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【导与练】2016届高考数学一轮复习 第2篇 第11节 导数的简单应用课件 文 新人教版


第 11 节 导数的简单应用 基础梳理 考点突破 基础梳理 知识整合 1.函数的单调性与导数 抓主干 固双基 (1)函数 y=f(x)在某个区间内可导 ①若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间内单调递增; ②若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间内单调递减; ③如果在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)为常函数. (2)单调性的应用

若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调,则 y=f′(x)在该区间上 不变号. 质疑探究 1:若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一 定有 f′(x)>0 吗?f′(x)>0 是否是 f(x)在(a,b)内单 调递增的充要条件? 提示:函数 f(x)在(a,b)内单调递增,则 f′(x)≥0, f′(x)>0 是 f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要 条件. 2.函数的极值与导数 (1)函数极小值的概念满足 ①函数 y=f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小; ②f′(a)=0; ③在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0; 则点 x=a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函 数 y=f(x)的极小值. (2)函数极大值的概念满足 ①函数 y=f(x)在点 x=b 处的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大; ②f′(b)=0; ③在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0; 则点 x=b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函 数 y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极 值点,极小值与极大值统称为极值. (3)求可导函数极值的步骤 ①求导数 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③列表,检验 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右 两侧的符号(判断 y=f(x)在根左右两侧的单调 性),如果左正右负(左增右减),那么 f(x)在这个 根处取得极大值.如果左负右正(左减右增),那 么 f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符 号一样,那么这个根不是极值点. 质疑探究 2:f′(x0)=0 是可导函数 f(x)在 x=x0 处取 极值的什么条件? 提示:必要不充分条件,因为当 f′(x0)=0 且 x0 左右 两端的导数符号变化时,才能说 f(x)在 x=x0 处取得 极值.反过来,如果可导函数 f(x)在 x=x0 处取极值 , 则一定有 f′(x0)=0. 3.函数的最值与导数 求函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值 的步骤: (1)求 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为 最小值. 4.生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、 用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键 是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研 究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问 题的意义. 双基自测 1.(2013 广州市二模)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 其导函数 y=f′(x)的图象可能是( A ) 解析:在 y 轴的右侧,函数 y=f(x)单调递减,f′(x)<0, 排除选项 B,D;在 y 轴的左侧,函数 y=f(x)先增后减 再增,f′(x)先大于 0 后小于 0 再大于 0,排除选项 C.故选 A. 1 2

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