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不等式及其性质(提高)知识讲解


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不等式及其性质(提高)知识讲解
撰稿:孙景艳 责编:吴婷婷

【学习目标】 1.了解不等式的意义,认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用. 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地,用“<”

、 “>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关 系的式子也是不等式. 要点诠释: (1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大. (2)五种不等号的读法及其意义: 符号 “≠” “<” “>” “≤” 读法 读作“不等于” 个大,哪个小 读作“小于” 读作“大于” 读作“小于或等 于” “≥” 读作“大于或等 于” (3)有些不等式中不含未知数,如 3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如 2x>5 中, x 表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合 不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立. 知识点二、不等式的解及解集 1.不等式的解: 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 2.不等式的解集: 即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量 表示左边的量比右边的量小 表示左边的量比右边的量大 即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量 意义 它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪

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对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集. 要点诠释: 不等式的解 是具体的未知数的值,不是一个范围 是一个集合,是一个范围.其含义: 不等式的解集 ① 解集中的每一个数值都能使不等式成立; ② 能够使不等式成立的所有数值都在解集中

3.不等式的解集的表示方法 (1)用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范 围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式 x-2≤6 的解集为 x≤8. (2)用数轴表示 :不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个 解.如图所示:

要点诠释: 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来, 在应用数轴表示不等式的解集时, 要注 意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定方向.(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的 解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”:对边界点 a 而言,x>a 或 x≥a 向右画;对边界点 a 而言,x<a 或 x≤a 向左画. 注意:在表示 a 的点上画空心圆圈,表示不包括这一点. 【高清课堂:一元一次不等式 370042 不等式的基本性质】 知识点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质 1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 用式子表示:如果 a>b,那么 a± c>b± c 不等式的基本性质 2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 用式子表示:如果 a>b,c>0,那么 ac>bc(或

a b ? ). c c a b ? ). c c

不等式的基本性质 3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 用式子表示:如果 a>b,c<0,那么 ac<bc(或

要点诠释: 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点:

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(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条 性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会. (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质 2 和性质 3 的区别,在乘(或除 以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变. 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1.(台湾)有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为 5 克、小砝码皆为 1 克,且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形.判断下列正确的情形是 ( )

【思路点拨】根据图示可知 1 个糖果的质量>6 克,3 个糖果的质量<15 克,依此求出 1 个 糖果的质量取值范围,再在 4 个选项中找出情形正确的. 【答案】D 【解析】 解:由图(1)知,每一个糖果的重量大于 5 克,由图(2)知:3 个糖果的重量小于 16 克,即每

16 32 2 ? 10 克故 B 选项错; 克.故 A 选项错;两个糖果的重量小于 3 3 3 16 64 1 ? 21 三个糖果的重量大于 15 克小于 16 克故 C 选项错,四个糖果的重量小于 ? 4 ? 3 3 3
一个糖果的重量小于 克故 D 选项对. 【总结升华】观察图示,确定大小.本题涉及的知识点是不等式,涉及的数学思想是数形结 合思想,解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式. 举一反三: 【变式】

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【答案】 类型二、不等式的解及解集 2.若关于 x 的不等式 x ? a 只有三个正整数解,求 a 的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解,然后再确定 a 的范围. 【答案】 3 ? a ? 4 【解析】 解:∵不等式 x ? a 只有三个正整数解, ∴三个正整数解为:1,2,3, ∴3 ? a ? 4, 【总结升华】 此题主要考查了一元一次不等式的整数解, 做此题的关键是确定好三个正整数 解. 3.如图所示,图中阴影部分表示 x 的取值范围,则下列表示中正确的是( )

A.-3≤x<2

B.-3<x≤2

C.-3≤x≤2

D.-3<x<2

【思路点拨】x 表示-3 右边的数,即大于-3,并且是 2 以及 2 左边的数,即小于或等于 2 的数. 【答案】B 【解析】 解: A、因为-3≤x<2,在数轴上-3 的点应该是实心的圆点; C、因为-3≤x≤2,在数轴上-3 和 2 的点应该都是实心的圆点; D、因为-3<x<2,在数轴上-3 和 2 的点应该都是空心的圆点; 故选 B. 【总结升华】不等式组解集在数轴上的表示方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来 (>,≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表 示解集的线的条数与不等式的个数一样, 那么这段就是不等式组的解集. 有几个就要几个. 在 表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 举一反三: 【变式】(江苏盐城)根据如图所示的程序计算, 若输入 x 的值为 1, 则输出 y 的值为________.

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【答案】4 提示:由程序图可知,计算求值时所使用的数学表达式为 y ? 2x2 ? 4 .把 x=1 输入求 值,若求得的结果大于 0,则直接得到输出值 y;若求得的结果小于 0,则需要把得到的结 果作为输入值再代入计算,循环往复,直到使最终的结果大于 0 为止. 类型三、不等式的基本性质

4. (湖北黄冈)若关于 x、y 的二元一次方程组 ? 取值范围是________.

?3x ? y ? 1 ? a 的解满足 x+y<2,则 a 的 ?x ? 3y ? 3

【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出 x+y 的值.因为 x+y<2 故 可以构建关于 a 的不等式.然后利用不等式的性质就能求出 a 的取值范围. 【答案】a<4 【解析】 解:将两方程相加得:4x+4y=4+a. 将方程的两边同除以 4 得 依题意:

x? y ?

4?a ? 2. 4

4?a . 4

将不等式的两边同乘以 4 得 4+a<8. 将不等式的两边同时减去 4 得 a<4. 故 a 的取值范围是 a<4. 【总结升华】解关于 x 的一元一次不等式,就是要将不等式逐步化为 x>a 或 x<a 的形式, 化简的依据是不等式的性质. 举一反三: 【变式 1】关于 x 的不等式 ax>b 的解集是 x ?

b ,那么 a 的取值范围是 ( a

)

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A.a≤0 【答案】B

B.a<0

C.a≥0

D.a>0

提示:解不等式 ax>b 时,两边同时除以 a,不等号的方向改变了,根据不等式的性 质 3,可知除以的是一个负数,即 a<0.故应选 B. 【高清课堂:一元一次不等式 370042 练习 3】 【变式 2】a、b 是有理数,下列各式中成立的是( A.若 a>b,则 a2>b2; C.若 a≠b,则|a|≠|b| 【答案】D ).

B.若 a2>b2,则 a>b D.若|a|≠|b|,则 a≠b

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