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椭圆及其标准方程第二课时


1.1 椭圆及其标准方程

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的 距离和等于常数(大于|F1F2|) 的 点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 , 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距.

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/>第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

2.椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 x2 y2 + =1 a2 b2 焦点在 y 轴上 y2 x2 + =1 a2 b 2

标准方程

图像

焦点坐标 a、b、c 的 关系

(-c,0) ,

(c,0)

. (0,-c), (0,c) .

c2= a2-b2 .

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

1.a=6,c=1 的椭圆的标准方程是( x2 y2 A.36+35=1 x2 y2 C. + =1 36 5 y2 x2 B.36+35=1

)

D.以上都不对

答案: D

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

2.椭圆3x2+4y2=12的两个焦点之间的距离为( A.12 B.4

)

C.3
解析:

D.2
x2 y2 椭圆的方程可写为 + =1.∴a2=4,b2=3, 4 3

c2=1.∴2c=2.

答案: D

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

x2 y2 3.已知椭圆 + 2=1 的焦点在 x 轴上,则 m 的取值范 9 m 围是________.

答案: (-3,0)∪(0,3)

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

4.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,

且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.求此椭圆方程.
解析: 依题意:|F1F2|=2, 又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴|PF1|+|PF2|=4, ∴a=2,c=1,b2=3. x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 4 3

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);

(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置,确定出适合题 意的椭圆标准方程的形式,最后由条件确定出a和b即可.

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

[解题过程]

(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,

x2 y2 ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). ∴2a= ?5+4?2+ ?5-4?2=10,∴a=5. 又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 25 9

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第二章 圆锥曲线与方程

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(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0). 4 0 2+ 2=1, a b ∴ 0 1 + 2=1 2 a b a2=4, ? 2 b =1.

y2 2 故所求椭圆的方程为 +x =1. 4
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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

1.求适合下列条件的椭圆的方程: (1)两个焦点分别是(-3,0)、(3,0)且经过点(5,0);

(2)两焦点在坐标轴上,两焦点的中点为坐标原点,焦距为8,
椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

解析: (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,且两焦点的中点为 x2 y2 坐标原点,∴椭圆的方程可设为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由椭圆的定义,知 2a=(5+3)?+0 + (5-3)?+0=10,
. . . . . .... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... .... . . . . . . .... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... .... .

∴a=5. 又∵c=3,∴b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 因此,所求椭圆的方程为 + =1. 25 16

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

(2)由题知 2c=8,2a=12, ∴a=6.c=4. ∴b2=a2-c2=36-16=20. ∵椭圆的焦点在坐标轴上,两焦点的中点为坐标原点, ∴椭圆的方程是标准的. x2 y2 当椭圆的焦点在 x 轴上时,椭圆的方程为36+20=1; y2 x2 当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的方程为36+20=1.

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第二章 圆锥曲线与方程

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1 1 1 (0,- ) ( , ) 2 的椭圆的标准 (12 分)求经过两点 P1 3 3 ,P2

方程.

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

[解题过程] 方法一:①当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭 x2 y2 圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0).1 分
? ? ? ? ? ??1?2 ?1?2 ??3? +?3? =1 ? a2 b2 依题意,知?? ? ??-1?2 ?? 2? 2 =1 ? b ?

? 2 1 ?a =5 ?? ?b2=1 4 ?

.4 分

1 1 2 因为 a =5<4=b ,
2

所以方程无解.6 分

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第二章 圆锥曲线与方程

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②当椭圆的焦点在 y 轴上时, y2 x2 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),7 分
? ? ? ? ? ??1?2 ?1?2 ??3? +?3? =1 ? a2 b2 依题意,知?? ? ??-1?2 ?? 2? 2 =1 ? ? a

? 2 1 ?a =4 ?? ?b2=1 5 ?

.10 分

y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1.12 分 1 1 4 5
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第二章 圆锥曲线与方程

方法二:设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0, m≠n).5 分
?1? ?1? ? 2 2 ? ? ? ? m × + n × =1 ? 3 3 ? ? ? ? 依题意,可知? ? ? 1 ?n×?- ?2=1 ? ? 2? ? ?m=5 ?? ? ?n=4

.10 分

y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1.12 分 1 1 4 5

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. 1 (1)坐标轴为对称轴,并且经过两点 A(0,2)和 B(2, 3). (2)经过点(2, -3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同的焦点.

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第二章 圆锥曲线与方程

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解:设椭圆的方程为mx? + ny? =1(m>0,n>0,) 因为椭圆经过两点A(0,2),B(1/2,√3) 所以:0+4n=1 m/4+3n=1 椭圆方程:x? + y? /4=1 得 n=1/4 m=1

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

(2)∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,± 5),则可设所求 x2 y2 椭圆方程为 + =1(m>0). m m+5 又椭圆经过点(2,-3), 4 9 则有m+ =1. m+5 解得 m=10 或 m=-2(舍去). x2 y2 ∴所求椭圆的方程为10+15=1.

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

x2 y2 方程 + =-1 表示椭圆,求 k 的取值范围. k-5 3-k

先化成标准方程,再利用条件求解.

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第二章 圆锥曲线与方程

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x2 y2 [解题过程] 将方程整理得 + =1. 5-k k-3 ?5-k>0, ? 因为方程表示椭圆,所以?k-3>0, ?5-k≠k-3 ? 解得 3<k<5 且 k≠4. 所以满足条件的 k 的取值范围是 3<k<5 且 k≠4.

.

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第二章 圆锥曲线与方程

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x2 y2 3.若方程a2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a+6 a 的取值范围是( A.a>3 C.a>3 或 a<-2 ) B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

解析:

x2 y2 由椭圆a2+ =1 的焦点在 x 轴上可得 a +6

2 ? a ? >a+6, 2 a >a+6>0,所以有? ? ?a+6>0,

? ?a>3或a<-2, 可得? ? ?a>-6,

所以 a>3 或-6<a<-2,故应选 D.

答案:

D

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第二章 圆锥曲线与方程

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求椭圆的方法: 待定系数法:设出方程求参数a,b,c 标准式:焦点在x轴:x? /a? + y? /b? =1(a>b>0)

焦点在y轴: y? /a? + x? /b? =1(a>b>0)
一般式: mx? + ny? =1(m>0,n>0,)

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

题型四:轨迹方程的求法
例2.在圆x? +y? =4上任取一点P,过点P作x轴的垂 线PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,线段PD的

中点M的轨迹方程。 例3. 设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它
们的斜率之乘积是-4/9,求M的轨迹方程。 方法:1、设所求点坐标为(x,y) 2、按题意列关于x,y的等式 3、化简。
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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

题型四:轨迹方程的求法
例2.在圆x? +y? =4上任取一点P,过点P作x轴的垂 线PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,线段PD的

中点M的轨迹方程。 例3. 设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它
们的斜率之乘积是-4/9,求M的轨迹方程。 方法:1、设所求点坐标为(x,y) 2、按题意列关于x,y的等式 3、化简。 资料:P27能⑥
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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

根据椭圆的定义,用集合语言可叙述为:集合 P= {M||MF1| +|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.

设|F1F2|=2c>0.
则a>c时,集合P为椭圆.

a=c时,集合P为线段F1F2.
a<c时,集合P为空集.

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

1.所谓“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴. x2 y2 2.椭圆的标准方程有两种形式,即a2+b2=1(a>b>0) y2 x2 和a2+b2=1(a>b>0), 这两种形式的方程表示的椭圆的相同 点是它们的形状、大小都相同,都有 a>b>0,a2=b2+c2, 不同点是椭圆在直角坐标系中的位置不同,焦点坐标不同, 前者焦点在 x 轴上,后者焦点在 y 轴上.

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

3.方程 mx2+ny2=1(m、n 均为正数且 m≠n)表示的曲 线为椭圆,它包含焦点在 x 轴和 y 轴上两种情形. x2 y2 方程可变为 1 + 1 =1. m n 1 1 当m>n时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆, 此时 a= 1 ,b= m 1 ; n

1 1 当m<n时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方

面.“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置,在中心为原
点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; “定量”则是指确定a2、b2的具体数值,常用待定系数法.
2 .当椭圆的焦点位置不明确 (无法确定 )求其标准方程 x2 y2 时,可设方程为m+ n =1(m>0,n>0),可以避免讨论和繁 杂的计算,也可设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0),这种形式在 解题中较为方便.
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第二章 圆锥曲线与方程

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x2 y2 ◎已知椭圆 4 +m=1 的焦距为 2,求 m 的值.
【错解】
m. ∵2c=2,∴c=1,∴4-m=1,∴m=3. 【错因】 忽视了对焦点在哪一坐标轴上的讨论.

由椭圆方程知, a2 = 4 , b2 =m , ∴ a2 -b2 = 4 -

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第二章 圆锥曲线与方程

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【正解】 当焦点在x轴上时,a2=4,b2=m.

又∵2c=2,∴c=1,∴4-m=1,m=3.
当焦点在y轴上时,a2=m,b2=4.

又∵2c=2,∴c=1,∴m-4=1,∴m=5.
综上,m的值为3或5.

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第二章 圆锥曲线与方程

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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第二章 圆锥曲线与方程


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