
1 ? ? p上 ? ? 7 6 0 ? l 0 ?m m H ,g 4 ? ?

p下 ?

4 p0 . 3



p上 ? p下



1 4 760 ? l 0 ? ? 760 , 4 3



l0 ? 1013 mm .

(2)水珠体积可以忽略,开始时,容器内干燥空气压强应为
?4 ? p1 ? ? ? 760 ? 26.7 ?m m Hg? 9 8 .6 3m m Hg . ?3 ?

因活塞固定,气体降温过程等容,故有

?? p1

273 p1 ? 8 9 7 .5mmHg . 273 ? 27

容器内气体总压强为

? ? p2 ? ? 897.5 ? 4.58 p? ? p1

? 902.1m m H g

6.如图 24-31 所示,一个静止的竖直放置的玻璃管,长为 H=23cm,粗细均 匀,开口向下,其内有一段长为 h=10cm 的水银柱,把长为 L0=10cm 的空气柱封 闭在管的上端。设外界大气压强 p0=1.0×105Pa,求当管以 20m/s2 的加速度上升 时,管中封闭的气柱长为多少厘米?(取 g=10m/s2,水银密度ρ =1.4×104kg/m3) 解: 管加速上升时, 水银柱所受合力向上, 管内气体对水银柱的压强应减小, 管内气体体积应增大,由于管长度一定,有可能使管内水银溢出的情况。设当管 加速上升时,封闭气柱压强为 P,长为 L,水银柱质量为 m,对于气柱,根据玻 意耳定律得

( P0 ? ?gh) L0 S ? p L S
对水银柱根据牛顿定律有

(1)

p0 S ? PS ? mg ? ma

(2)



m ? ?gh

(3)

得 由(1) 、 (4)式得

P ? P0 ? ?h( g ? a)

(4)

L?

( P0 ? ?gh) L0 ? 0.15(m) ? 15cm P0 ? ?h( g ? a)

因为

L ? h ? 25cm ? H ? 23cm

所以加速上升时, 水银将溢出管外。 这时设余下水银柱长为 h? , 其质量为 m? , 封闭气柱压强为 P ? ,长为 L ? 。对水银柱,根据牛顿第二定律有

p0 S ? P?S ? m?g ? m?a

(5)

又有

m? ? ?h?S

(6)

所以

P? ? P0 ? ?h( g ? a)

(7)

对封闭气柱,根据玻意耳定律有

( P0 ? ?gh) L0 S ? P?L?S

(8)

此时

L ? ? H ? h?

(9)

把(7)式、 (9)式代入(8)式并化简得

? ( g ? a)h?2 ? [P0 ? ? ( g ? a)H ]h? ? P0 H ? (P0 ? ?gh)L0 ? 0
代入数值,并化简有

8h? 2 ? 1.97h? ? 0.144 ? 0

解得

? ? 0.09m ? 9.0cm, h2 ? ? 0.38m (大于 H 舍去) h1

所以正在以 a ? 20m / s 加速度上升的玻璃管,其上端封闭的气柱长为
2

L? ? H ? h? ? 23 ? 9.0 ? 14(cm)
7. 如图 24-55 所示, 用导热材料制成的两端开口的 U 型管 ABCD,其中 AB 高 h=24cm,CD 高 L2=20cm,截面积分别为 SAB=1cm2,SCD=2cm2,开始时两管 均有高 h=16cm 的水银柱,现用两个橡皮帽将两个管口封闭,打开 下方的阀门 K,用注射器从底部缓慢抽出水银,当其中的一个管内 A 的水银被抽干时立即关闭阀门 K。 (已知大气压强为 p0=75cmHg)
B D

h
K

(1)请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银? (2)另一只管中剩余的水银柱高度为多少? 解:求解这一类题时,应根据可解的情况先做出必要的假设, 然后按着所做出的假设进行推理,在推理过程中,对所做假设做出 否定或认同即可求解。 假设左管内水银先被抽干, 并设这时右管内剩余水银柱的高度为 ? ,对左管 内封闭气体用玻意耳定律有
图 24-55

C

?V1? p1V1 ? p1
可得

?? p1

V1 ?24 ? 16?S ? 75 ? 25c m H g p1 ? V1? 24S

所以右管内气体压强为

? ? ?25 ? ? ?c m H g p2
再对右管内被封气体,根据玻意耳定律得:

75?20 ? 16?SCD ? ?25 ? ? ??20 ? ? ?SCD

整理得:

? 2 ? 45? ? 2 0 0 ?0

? 解得: ? ? 5cm或40cm?不合题意舍去
在根据以上假设列的方程中,有满足题设的实数解,故所做假设成立,即左 管内水银先抽干,且此时右管内剩余水银柱高度为 5cm。 8.如图 24-57(a)所示,水平固定的圆筒由足够长粗筒和细 筒相接而成,筒中有直径不同的两个活塞 A、B 用一根细绳相连, 活塞 B 通过水平细绳、定滑轮与一个质量为 m=2.0kg 的重物 C 连 接,A、B 两活塞的横截面积分别为 S1=20cm2,S2=10cm2。当两活
图 24-57(a)

L A

L B

塞封闭的空气柱温度为 t=327℃时,两活塞保持静止,此时两活塞分别与大小圆 筒的相接面的距离均为 L,已知大气压强 p0=1.0×105Pa,活塞与筒壁、滑轮与轮 轴间的摩擦均可忽略不计,取 g=10m/s2,求: (1)此时筒内两活塞间气柱的压强为多大?
? (2)当筒内气柱的温度缓慢降到 27 C 时,活塞 A 能否向右移动距离 L,

试说明理由。
? (3)当气柱温度降到 27 C 时,筒内气柱的压强为多大?(在整个变化过

程中,A、B 绳子始终有作用力) 。 解: (1)将活塞 A、B(包括连接两活塞的细绳)作为整体,其受力如图答 24-57(b)所示,根据物体的平衡条件得

p1S1 ? p0 S2 ? p1S2 ? p0 S1 ? mg

(1)

p1 ?

mg ? p0 ? 1.2 ?105 pa S1 ? S 2

p1 S1 p 0 S1

p0 S 2 p1 S 2
F ? mg

(2)当气体的温度缓慢降低时,气体的压强 P 在减小,由(1) 式可知当式中的 p1 (气体的压强)在减小时,由于 S1 ? S 2 ,故方程
图 24-57(b)

左边比右边小,平衡被破坏,这就意味着向右的作用力大于向左的作用力,故活 塞右移,使气体的体积减小,压强增大,可以认为是一个等压过程(直到活塞与 细筒侧壁相接触时为止) ,活塞不能无限制地向右移动,当活塞 A 移到与粗、细 圆筒的交接处时,不再移动。设活塞刚好移到两筒交接处时气体的温度为 T,此 时活塞对细筒侧壁无相互作用力,在等压过程中,有

V1 V ? T1 T
其中

V1 ? LS1 ? LS2 ? 3LS 2 , V ? 2LS2 ,

T 1? 600K ,

T?

VT1 ? 400K ? T2 ? 300K V1

? 故当筒内气体的温度缓慢降至 27 C ,活塞 A 能向右移动距离 L。 ? (3)当筒内气体的温度缓慢降至 27 C ,其末态有:

V2 ?

2LS2 ? 300K T2

由理想气体状态方程

P PV VT 3P 1V1 1 ? 2 2 P2 ? 1 2 P ? 0.9 ?105 Pa 1 ? T1 T2 , V2T1 4
9. 众所周知,在沙漠中能观察到蜃楼现象,假设在近大地的空气层中,光

i3 i2

i1
图 33-41

n4 n3 度。试问:观察者观察到蜃楼现象时,估计真实景物离他多远?设 n2 n1 观察者身高为 h。

速按 c(z)=c0(1-az)规律变化,式中 c0 为光沿地面的速度,z 为离地高

解:光在沙漠上空气中的传播速度随离地面高度的增加而减少,

这意味着贴近地面的空气的折射角比上层空气要小, 致使远处来的光线在射向地 面时,不断被折射,入射角逐渐增大。当光线射到贴近地面大气层的入射角大于 临界角时,就发生全反射现象。 如图 33-41 所示,将近大地的空气层划分为多个间距很小的层面,每个层面 都与大地平行, 这样可认为光速在某一层面的不同高度处相同(即可视为折射率 相同) 。设各层介质的折射率分别为 n1、n2、n3…光速与分界面法线的夹角分别 为 i1、i2、i3…由折射定律可得

n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? n3 sin i3 ? ? ? 常数。
c 1 n? ? 0 ? n sin i ? 常数 c?z ? 1 ? az , ? 即 ? 。而

i? L i?
图 33-42

且在地面附近处 c ? c0 , i ? 90? , 故

sin i? ? ?1 ? az?

由图 33-42 可见,上式是一个圆方程,这说明光线在不均匀空气中是沿圆弧 传播的。设圆半径为 R,则
sin i? ? R?z 1 ? 1? z R R



R?

1 a

另由几何关系得
L2 ? ?R ? z ? ? R 2
2

并将 z=h 代入上式可得

L?

2h ? h2 a

点评:将折射率连续变化的介质分成许多个折射率不相同的层面(层面中折射 率相同)是处理本题的关键。 10.如图 33-102 所示,在内半径为 r、外半径为 R,折射率为 n1 的 玻璃管中充满了折射率为 n2 的发光液体,试问,从远处看,当管的厚度

r

n1 n2

R

消失时,r 和 R 应满足什么条件? 分析:在物理学中存在大量的临界问题,以原理、定理或定律为依 据,直接从临界状态和相应的临界量入手,求出所研究问题的特殊规律

图 33-102

和特殊解;然后,以此对一般情况进行分析、讨论和推理,即采用从特 殊到一般的推理方法称为临界法。 本题中,液体发出的光线经玻璃两次折射后射出。从远处看,只能接受平行 光线。管的厚度消失,即经管边缘射向远方的光线与该处的管直径 2R 垂直。即 光线从玻璃折向空气时,入射角为全反射临界角。 解:如图 33-103 所示,厚度消失时,切向光线 MN 与半径垂 直,管内存在 PM 光线,PM 入射角 ? C 为全反射临界角,有
sin ?C ? 1 n1
M

?
?C

P

n1 n2
R

r

N
图 33-103

PM 光线是从液体 P 点发出,从液体射向玻璃时折射角为 ? 。如图 33-103 所示,由正弦定理有
r R ? ?? ? ? ? sin ?C s i n sin ?? R R sin ?C ? r n1r

所以有

管壁中是否存在 PM 光线呢?从 P 点由液体射向玻璃的入射光线的入射角最 大为 90 ? ,相应折射角为 ? max 。若 n2 ? n1 则

n2 sin 90? ? n1 s i n ?m a x



sin ? m a x?

n2 n1

若 n2 ? n1 则 sin ? max ? 1 。

存在 PM 光线的条件是 sin ? ? sin ? max ,即要求
R ? n2 r 。

R n2 ? n2 ? n1 时, n1r n1 ,即

R R ?1 ? n1 n2 ? n1 时, n1 r ,即 r 。
点评: 本题是以临界状态和相应的临界角为前提, 作为分析、 讨论的出发点, 由于题目未说明 n1 和 n2 的大小,应分别就 n1 ? n2 和 n1 ? n2 两种情况进行讨论, 从而确定 r 和 R 应满足的条件。
11. 空气中放一个半径为 R、折射率为 n 的玻璃球,两支相距 d<2R 的平行

细光束相对球心对称地射到球上,两支光束与球心共面,如图 33-124 所示。 (1)为使两支光束在球内有实交点,d 与 n 之间必须满足什么样的关系?

(2) 为使两支光束对任何 d<2R 均在球外有实交点, n 可取哪些值?

分析:由下面图 33-125 可看到,当折射角

??

?
2 时两支光束在球
d 2
d 2

面上相交,这是两支光束是在球内,还是在球外有实交点的分界点,

因此要分别讨论当

??

?
2与

??

?
2 时的情况。

图 33-124

解:如图 33-125 所示,有
sin ? ? 1 sin ? n

sin ? ? d / 2 R

(1)球内相交要求

??

?
2 ,即
d 2 d 2

α

R ? α

sin ? ? sin

?
2

? 2

与前两式联立,并利用
图 33-125

sin ? ? 2 sin

?
2

cos

?
2

可得

2c o s ? n 2

?

1? c o ? s 1 d2 cos ? ? 2? 4? 2 2 2 2 R

?

即得所求条件为
d2 R2

n ? 2? 4?

(2)球外相交,要求

??

?
2 ,即可得

n ? 2? 4?

d2 R2 d2 2 ? 2? 4? 2 ? 2 R

因此 0 ? d ? 2 R ,故

为保证前一不等式对任何 d 均成立,便要求 n ? 2 。 这便是 n 的取值范围。 12.如图 41-84 所示,半径为 R 的绝缘圆环由直径 AB 分成的两半部分各均 匀带有正、负电荷。正负电荷的电量都是 Q。 (1)试证明过直径 AB 的直线是一条电势为零的等势线。 (2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心 O 点的电势。 解:只要证明过 AB 的直线上各点场强方向与 AB 垂直,则此直 线就是等势线。如进一步证明到直径上某一点的电势为零,则此直线 上各处电势均为零。 证法 1: (1)在直径 AB 上任取一点 C,在环上任取关于 AB 对称的两点 a 和 b,设 a、b 为中点的微段圆弧所带电量为 ?q 。由于 C 点到这两微段的距离相 等,故两段在 C 点产生的场强的大小相等,方向如图(它们与 AB 直线的夹角相 等) 。所以,这两微段在 C 点产生的合场强必定与 AB 垂直。同理,环上其它关 于 AB 对称的任意两段在 C 点产生的合场强也与 AB 垂直, 故过 AB 直线上各点 的场强处处与 AB 垂直。 利用这个方法, 也可证明在 AB 连线延长线上任一点 C 的合场强也与 AB 连 线的延长线垂直,故过直径 AB 的直线是一条等势线。 设将一点电荷从无穷远处沿 AB 所在直线移到 A 点。电荷的移动方向与电 荷受的电场力垂直,故电场力对电荷不做功,则有:
D

a
? ?

?

?

?

A ? ?

O C ?
? ? ? ? ?

?

B

b

图 41-84

W电 ? q(U ? ? U A ) ? 0

因为

U? ? 0

q≠0

所以 故此直线上各处电势均为零。

U A ? U? ? 0

(2)以 a 点为中心的微段在圆心 O 处产生的电势为

Ui ?

k? q i R

半圆环上其它各微段在 O 点产生的电势都为该值。因电势是标量,故可直 接累加,得圆心 O 处的电势为
U 0 ? ?U i ? k KQ ? ?qi ? R R

证法 2: (1)在环上任取的关于 AB 对称的两点 a 和 b 为中点的微段圆弧所 带电量分别为 ? ?qi 和 ? ?qi ,a、b 到 C 点的距离为 r、a、b 对 C 点的电势分别 为

U c? ? k

?q i r

U c ? ? ?k

?q i r

由电势叠加原理,C 点的电势。

U ci ? U c? ? U c? ? 0
同理可得在环上任意关于 AB 对称的两点对 C 点的电势均为零, 可得整个圆环 对 C 点电势为 O。 利用上述方法可得在 AB 连线上任意一点电势为零。故可得 AB 是一条电势 为零的等势线。

(2)同证法 1。


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