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2015届高考数学热点题型训练:第8章 第2节 直线的交点坐标与距离公式含解析


第二节

直线的交点坐标与距离公式

考点一

两直线的交点问题

[例 1] (1)经过直线 l1:x+y+1=0 与直线 l2:x-y+3=0 的交点 P,且与直线 l3: 2x-y+2=0 垂直的直线 l 的方程是____________. (2)(2014·锦州模拟)当 0<k<0.5 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交 点在第________象限. ? ?x+y+1=0, [自主解答] (1)法一:由方程组? ?x-y+3=0, ? 解得?
? ?x=-2, ?y=1, ?

即点 P(-2,1),

设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2), 1 ∵l3⊥l,∴k=- , 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-1=- (x+2),即 x+2y=0. 2 法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x+y+1+λ (x-y+3)=0, 即(1+λ )x+(1-λ )y+1+3λ =0. ∵l 与 l3 垂直, 1 ∴2(1+λ )-(1-λ )=0,解得 λ =- . 3 2 4 ∴直线 l 的方程为 x+ y=0,即 x+2y=0. 3 3 (2)l1 与 l2 的直线方程联立得?
? ?kx-y=k-1, ?ky-x=2k, ?

k ? ?x=k-1, 解方程得? 2k-1 ?y= k-1 . ?
2k-1 <0,y= >0,故 l1 与 l2 的交点在第二象限. k-1 k-1 [答案] (1)x+2y=0 (2)二 【互动探究】 若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”,试求 l 的方程. 又∵0<k<0.5,所以 x= 解:由方程组 ?

k

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? ?2, 解得 ? ? x ? y ? 3 ? 0, ? y ? 1,

即点 P(2,1).又 l∥l3,即 k=2,故直线 l 的方程为 y-1=2(x-2), 即 2x-y+5=0 【方法规律】 经过两条直线交点的直线方程的设法 经过两相交直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+
1

C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(这个直线系方程中不包括直线 A2x+B2y+C2=0)或 m(A1x+B1y+C1) +n(A2x+B2y+C2)=0.
1 已知直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+ =0,分别求满足下列 2 条件的 k 的值: (1)l1,l2,l3 相交于一点; (2)l1,l2,l3 围成三角形. ? ?2x+3y+8=0, 解:(1)直线 l1,l2 的方程联立得? ?x-y-1=0, ? 解得?
?x=-1, ? ? ?y=-2,

即直线 l1,l2 的交点为 P(-1,-2).

又点 P 在直线 l3 上, 1 1 所以-1-2k+k+ =0,解得 k=- . 2 2 1 (2)由(1)知 k≠- . 2
? ?2k-3≠0, 当直线 l3 与 l1,l2 均相交时,有? ?k+1≠0, ? 3 解得 k≠ 且 k≠-1, 2 1 3 综上可得 k≠- ,且 k≠ ,且 k≠-1. 2 2 考点二

对 称 问 题

[例 2] 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. [自主解答] (1)设 A′(x,y),则由已知得

y+2 2 ? ?x+1×3=-1, ? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0,

33 x=- , ? ? 13 解得? 4 y= , ? ? 13

? 33 4 ? ∴A′?- , ?. ? 13 13? (2)在直线 m 上任取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′ 上. 设对称点 M′(a,b),则 ?a+2?-3×?b+0?+1=0, ? ? ? 2 ? ?2×? ? 2 ? ? ? ?b-0 2 ?a-2×3=-1, ? ? 6 30? ∴M′? , ?. ?13 13? 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
2

6 ? ?a=13, 解得? 30 ?b=13, ?

?2x-3y+1=0, ? 由? 得 N(4,3). ?3x-2y-6=0, ? 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. (3)法一:在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 D(1,1),E(4,3),则 D,E 关于点 A(-1,-2)的对称点 D′、E′均在直线 l′上, 易得 D′(-3,-5),E′(-6,-7), 再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0. 法二:∵l∥l′, ∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C| |-2+6+1| = , 2 2 2 2 2 +3 2 +3 解得 C=-9, ∴l′的方程为 2x-3y-9=0. 法三:设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵点 P′在直线 l 上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.

【方法规律】 (1)关于中心对称问题的处理方法: ①若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得?
? ?x=2a-x1, ?y=2b-y1. ?

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它 们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点斜式得到所求直线方程. (2)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在 l 上,而且连接 P1P2 的直线垂直于 l,

?x +x ?+B?y +y ?+C=0, ? ? ? ? ?A? ? 2 ? ? 2 ? 由方程组? y -y ? A? - ?=-1, ? ?x -x ·? ? B?
1 2 1 2 2 2 1 1

可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标

(x2,y2)(其中 B≠0,x1≠x2). ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决, 有两种情况: 一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行. 直线 y=2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线,若点 A(-4,2),B(3,1),求点 C 的坐标. 解:把 A,B 两点的坐标代入 y=2x,知 A,B 不在直线 y=2x 上,因此 y=2x 为∠ACB b-2 的平分线,设点 A(-4,2)关于 y=2x 的对称点为 A′(a,b),则 kAA′= ,线段 AA′的中 a+4

3

点坐标为?

?a-4,b+2?, 2 ? ? 2 ?
解得?
?a=4, ? ? ?b=-2,

b-2 ? ?a+4·2=-1, ∵? b+2 a-4 =2· , ? ? 2 2

∴A′(4,-2).

∵y=2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程, ∴A′在直线 BC 上, y+2 x-4 ∴直线 BC 的方程为 = ,即 3x+y-10=0. 1+2 3-4
?y=2x, ? 由? ? ?3x+y-10=0,

解得?

?x=2, ? ? ?y=4,

即 C(2,4).

高频考点

考点三

距离公式的应用

1.距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离.这三种距离在 高考中经常体现,试题难度不大,多为容易题或中档题,以选择、填空的形式呈现,有时也 会在解答题中有所体现. 2.高考中对距离公式的考查主要有以下几个命题角度: (1)求距离; (2)已知距离求参数值; (3)求距离的最值. [例 3] (1)(2014·安康模拟)点 P 到点 A′(1,0)和直线 x=-1 的距离相等, 且 P 到直 2 线 y=x 的距离等于 ,这样的点 P 共有( ) 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2)(2014·启东模拟)l1,l2 是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当 l1,l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程是____________. [自主解答] (1)设点 P(x,y),由题意知 2 |x-y| x- 2+y2=|x+1|,且 = , 2 2
? ?y =4x, 所以? ?|x-y|=1, ?
2

即? 或?

?y =4x, ? ? ?x-y=1, ?y =4x, ? ? ?x-y=-1,
2

2

① ② 或?

解①得? 解②得?

?x=3-2 2, ?y=2-2 2
?x=1, ? ? ?y=2,

?x=3+2 2, ?y=2+2 2,

因此,这样的点 P 共有 3 个.

4

(2)当两条平行直线与 A、 B 两点连线垂直时, 两条平行直线的距离最大. 又 kAB=

-1-1 0-1

1 1 =2,所以两条平行直线的斜率为 k=- ,所以直线 l1 的方程是 y-1=- (x-1),即 x+ 2 2 2y-3=0. [答案] (1)C (2)x+2y-3=0 与距离有关问题的常见类型及解题策略 (1)求距离.利用两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线的距离公式直接 求解,也可利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离. (2)已知距离求参数值.可利用距离公式,得出含参数的方程,解方程即可求解. (3)求距离的最值. 可利用距离公式得出距离关于某个点的函数, 利用函数知识求最值.

1.在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cos θ ),B(sin θ ,1),则△OAB 的面积的取值 范围是( ) ?1 3? ?1 3? ?1 3? A.(0,1] B.? , ? C.? , ? D.? , ? ?2 2? ?4 2? ?4 4? 解析:选 D OA 的方程为 y=cos θ x,且|OA|= 1+cos θ ,而 B 到 OA 的距离 d= |sin θ cos θ -1| 1-sin θ cos θ = , 2 2 cos θ +1 1+cos θ 1 1 所以 S△ O A B= |OA|d= (1-sin θ cos θ ) 2 2 1? 1 ? = ?1- sin 2θ ? 2 2? ? 1 1 = - sin 2θ , 2 4 又∵-1≤sin 2θ ≤1, 1 1 1 3 ∴ ≤ - sin 2θ ≤ . 4 2 4 4 2.已知直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行,且 l1,l2 之间的距离为 5,求直线 l1 的方程. 解:因为 l1 与 l2 平行, m 8 n 所以 = ≠ . 2 m -1 解得 m=±4. 当 m=4 时,l1:4x+8y+n=0,l2:2x+4y-1=0, 两平行线间的距离 d=
2

?n+1? ?2 ? ? ?
2 +4
2 2

= 5,

解得 n=18 或 n=-22. 此时 l1 的方程为 4x+8y+18=0 或 4x+8y-22=0, 即 2x+4y+9=0 或 2x+4y-11=0. 当 m=-4 时,l1:-4x+8y+n=0,l2:2x-4y-1=0, 两平行线间的距离 d=

?-n+1? ? 2 ? ? ?
2 +4
2 2

= 5,

解得 n=22 或 n=-18. 此时 l1 的方程为-4x+8y+22=0 或-4x+8y-18=0,
5

即 2x-4y-11=0 或 2x-4y+9=0. 综上可知 l1 的方程为 2x+4y+9=0 或 2x+4y-11=0 或 2x-4y-11=0 或 2x-4y+9 =0. ——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 2 2 与直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于点的对称,直 线关于直线的对称等情况,上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决. 个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间 的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都 有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑; |C1-C2| (2)运用两平行直线间的距离公式 d= 2 2 的前提是将两方程中的 x,y 的系数化为 A +B 对应相等.

6


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