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2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 3.3 三角函数的图像与性质课件 理


第三章 三角函数、三角恒等变形、 解三角形

第三节

三角函数的图像与性质

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图像,了解三角函 数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、
? π π? 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的 ? 2 2?

单调性。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.周期函数和最小正周期

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图像

定义域

R ____

R ____

{x|x∈R且x≠+ kπ,k∈Z}

值域

[-1,1] _______

[- 1,1] ______

R ____

函 数

y=sin x

y=cos x kπ-π,2kπ] x∈[2 ______________ _____________ 时, (k∈Z) 函数是增加的, [2kπ,2kπ+π x∈______________ ](k∈Z) ___________ 时,函 数是减少的

y=tan x x∈____________ _______________ 时,函数是增加 的

单 调 性

最 值

无最大值和最小 值

函数 奇偶性 对称 对 称 性 对称 轴 中心

y=sin x
奇函数 (kπ,0),k∈Z

y=cos x
偶函数

y=tan x
奇函数

? π ? ?kπ ? ?kπ+ ,0? ,k∈Z ? ,0? ,k∈Z 2 ? ? ?2 ?

π x=kπ+ ,k∈Z 2

x=kπ,k∈Z

无对称轴

最小正
周期





π

基 础 自 测
[判一判]
? π? (1)y=sin x 在?0, ?上是增函数。( √ 2? ?

)

解析 正确。

(2)y=sin x在第一、四象限是增函数。( × )
解析 错误。 (3)所有的周期函数都有最小正周期。( × )

解析 错误。如常数函数为周期函数,但没有最小正周期。
(4)y=tan x在整个定义域上是增函数。( × ) 解析 断。 (4)错误。单调区间不能取并集。也可借助正切函数的图像判

(5)y=ksin x+1(x∈R)的最大值为k+1。( × ) 解析 错误。当k>0时,其最大值为k+1。 (6)y=sin |x|为偶函数。( √ 解析 正确。 )

[练一练]
? π? 1.函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是( 6? ?

)

π A. 2 C.2π

B.π D.4π

2π 解析 f(x)的最小正周期 T= =π。 2 答案 B

2.函数 y=tan 3x 的定义域为(
? ? ? 3π A.?x?x≠ +3kπ,k∈Z ? 2 ? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠ +kπ,k∈Z ? 6 ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠- +kπ,k∈Z ? 6 ? ? ? ? ? ? π kπ D.?x?x≠ + ,k∈Z ? 6 3 ? ? ?

)

π π kπ 解析 由 3x≠ + kπ,得 x≠ + , k∈ Z。 2 6 3 答案 D

? π? 3.已知函数 f(x)=sin?ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图 3? ?

像(

) π A.关于直线 x= 对称 3
?π ? B.关于点? ,0?对称 ?3 ?

π C.关于直线 x=- 对称 6
?π ? D.关于点? ,0?对称 ?6 ?

? π? 解析 ∵f(x)= sin?ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 π, 3? ? ? π? ? ∴ ω=2,即 f(x)= sin 2x+ ?。 3? ? ?π? ?2π π? 经验证可知 f? ?= sin? + ?= sin π=0, ? 3? ? 3 3? ?π ? 即? ,0? 是函数 f(x)图像的一个对称点。 ?3 ?

答案

B

?π π? 4.下列函数中,周期为 π,且在? , ?上为减函数的是( ?4 2? ? π? A.y=sin?2x+ ? 2? ? ? π? C.y=sin?x+ ? 2? ? ? π? B.y=cos?2x+ ? 2? ? ? π? D.y=cos?x+ ? 2? ?

)

解析

?π π? 由函数的周期为 π,可排除 C, D。又函数在? , ?上为减函 ? 4 2?

数,排除 B,故选 A。 答案 A

? π? 5 ,此时 x= 5 . 函 数 y = 3 - 2cos ?x+ ? 的 最 大 值 为 _____ 4? ? 3π +2kπ(k∈Z) 4 ________________ 。 ? π? π ? ? 解析 函数 y=3-2cos x+ 的最大值为 3+2=5, 此时 x+ =π+2kπ, 4? 4 ?

3π 即 x= +2kπ(k∈Z)。 4

R

热点命题

深度剖析

考点一

三角函数的定义域和值域
1 cos x-2的定义域

【例 1】 (1)(2015· 湛江调研)函数 y=lg(sin x)+ ? ? ? π ?x?2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z ? 3 ? ? ? 。 为___________________________

【解析】 要使函数有意义需满足

? ? ?sin x>0, ?sin x>0, 即? 1 1 ? ? ? ?cos x-2≥0, ?cos x≥2,

2kπ<x<π+2kπ, ? ? 解得? π (k∈ Z), π - +2kπ≤x≤ +2kπ ? 3 ? 3 π ∴2kπ<x≤ +2kπ, k∈ Z。 3 ∴函数的定义域为
? ? ? π ?x?2kπ<x≤ +2kπ, k∈ Z ?。 3 ? ? ?

?π 7π? 8 (2)当 x∈? , ?时, 函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是___________ , ?6 6 ?

7

2 最大值是________ 。

【解析】

?π 7π? ∵ x∈? , ?, ?6 6 ?

? 1 ? ? ∴ sin x∈ - ,1?。 ? 2 ?

又 y=3- sin x-2cos2x=3- sin x-2(1- sin2x)
? 1? 7 =2?sin x- ?2+ 。 4? 8 ?

1 7 ∴当 sin x= 时, ymin= , 4 8 1 当 sin x=- 或 sin x=1 时,ymax= 2。 2

【规律方法】 (1)三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组),常借助三角
函数线或三角函数图像来求解。 (2)三角函数值域(最值)的不同求法

求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如 y = asin x + bcos x + c 的三角函数化为 y = Asin(ωx + φ) + k 的形 式,再求值域(或最值);

②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设sin x=t,化为关于t的二
次函数求值域(或最值); ③形如 y=asin xcos x+ b(sin x±cos x)+ c的三角函数,可先设t=sin

x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(或最值)。

变 式 训 练 1 (1) 函 数 y = ? ? ? π 5π ? ?x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z? ? ? 4 4 _____________________________ ? ? 。

sin x-cos x 的 定 义 域 为

解析 解法一:要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0。利用图像, 在同一坐标系中画出[0,2π]上 y= sin x 和 y= cos x 的图像,如图所示。

π 5π 在 [0,2π]上,满足 sin x= cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的 4 4 π 5π 周期是 2π,所以原函数的定义域为 x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z。 4 4

解法二: 利用三角函数线, 画出满足条件的终边范围(如图阴部分所示)。

? π 5π ? ∴定义域为 x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ , k∈ Z? 。 ? 4 4 ?

? ? ? ? ?

? π? π 解法三:sin x-cos x= 2sin?x- ?≥0,将 x- 视为一个整体,由正弦 4? 4 ?

π 函数 y= sin x 的图像和性质可知 2kπ≤x- ≤π+2kπ, k∈ Z, 4 π 5π 解得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z。 4 4 π 5π 所以定义域为 x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z。 4 4

?πx π? (2)(2016· 青岛模拟)函数 y=2sin? - ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? 6 3?

和为(

) B.0 D.-1- 3

A.2- 3 C.-1

π π π 7π 解析 因为 0≤x≤9,所以- ≤ x- ≤ 。 3 6 3 6
?π π? ? 3 ? 所以 sin? x- ?∈?- ,1?。 3? ? 2 ?6 ?

所以 y∈[- 3,2],所以 ymax+ ymin=2- 3。 答案 A

? 1 ? ?- - 2,1? (3)函数y=sin x-cos x-sin xcos x的值域为_________________ 。 ? 2 ?

解析 设 t= sin x- cos x,则 t2= sin2x+ cos2x-2sin xcos x, 1-t2 sin xcos x= ,且- 2≤t≤ 2。 2 t2 1 1 ∴ y=- +t+ =- (t-1)2+1。 2 2 2 1 当 t=1 时,ymax= 1;当 t=- 2时, ymin=- - 2。 2
? 1 ? ∴函数的值域为?- - 2,1?。 ? 2 ?

考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例 2】 ( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图像关于直线 x= 对称 4
? π? ? D.函数 f(x)在区间 0, ?上是增函数 2? ? ? 3π? ? (1)已知函数 f(x)= sin 2x+ ?(x ∈R),下面结论错误的是 2? ?

? 3π? 【解析】 f(x)= sin?2x+ ?=-cos 2x,故其最小正周期为 π,A 正 2? ?

确;易知函数 f(x)是偶函数,B 正确;由函数 f(x)=-cos 2x 的图像可知, π 函数 f(x)的图像不关于直线 x= 对称,C 错误;由函数 f(x)的图像易知, 4
? π? ? 函数 f(x)在 0, ?上是增函数,D 正确,故选 C。 2? ?

【答案】 C

?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点? ,0?中心对称,那么|φ|的 ?3 ?

最小值为( π A. 6 π C. 3

) π B. 4 π D. 2

? 4π ? ?2π ? 【解析】 由题意得 3cos?2× +φ?=3cos? +φ+2π? 3 ? ? ?3 ? ?2π ? 2π π =3cos? +φ?=0,∴ +φ= kπ+ , k∈ Z。 3 2 ?3 ?

π π ∴φ= kπ- , k∈ Z,取 k=0,得 |φ|的最小值为 。 6 6 【答案】 A

【规律方法】

(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取

得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0。

(2)对于函数 y= Asin(ωx+ φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低
点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函 数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断。

π? 变式训练 2 (1)(2015· 长沙一模)若函数 f(x)=2tan kx+3? ?的最小正周期 ?
2或3 。 T 满足 1<T<2,则自然数 k 的值为________

? ? ? ?

π 解析 由题意知,1< <2,即 k<π<2k。又 k∈N,所以 k=2 或 k=3。 k

(2)(2015· 四川卷)下列函数中,最小正周期为 π 且图像关于原点对称的 函数是( )
? π? ? B.y=sin 2x+ ? 2? ?

? π? ? A.y=cos 2x+ ? 2? ?

C.y=sin 2x+cos 2x
解析

D.y=sin x+cos x

? π? 2π 因为 y=cos?2x+ ?=- sin 2x,故 T= =π。 2? 2 ?

又因为-sin(-2x)= sin 2x,所以函数 y=-sin 2x 为奇函数,其图像 关于原点对称,故选 A。 答案 A

π ? π? π 4 ? ? (3)函数 y=2sin(3x+φ) |φ|< 的一条对称轴为 x= ,则 φ=________ 。 2 12 ? ?

π 解析 由 y= sin x 的对称轴为 x= kπ+ (k∈ Z), 2 π π 所以 3× +φ= kπ+ (k∈ Z), 12 2 π π π 得 φ= kπ+ (k∈ Z)。又 |φ|< ,所以 k=0,故 φ= 。 4 2 4

考点三

三角函数的单调性

三角函数的单调性是每年高考命题的热点,题型既有选择题、填空

题,也有解答题,难度适中,为中低档题。
角度一:求已知三角函数的单调区间

1 . (2015· 浙 江 卷 ) 函 数 f(x) = sin2x + sin xcos x + 1 的 最小 正周期 是 ?3π 7π ? ? ? ,k∈Z + k π , + k π π ________ ,单调递减区间是______________________ 。 8 ?8 ?

解析

1- cos 2x 1 1 f(x)= sin2x+ sin xcos x+1= + sin 2x+1= (sin 2x- 2 2 2

3 2 ? π? 3 cos 2x)+ = sin?2x- ?+ 。 2 2 4? 2 ? 2π π π 3π 3π 故 T= =π。 令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ , k∈ Z, 解得 kπ+ ≤x≤kπ 2 2 4 2 8 7π ?3π 7π ? + ,k∈ Z,故 f(x)的单调递减区间为? + kπ, + kπ?, k∈ Z。 8 8 ?8 ?

?π ? 2.(2015· 重庆卷)已知函数 f(x)=sin? -x?sin x- 3cos2x。 ?2 ?

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;

?π ? ? f(x)= sin - x?sin x- 3cos2x ?2 ?

= cos xsin x-

3 (1+ cos 2x) 2

1 3 3 ? π? 3 ? ? = sin 2x- cos 2x- = sin 2x- - , 2 2 2 3? 2 ? 2- 3 因此 f(x)的最小正周期为 π,最大值为 。 2

?π 2π? (2)讨论 f(x)在? , ?上的单调性。 ?6 3 ?
?π 2π? π 解 当 x∈? , ?时,0≤2x- ≤π,从而 3 ?6 3 ?

π π π 5π 当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增, 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤2x- ≤π,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减。 2 3 12 3
?π 5π? ?5π 2π? 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增;在? , ?上单调递减。 ?6 12? ?12 3 ?

角度二:已知三角函数的单调区间求参数
? π? ?π ? ? 3.已知 ω>0,函数 f(x)=sin ωx+ ?在? ,π?上单调递减,则 ω 的取值 4? ? 2 ? ?

范围是(

)
?1 3? B.? , ? ?2 4 ?

?1 5? A.? , ? ?2 4 ? ? 1? C.?0, ? 2? ?

D.(0,2]

π π π π π ?π π π? 解析 由 <x<π, 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 由题意知? ω+ ,πω+ ? 2 2 4 4 4 4 4? ?2 π 3π ? +2kπ, +2kπ(k∈ Z) 2 2 2π ? π? 且 ≥2×?π- ?, ω 2? ?

?πω+π≥π+2kπ,k∈Z, ?2 4 2 则? π 3π ? πω+ ≤ +2kπ,k∈ Z, 4 2 ?
1 5 故 ≤ω≤ 。 2 4 答案 A

且 0<ω≤2,

4.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R。若函数
f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称, π 则ω的值为________2 。

解析

? π? π π f(x)= sin ωx+cos ωx= 2sin?ωx+ ?,由 2kπ- ≤ωx+ ≤2kπ 4? 2 4 ?

π 2kπ 3π 2 kπ π + ,k∈ Z,解得 - ≤x≤ + , k∈ Z,即 f(x)的单调递增区间是 2 ω 4ω ω 4ω
?2kπ 3π 2kπ π ? ? - , + ?(k∈ Z), 4ω ω 4ω? ? ω

而 f(x)在区间(- ω,ω)内单调递增,所以

?2kπ- 3π ≤- ω?k∈ Z?, ? ω 4ω ?2kπ π ? + ≥ω?k∈ Z?, ? ω 4ω

?ω2≤-2kπ+3π?k∈ Z?, ? 4 解得? π 2 ?ω ≤2kπ+4 ?k∈ Z?。 ?
π 因为 ω2>0,所以只能取 k=0,这时有 0<ω2≤ 。① 4 又因为函数 f(x)的图像关于直线 x=ω 对称, π π π 2 所以 ω + = kπ+ (k∈ Z),即 ω =kπ+ (k∈ Z)。② 4 2 4
2

π π 由①②知 ω = 。故 ω= 。 4 2
2

角度三:利用三角函数的单调性求值域(或最值) π? 5.(2015· 天津卷)已知函数 f(x)=sin x-sin ?x- ?,x∈R。 6? ?
2 2?

(1)求 f(x)的最小正周期;

1- cos 2x 解 由已知,有 f(x)= - 2

? π? 1- cos?2x- ? 3? ?

2

? 1?1 3 = ? cos 2x+ sin 2x? 2? 2 2 ?

1 3 1 1 ? π? - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?。 2 4 4 2 ? 6? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π。 2

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值。 ? 3 4?



? π π? ? π π? ? ? 因为 f(x)在区间 - ,- 上是减函数,在区间?- , ? 上是增函 6? ? 3 ? 6 4?

? π π ? ? π? 1 ? π? 1 ?π? 3 数,f?- ?=- ,f?- ? =- ,f? ?= 。所以,f(x)在区间?-3, ? 上的 4 ? 6? 2 ?4? 4 ,4? ? 3? ?

3 1 最大值为 ,最小值为- 。 4 2

【规律方法】 三角函数单调性问题和常见类型及解题策略

(1)已知三角函数解析式求单调区间。①求函数的单调区间应遵循简单
化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律 “同增异减”;② 求形如 y= Asin(ωx+ φ) 或 y = Acos(ωx+ φ)( 其中, ω>0)的单调区间时,要视 “ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解。但如果ω<0,那么一定先借助 诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错。 (2)已知三角函数的单调区间求参数。先求出函数的单调区间,然后利 用集合间的关系求解。 (3)利用三角函数的单调性求值域 (或最值)。形如y=Asin(ωx+φ)+b或 可化为y= Asin(ωx+ φ)+b的三角函数的值域 (或最值 )问题常利用三角函数 的单调性解决。

S

思想方法

感悟提升

⊙3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sin x、cos x的有界性。

(2)化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦
函数单调性写出函数的值域(或最值)。 (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值

域(或最值)问题。

⊙4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题 (1)求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像。 (2)闭区间上值域(或最值)问题,首先要在定义域基础上分析单调性; 含参数的值域(或最值)问题,要讨论参数对值域(或最值)的影响。 (3)利用换元法求复合函数的单调性时,要注意x系数的正负。 (4)利用换元法求三角函数值域 (或最值)时要注意三角函数的有界性, 如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x,则y=(t-2)2+1≥1,解法错误。



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