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2008—2009福建省福州八中高三数学(理)毕业班第一次质量检查试题


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2008— 福建省福州八中高三数学( 2008—2009 福建省福州八中高三数学 理) ( 毕业班第一次质量检查试 题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷
福州八中 2006 级高中数学选修 4-5 模块考试 一,选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知 c<d, a>b>0, 下列不等式中必成立的一个是 ( ) A.a+c>b+d 2.函数 y = 8
x 2

B.a–c>b–d
2 ( x > 0) 的最大值是 x

C.ad<bc

D.

a b > c d
( )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 18 3.已知函数 f(x)=-2x+1,对于任意正数 ε ,使得|f(x1)-f(x2)|< ε 成立的一个充分但不必 要条件是

4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4.用数学归纳法证明" 1 + + + = + ++ "时, 2 3 4 2 n 1 2n n + 1 n + 2 2n 由 n = k 的假设证明 n = k + 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) 1 1 1 1 1 1 1 A. ++ + B. ++ + + k +1 2 k 2k + 1 k +1 2k 2 k + 1 2k + 2 1 1 1 1 1 1 C. ++ + D. ++ + k+2 2k 2k + 1 k+2 2 k + 1 2k + 2
二,填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5.若 1 < a < 4 , 2 < b < 4 ,则 2a-b 的取值范围是 6.函数 f ( x ) = 5 x + .

A.|x1-x2|< ε

B.|x1-x2|<

ε
2

C.|x1-x2|<

ε

D.|x1-x2|>

ε

20 ( x > 0) 的最小值为_____________. x2

三,解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 7. (本小题 10 分) y 1 1 x 已知 a,b,x,y 均为正实数,且 > ,x>y. 求证: > . y+b a b x+a

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8. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) =| x 8 | | x 4 | . (Ⅰ)作出函数 y=f(x)的图像: (Ⅱ)解不等式 | x 8 | | x 4 |> 2 .

y

1 0 1

x

福州八中 2006 级高中数学选修 4-2 模块考试 一,选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.将图形绕原点逆时针旋转 60° 的矩阵是 ( )

1 1 3 3 2 2 B. 2 2 A. . 3 3 1 1 2 2 2 2
1 2.点通过矩阵 M 1 = 0

3 2 C. 1 2

1 2 3 2

3 D. 2 1 2



1 2 3 2



0 1 0 的变换效果相当于另一变换是 和 M2 = 1 0 1 3 2

(

)

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1 0 A. 3 0 1 2 1 B. 6 0 0 1 2 1 0 C. 2 0 1 6
D.

1 0 1 0 6
( )

0 1 3.矩阵 的逆矩阵是 1 0 0 1 A. 1 0 1 0 B. 0 1 1 0 C. 0 1 0 1 D. 1 0

4.对任意的 2 × 2 非零矩阵 A,B,C,考察下列说法:① AB BA ;② A( BC ) = ( AB )C ;③

u r AE = EA = A ;④若 AB = AC ,则 B = C ;⑤ l 为矩阵 A 的特征值,则存在向量 a 使得
u r u r Aa = l a ,其中正确的说法有
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 二,填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5. D. 4 个 ( )

1 3 1 1 结果是______________. 2 4 0 4

6.已知矩阵 A =

2 1 a2 是不可逆矩阵,则实数 a 的值是 1 a + 1

.

三,解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 7. (本小题 10 分)试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形,并指出该变换是什么变换.

1 0 (1) (3 方程为 y = 2 x + 2 ; 分) 0 1

(2)

1 0 点 A(2,5)(3 分) ; 0 1

(3)

2 0 曲线方程为 x 2 + y 2 = 4 (4 分) 0 1 1 1 10 ,求 A . 1 1

8. (本小题 10 分)已知矩阵 A =

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第Ⅱ卷
一,选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知函数 f ( x ) = A.2 C.1
2 x + 1 x + 4 ( x ≤ 1) ( x > 1)

,则 f [ f ( 5 )] =

(

)

B.-1 D.0 x2 1 3lnx 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 2.已知曲线 y = 4 2 1 A. B.1 2 C.2 D. 3 3.若直线 (1 a) x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2 2 x = 0 相切,则 a 的值为 A. 1 B. -1 C. ±1 D. ±2 4.正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为 A. C. 3 2 3 4 B. D. 3 3 3 6

(

)

(

)

(

)

二,填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5.某班委由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长.其中至少有一名女 . (用分数作答) 生当选的概率是 6.P 是椭圆 为
x2 y2 0 + = 1 上的一点,F1,F2 为两个焦点,若 ∠F1 PF2 = 60 ,则 F1 PF2 的面积 12 6

.

三,解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 7. (本小题满分 10 分)

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已知函数 f ( x ) =2acos2x+bsinxcosx (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅲ)函数 f ( x ) 的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数?

3 3 π 1 ,且 f(0)= ,f( )= . 2 2 4 2

8. (本小题满分 10 分) 在等比数列 {a n } 中, a n > 0( n ∈ N *) ,公比 q ∈ (0,1) ,且 a1 a5 + 2a 3 a 5 + a 2 a8 = 25 , 又 a3 与 a5 的等比中项为 2 , (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn = 5 log 2 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n } 的通项公式 (3)设 Tn =

1 1 1 + ++ ,求 Tn . S1 S 2 Sn

参考答案

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福州八中 2006 级高中数学选修 4-2 模块考试 一,选择题 二,填空题 5. BDAC

1 13 2 18

6. a = 1

三,解答题 7.解: (1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换.(3 分) (2)经过变化后变为(-2,5) ,它们关于 y 轴对称,故该变换为关于 y 轴的反射变换. (6 分) (3)所给方程是以原点为圆心,2 为半径的圆,设 A(x,y)为曲线上的任意一点,经过

2 0 x 2 x x1 变换后的点为 A1(x1,y1),则 = = ∴ 2 x = x1 , y = y1 0 1 y y y1
将之代入到 x 2 + y 2 = 4 可得方程 该变换是伸缩变换.(10 分) 8.解:特征矩阵为

x12 y12 + = 4, 此方程表示椭圆, 所给方程表示的是圆, 4 1

λ 1 1 (1 . 分) 1 λ 1

特征多项式为 f (λ ) =

λ 1 1 = (λ 1) 2 1 = λ 2 2λ , 1 λ 1

令 f (λ ) = 0,解得矩阵 A 的特征值 λ1 =0, λ2 = 2 , 分) (2 将 λ = 0 代入特征矩阵得

1 1 , 1 1 x y = 0, x y = 0, 1 是矩阵 A 属于 1

以它为系数矩阵的二元一次方程组是

解之得 y = x , x 可以为任何非零实数,不妨取 x = 1 ,于是,α1 = 特征值 λ1 = 0 的一个特征向量.

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再将 λ = 2 代入特征矩阵得

1 1 , 1 1 x y = 0, x + y = 0, 1 1

以它为系数矩阵的二元一次方程组是

解之得 y = x , x 可以为任何非零实数,不妨取 x = 1 ,于是, α 2 = 是矩阵 A 的属于 特征值 λ2 = 2 的一个特征向量. 分) (6 于是, A α1 =

1 1 1 1 1 1 1 1 = 0 ,A α 2 = = 2 . 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 10 1 10 (7 = ,A = 2 . 分) 1 0 1 1

显然,

A 10

a b = 0, c d = 0, a b 设 A 10 = ,则有 (8 分) a + b = 1024, c d c + d = 1024.
解得

a = 512, b = 512, c = 512, d = 512 . 分) (9

所以,A 10 =

512 512 (10 分) . 512 512
福州八中 2006 级高中数学选修 4-5 模块考试

一,选择题 二,填空题 5. (2,10) 三,解答题

BACD 6.15
y bx ay x 1 1 - = ,又 > 且 a,b∈R+, y + b (x + a)(y + b) x+a a b

7.证法一: (作差比较法)∵

bx ay y x ∴b>a>0.又 x>y>0,∴bx>ay. ∴ >0,即 > . (x + a)(y + b) y+b x+a 证法二: (分析法)

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∵x,y,a,b∈R+,∴要证 而由
y x > ,只需证明 x(y+b)>y(x+a) ,即证 xb>yA. y+b x+a

1 1 > >0,∴b>a>0.又 x>y>0,知 xb a b

>ya 显然成立.故原不等式成立. 8.解:

∴函数 f (x )的图像如图所示

4, (x < 4) (1) ∵ f (x ) = 12-2x, (4 ≤ x ≤ 8) -4, (x > 8)

(分段函数 3 分,图象 3 分,共 6 分)

(2) 解法一:当x = 5时,f (x )=2 (10 分) 由图可知,不等式的解集为( ∞,); 5
x < 4 4 ≤ x ≤ 8 x > 8 解法二: 或 或 x < 4 或 4 ≤ x < 5 或 φ 4 > 2 12 2x > 2 4 > 2

∴ 原不等式的解集是 ( ∞,). 10 分) 5 (
第Ⅱ卷 一,选择题 BCAD 二,填空题
5.

5 7

6. 2 3

三,解答题
7.解: (Ⅰ)由 f(0)= f( 3 3 3 3 ,得 2a- = ,∴2a= 3 ,则 a= .由 2 2 2 2

π 1 3 3 3 1 )= ,得 + = , ∴ b=1 , 2 分 4 2 2 2 2 2

∴ f ( x ) = 3 cos2x+sinxcosx

3 3 1 π = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ).………4 分 2 2 2 3 π 3

(Ⅱ)由 f(x)=sin(2x+ )又由 ∴f(x)的单调递增区间是[
π 6

π π π 5π π +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,得 +kπ≤x≤ +kπ, 3 12 12 2 2

5π π +kπ, +kπ] k∈Z) ( .…………8 分 12 12 π 6

(Ⅲ)∵f(x)=sin2(x+ ) ,∴函数 f ( x ) 的图象右移 后对应的函数可成为奇函数.10 分

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8.解: (1)∵ a1 a 5 + 2a 3 a 5 + a 2 a8 = 25 ,∴ a 3 + 2a 3 a 5 + a 5 = 25 ,
2 2

又 a n > 0,∴ a3 + a 5 = 5 …………1 分 高三数学(理)第一次质量检查试卷 第 3 页 共 4 页 又 a3 与 a5 的等比中项为 2 ,∴ a 3 a 5 = 4 ……………2 分 而 q ∈ (0,1) ,∴ a 3 > a 5 ,∴ a3 = 4, a 5 = 1 ……………3 分

∴q =

1 1 , a1 = 16 ,∴ a n = 16 × ( ) n 1 = 2 5 n 2 2
………………5 分

………………4 分

(2) bn = 5 log 2 an = 5 (5 n) = n

∴ bn +1 bn = 1

∴{bn } 是以 b1 = 1 为首项,1 为公差的等差数列
∴ Sn = n( n + 1) , 2

………………6 分 ………………7 分

2 (3)由(2)知 1 = = 2( 1 1 ) S n n(n + 1) n n +1

∴ Tn = = 2(1

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = 2[(1 ) + ( ) + + ( )] ………………9 分 2 2 3 S1 S 2 Sn n n +1 1 2n )= n +1 n +1
…………………10 分

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