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福州八中2012届高三考试数学(理)试题


一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) x ? 4 1. 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0 } ,B ? { | 2 x ? ,}则 集 合
(CU B ) ? A =

A.[-1,4] C. ? 2 , 3 ? A. C.
3 4 1 2

B. ( ? ? , 2 ) ? ( 2, 3) D. ( ? ? , ? 1) ? ? 4, ? ? ? B. D.
2 3 4 5

2.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是

3.若函数 f ( x ? 2 ) ? ? 则f(
?
4 ? 2 ) ? f ( ? 98 ) 等于

? tan x , x ? 0 ? lg( ? x ), x ? 0



A. 2

B. ? 2

C.

1 2

D. ?

1 2

4. 在递减等差数列 { a n } 中,若 a1 ? a 5 ? 0 ,则 s n 取最大值时 n 等于 A.2 B.3 5.下列结论正确的是 ①“ a ?
1 4

C.2 或 3
a x

D.3 或 4

”是“对任意的正数 x ,均有 x ?

? 1 ”的充分非必要条件

②随机变量 ? 服从正态分布 N(2,22) ,则 D( ? )=2 ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④ ? x ? R , 2 x ? 1 ? 0 的否定是 ? x ? R , 2 x ?1 ? 0 A.④ B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④

6.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试, 每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不 同的报考方法种数共有 A.144种 B.150种
?
3

C.196种

D.256种

7. 要得到函数 y ? sin (

? 2 x ) 的图像,只需将函数 y ? co s 2 x 的图像

A. 向左平移 C. 向左平移

?
12

个单位 个单位

B. 向右平移 D. 向右平移

?
12

个单位 个单位

?
6

?
6

a a 8. 已知正项等比数列 { a n } 满足: 7 ? a 6 ? 2 a 5 , 若存在两项 a m , n 使得 a m a n ? 4 a1 ,



1 m

?

4 n

的最小值为
4 3

A.

B.

5 3

C.

5 2

D.

3 2
b x ? 2 a 在定义域

9.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数 a 和 b, 函数 f ( x ) ? x ? {x∈R|x≠0}上存在零点的概率是 A.
1 3
2 2 2 2

B.
x a

3 7

C.

5 7

D.

4 5

10.椭圆

+

y b

=1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若
?
12

AF⊥BF,设∠ABF= ? ,且 ? ∈[
A.[ C.[
2 2

,

?
4

],则该椭圆离心率的取值范围为 B.[ D.[
2 2

,1 ) ,1)

, ,

6 3

] ]

6 3

2 2

3 2

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分, 把答案填在题中横线上) 11.已知复数 z 满足 (1 ? 2 i ) z ? 4 ? 3 i ,则 z =
2 12.设平面区域 D 是由双曲线 y ?


2

x

2

? 1 的两条渐近线和抛物线 y ? ? 8 x 的准线

4

所围成的三角形(含边界与内部) .若点 ( x , y ) ? D ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值 为 . 13.设 a ? 是 . 14.已知 3 、 a 、 4 、 b 、 5 这五个数据,其中 a 、 b 是方程 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的两个 根,则这五个数据的标准差是 .

?

?
0

(sin x ? co s x ) d x ,则二项式 ( a

x ?

1 x

) 展开式中含 x 项的系数
6
2

15 . 已 知 单 位 向 量 i, j 的 夹 角 为 ? ( 0 ? ? ? ? ) , 若
a ? x i ? y j ,如图,则 ( x , y ) 叫做向量 a 的 [? ] 坐标,记作
a ? ( x , y ) ? ,有以下命题:

①已知 a ? ( 2 , ? 1) 60 ,则 | a |?
?

5;

②若 a ? ( x 1 , y 1 ) ? , b ? ( x 2 , y 2 ) ? ,则
a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? ;

③若 a ? ( x 1 , y 1 ) ? , b ? ( x 2 , y 2 ) ? ,则 a ? b ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ; ④若 OA ? ( x 1 , y 1 ) ? , OB ? ( x 2 , y 2 ) ? , OC ? ( x 3 , y 3 ) ? , 且 A , B , C 三点共线,则 x 3 ? ? x 1 ? (1 ? ? ) x 2 , ( ? ? R ) 。 上述命题中正确的有 . (将你认为正确 的都写上) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 13 分) b B C 已知 ? A B C 的三个内角 A 、 、 所对的边分别为 a 、 、
c ,且 co s( A + C )=
a =2csinA .

1 2



(Ⅰ)求 cos C 的值; (
f(


?) x


s?


ix n

x ? [0 ,

?
2

]











A 4 c c o s 的最大值.x o s 17. (本小题满分 13 分) 张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到 公司上班路上有 L1,L2 两条路线(如图) 1 路线上有 A1,A2, ,L 2
2

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 2

;L2 路线上有 B1,
3 4

B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

, .
5

3

(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多遇到 1 次红灯的概率; .. (Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮 助张先生分析上述两条路线中,选择哪条上班路线更好些, 并说明理由. 18.(本小题满分 13 分) 在数列 { a n } 中,其前 n 项和 S n 与 a n 满足关系式:
( t ? 1) S n ? (2 t ? 1) a n ? t ( t ? 0, n ? 1, 2, 3, ? ) .

(Ⅰ)求证:数列 { a n } 是等比数列; (Ⅱ)设数列 { a n } 的公比为 f ( t ) ,已知数列 {b n } ,
b1 ? 1, b n ? 1 ? 3 f ( 1 bn ) ( n ? 1, 2, 3, ? )





b1b 2 ? b 2 b3 ? b3 b 4 ? b 4 b5 ? ? ? ( ? 1)

n ?1

b n b n ? 1 的值.

19.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的一个焦点是

(1,0) ,两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于
A 、 B 两点,设点 A 关于 x 轴的对称点为 A 1 .

y

Q O A B x

(ⅰ)求证:直线 A 1 B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐 标; (ⅱ)求△ O A 1 B 面积的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 设直线 l : y ? g ( x ), 曲线 S : y ? F ( x ) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件:① 直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点;②对任意 x∈R,都有 g ( x ) ? F ( x ) . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” . f ( x ) ? x ? 2 sin x .求证: y ? x ? 2 为曲线 f ( x ) 的“上夹线” (Ⅰ)已知函数 . (Ⅱ)观察下图:
y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x-1

y y=2x -2sinx y=2x-2 y=2x
O

O

x

x

y=2x+ 2

根据上图,试推测曲线 S : y ? mx ? n sin x ( n ? 0 ) 的“上夹线”的方程,并给出证明.

21. 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 、 、 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 若 点 A( 2 , 2 ) 矩 阵 M ? ? 在 ? s i n? ?
B ( ? 2, 2 ) ,求矩阵 M 的逆矩阵.

? c o s?

? sin ? ? ? cos ? ? ?

对应变换的作用下得到的点为

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 sin ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴

? 2 t ?x ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ,点 P ( t 为 参数) 2 ? y ? ? 4? t ? ? 2

是曲线 C 上的动点,点 Q 是直线 l 上的动点,求| P Q |的最小值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 x、 y、 z 满足 x 2 ? 4 y 2 ? 9 z 2 ? a ( a ? 0 ), 且 x ? y ? z 的最大值是 7,求 a 的值.

福州八中 2011—2012 高三毕业班第五次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准

17. 解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 3 1 1 2 1 0 1 P ( A)=C3 ? ( ) ? C3 ? ? ( ) ? . 2 2 2 2

=? ?

?2n 2 ? 2n ? 1 ?? (2n ?
2

n 为奇数 n 为偶数

... .. . .. . . .. . .. .. . .. .. ..13 分

? 2n)

19.解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的一个焦点是(1,0) ,所以半焦距 c =1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点 构成等边三角形. 所以

c a

?

1 2

,解得 a ? 2 , b ?

3.

20.解: (Ⅰ)由 f ? ( x ) ? 1 ? 2 cos x ? 1 得 cos x ? 0 , ???????????1 分 当x ? ?

?
2

时, cos x ? 0 ,

此时 y 1 ? x ? 2 ? ?

?
2

? 2 , y 2 ? x ? 2 sin x ? ?

?
2

? 2 , ??????2 分

? ? ? ? ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; ???????3 分 y 1 ? y 2 ,所以 ? ? , ? 2 ? 2 ?
当x ?

3? 2

时, cos x ? 0 ,此时 y 1 ? x ? 2 ?

3? 2

? 2 , y 2 ? x ? 2 sin x ?

3? 2

? 2 ,?4 分


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