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2015年高考数学《新高考创新题型》之11:推理与证明(含精析)


之 11.推理与证明(含精析)
一、选择题。 1.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(
2 2 2


2

A.由 an=2n﹣1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:数列{an}的前 n 项和 Sn=n

B.由 f(x)=xcosx 满足 f(﹣x)=﹣f(x)对

?x ? R 都成立,推断:f(x)=xcosx 为奇 函数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆
2 2 2 2

=1 的面积 S=π ab

D.由 (1 ? 1)2 ? 21 , (2 ? 1) 2 ? 22 , (3 ? 1) 2 ? 23 ,?,推断:对一切 n ? N , (n+1) >2
*
2

n

3 5 1 1 1 ? ? ? ( n? N? ) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , 2 2 2 3 n 7 ) f (16) ? 3 , f (32) ? ,由此推算:当 n ? 2 时,有( 2 2n ? 1 ? A. f (2n) ? (n? N ) 2 2( n ? 1) ? 1 ? B. f (2n) ? (n? N ) 2 2n ? 1 n ? C. f (2 ) ? (n? N ) 2 n?2 n ? D. f (2 ) ? (n? N ) 2
2.已知 f (n) ? 1 ? 3.将 n 2 个正整数 1 、 2 、 3 、 、 n 2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表 , 计算各行和各列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数 b


表的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的所有可能的“特征值”最大值为( A. 3 B. 2 C.

4 3

D.

3 2

4 .六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如,在平行四边形 ABCD 中,有

AC 2 ? BD2 ? 2( AB2 ? AD2 ) ,那么在图( 2 )的平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中有
2 2 2 2 AC1 ? BD1 ? CA1 ? DB1 等于(

)

D1 A1 B1

C1

D

C

D A 图(2) B

C

A

图(1)

B

2 A. 2( AB2 ? AD2 ? AA 1 )

2 B. 3( AB2 ? AD2 ? AA 1 )

2 C. 4( AB2 ? AD2 ? AA 1 )

D. 3( AB ? AD )
2 2

5.对于任意正整数 n,定义“ n !! ”如下: 当 n 是偶数时, n!! ? n ? (n ? 2) ? (n ? 4) ? 当 n 是奇数时, n!! ? n ? (n ? 2) ? (n ? 4) ? 现在有如下四个命题: ① (2003!!) ? (2002!!) ? 2003 ? 2002 ? ② 2002!! ? 21001 ?1001?1000 ? ③ 2002!! 的个位数是 0 ④ 2003!! 的个位数是 5。 其中正确 的命题有( .. A.1 个 ) C.3 个 D.4 个

? 6? 4? 2 ,

? 5 ? 3 ?1

? 3 ? 2 ?1 ;

? 3 ? 2 ?1 ;

B.2 个

6.将 n 2 个正整数 1 、 2 、 3 、?、 n 2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表, 计算各行和各列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数 b


表的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的所有可能的“特征值”最大值为( A.

3 2

B.

4 3

C. 2

D. 3

7.对于函数 f(x) ,若?a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)都是某一三角形的三边长,则 称 f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是( A.f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数” B.“可构造三角形函数”一定是单调函数 )

C.f(x)=

是“可构造三角形函数” (e 为自然对数的底数) ,则 f(x)一定

D.若定义在 R 上的函数 f(x)的值域是 是“可构造三角形函数”

8. 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数 (x∈R) , 如: [﹣1.3]=﹣2, [0.8]=0, [3.4]=3. 定 义{x}=x﹣[x],求{ A.1006 B.1007 }+{ C.1008 }+{ D.2014 }+?+{ }=( )

9. 从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列, 现有一个三角形框架在图中上下或左右移动, 使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )

A.2097

B.1553

C.1517

D.2111

10.若数列{an}满足:存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立,则称数列{an}为

周期数列,周期为 T.已知数列{an}满足 a1=m(m>0) ,an+1=

则下列结论

中错误的是( A.若 m= ,则 a5=3



B.若 a3=2,则 m 可以取 3 个不同的值 C.若 m= ,则数列{an}是周期为 3 的数列

D.?m∈Q 且 m≥2,数列{an}是周期数列 11.已知函数 f(x)定义域为 D,若?a,b,c∈D,f(a) ,f(b) ,f(c)都是某一三角形 的三边,则称 f(x)为定义在 D 上的“保三角形函数”,以下说法正确的个数有( ①f(x)=1(x∈R)不是 R 上的“保三角形函数” ②若定义在 R 上的函数 f(x)的值域为[ ③f(x)= ,2],则 f(x)一定是 R 上的“保三角形函数” )

是其定义域上的“保三角形函数”
x

④当 t>1 时,函数 f(x )=e +t 一定是[0,1]上的“保三角形函数” A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

12.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法 如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )

A.48,49

B.62,63

C.75,76

D.84,85

13.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条 件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a,b,c 是常数) , 如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( )
2

A.3.50 分钟

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟 +?+

D.4.25 分钟 <1(n∈N ,n≥3)的过程中:假设当 n=k
*

14.在用数学归纳法证明 f(n)= +
*

(k∈N ,k≥3)时,不等式 f(k)<1 成立,则需证当 n=k+1 时,f(k+1)<1 也成立.若 f(k+1)=f(k)+g( k) ,则 g(k)=( A. + B. + ﹣ ) C. ﹣ D. ﹣

二、填空题。 15.在 ?ABC 中,不等式 不 等 式

1 1 ? + A B

1 1 1 ? + + A B C 1 1 1 + +≥ C D E 3?

1 1 1 9 ? + ≥ 成立;在凸四边形 ABCD 中, A B C ? 1 1 6 ≥ 成 立 ; 在 凸 五 边 形 ABCDE 中 , 不 等 式 D2? 2 5 成立, ,依此类推,在凸 n 边形 A An 中 , 不 等 式 1 A2

1 1 ? + A1 A2

?

1 ≥_________________成立. An

16.已知点 A( x1 , a x1 ), B( x2 , a x2 ) 是函数 y ? a x (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象可

知, 线段 AB 总是位于 A、 B 两点之间函数图象的上方, 因此有结论

x1 ? x2 a x1 ? a x2 ? a 2 成立. 运 2

用类比思想方法可知, 若点 A( x1 , sin x1 ), B( x2 , sin x2 ) 是函数 y ? sin x( x ? (0, ? )) 的图象上 任意不同两点,则类似地有_________________成立. 17.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行,依此 类推,则(1)按网络运作顺序第 n 行第 1 个数字(如第 2 行第 1 个数字为 2,第 3 行第 1 个数 字 为 4 , ?) 是 _________________ ; (2) 第 63 行 从 左 至 右 的 第 4 个 数 字 应 是 _________________.

18.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六 边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在 这 个 过 程 中 , 向 量 OA 围 绕 着 点 O 旋 转 了 θ 角 , 其 中 O 为 小 正 六 边 形 的 中 心 , 则

sin

θ θ + cos = 6 6

.

19 .当 a0 , a 1, a 2 成等差数列时,有 a0 ? 2a1 ? a2 ? 0; 当 a0 , a1 , a2 , a3 成等差数列时,有

a0 ? 3a1 ? 3a2 ? a3 ? 0; 当 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 a0 ? 4a1 ? 6a2 ? 4a3 +a4 ? 0; 成等差数列时, 有













a0 , a1 , a2 ,

, an

















0 1 2 Cn a0 ? Cn a1 ? Cn a2 ?

n 如果 a0 , a1 , a2 , ? (?1)n Cn an ? 0 .

, an 成等比数列,类比上述方

法归纳出的等式为______________. 20.给定有限单调递增数列 {xn }(n ? N * ,数列 { xn } 至少有两项)且

xi ? 0(1 ? xi ? n) ,定义集合 A ? {( xi , x j ) |1 ? i, j ? n, 且i, j ? N *} .若对任意点 A1 ? ? ,
存在点 ? 2 ? ? 使得 OA1 ? OA2 (O 为坐标原点),则称数列 { xn } 具有性质 P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 ①数列 {xn }: -2,2 具有性质 P ; ②数列 { yn } :-2,-1,1,3 具有性质 P ; ③若数列 { xn } 具有性质 P ,则 { xn } 中一定存在两项 xi , x j ,使得 xi ? x j ? 0 ; ④若数列 { xn } 具有性质 P , x1 ? ?1, x2 ? 0 且 xn ? 1(n ? 3) ,则 x2 ? 1 . (2) 若 数 列 { xn } 只 有 2014 项 且 具 有 性 质 P, x1 ? ?1, x3 ? 2 , 则 { xn } 的 所 有 项 和 .(填上所有正确命题的序号)

S2014 ? _________________.
21. 在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点.若一个多边形 的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记 为 N,边界上的格点数记为 L.例如图中△ABC 是格点三角形,对应的 S=1,N=0,L=4.

(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别 是

;

(2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多边形对应的 N=71,L=18,则 S= 22.已知数列 A : a1 , a2 , (用数值作答).

, an ? 0 ? a1 ? a2 ?

? an , n ? 3? 具有性质 P :

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下 对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? ,

四个命题:①数列 0, 1, 3 具有性质 P ; ③若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ;

②数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P ;

④若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题有 .

特征值为 :

3 3 4 ;得到数表的所有可 能的不同“特征值”只有: , or ,所以当 n ? 2 时, 2 2 3 3 ,故选D. 2

数表的所有可能的“特征值”最大值为 4.C

【解析】平行四边形 ABCD 中,有 AC ? BD ? 2( AB ? AD ) ,两对角线的平方和等
2 2 2 2

于两邻边平方和的两倍,其中的 2 倍代表的是两条对角线,类比平面图形,在空间图形中, 对角线的平方和等于三条邻边的平方和的 4 倍。4 倍代表是的 4 条对角线。 5.D 【解析】根据条件中的描述,可以做出如下判断, ① :

(
,正确;

?

4

2

?

②: 2002!! ? 2002 ? 2000 ????4 ? 2 ? 21001 ?1001?1000 ????3? 2 ?1 ,正确; ③: 2002!! ? 2002 ? 2000 ????4 ? 2 ,等号右边的因子中有末位是 0 的整数,显然乘积的个 位数是 0;正确 ④:2003!! ? (2003 ? 2001????? 5 ? 3 ?1 ,等号右边的因子中有末位是 5 的整数,显然乘积 的个位数是 5,正确,∴正确的命题有 4 个. 6.A

2 同行或 【解析】当 n ? 2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行两列的数表,当 1,

4 4 3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为 或 ;当 1, 3 3 3 4 3 4 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 或 ;故这些可能的“特征值”的最 ;当 1, 2 3 2 3 大值为 . 2
同列时,这个数表的“特征值”为 7.D 【解析】由题,根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项 解:对于 A 选项,由题设所给的定义知,?a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)都是某一正 三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故 A 选项错误; 对于 B 选项,由 A 选项判断过程知,B 选项错误; 对于 C 选项,当 a=0,b=3,c=3 时,f(a)=1>f(b)+f(c)= ,不构成三角形,故 C 错 误; 对于 D 选项,由于 ,可知,定义在 R 上的函数 f(x)的值域是 (e

为自然对数的底数) ,则 f(x)一定是“可构造三角形函数”,故 D 正确 故选:D.

10.D 【解析】由给出的递推式,把选项 A、B、C 中的 m 及 a3 分别代入递推式验证,可以判断选项 A、B、C 正确,由排除法可以断定不正确的选项是 D.

解:由 an+1=

,且

<1,

所以,



<1,

>1,a5=a4﹣1=4﹣1=3.故选项 A 正确;

由 a3=2,若 a3=a2﹣1=2,则 a2=3,若 a1﹣1=3,则 a1=4. 若 ,则 . ,则 ,若 ,则 .

由 a3=2,若

若 若

,则 a1=2,不合题意.所以,a3=2 时,m 即 a1 的不同取值由 3 个.故选项 B 正确; >1,则 ,所以 , .

故在

时,数列{an}是周期为 3 的周期数列,选项 C 正确;

选项 A、B、C 均正确,不正确的选项即可排 除 A、B、C,由选择题的特点可知,不正确的选 项是 D.故选 D. 11.B 【解析】由题目已知中 ,根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出 正确选项. 解:对于①,由题设所给的定义知,?a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)都是某一正三角 形的三边长,是“可构造三角形函数”,故①错误; 对于②,若函数 f(x)的值域为[ 函数”,故②正确; 对于③,当 a=0,b=3,c=3 时,f(a)=1>f(b)+f(c)= ,不构成三角形,故③错误; 对于④,由于函数 f(x)=e +t 一定是[0,1]上的最小值为 1+t,最大值为 e+t, 若 t>1,则 2(1+t)>e+t,故 f(x)一定是“可构造三角形函数”,故④正确;故选:B. 12.D 【解析】本题考查的知识点是归纳推理,分析已知图形中座位的排列顺序,我们不难发现座 位排列的规律,即被 5 除余 1 的数,和能被 5 整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在 一起,且有一个靠窗,分析答案中的 4 组座位号,不难判断正确的答案. 解:由已知图形中座位的排列顺序, 可得:被 5 除余 1 的数,和能被 5 整除的座位号临窗, 由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析 答案中的 4 组座位号,只有 D 符合条 件. 13.B 【解析】由提供的数据,求出函数的解析式,由二次函数的图象与性质可得结论 解:将(3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5)分别代入 p=at +bt+c,可得
2 x

,2],由 2

>2,故 f(x)一定是“可构造三角形



解得 a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2, ∴p=﹣0.2t +1.5t﹣2,对称轴为 t=﹣ 14.B 【解析】根据 f(n)= = +?+ +?+ + +?+ ,可知 f(k)= +?+ , f ( k+1 )
2

=3.75.故选:B.

,从而可得 n=k 到 n=k+1 变化了的项. ,f(k+1)= +?+

解:∵f(k)= ∴f(k+1)﹣f(k)=

∵f(k+1)=f(k)+g(k) ,∴g(k)=

故选 B.

15.

n2 ? n ? 2? ? 1 1 ? + A1 A2 ? 1 n2 ,从而得 ≥ An ? n ? 2? ?

【解析】我们可以利用归纳推理的方法得到不等式 出结论. 16.

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 2 2

【解析】由于函数 y ? a x (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位于
x1 ? x2 a x1 ? a x2 ?a 2 成立;而函数 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 2

y ? sin x( x ? (0, ? )) 的图象上任意不同两点 A( x1 , sin x1 ), B( x2 , sin x2 ) 的线段总是位于 A、
B 两点之间函数图象的下方,类比可知应有:

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 成立. 2 2

20.(1) ①③④;(2) 2

2013

-2

【解析】(1).对 于 数 列 ?xn ? , 若 A ,则 A ;若 A ,则 A ; ( ) ( ) ( ?2 ) ( ) 2 2, 2 2 2,? 2 1 - 2, 2 1 - 2, 均 满 足 OA1 ? OA2 , 所 以 具 有 性 质 P, 故 ①正确;对 于 数 列 ? yn ? , 当 A 时, ( ) 1 -2, 3 若存在 A 满 足 OA1 ? OA2 , 即 ?2 x ?3 y ? 数 列 ? yn ? } 中 不 存 在 这 样 的 数 x , 0 , ( ,y ) 2 x y , 因 此 不 具 有 性 质 P , 故 ②不正确;取 A , 又 数 列 ?xn ? 具 有 性 质 P , 所 以 ( 1 xi,xi) 存在点 A 使 得 OA1 ? OA2 , 即 xi xi ? xi x j? 0 , 又 xi ? 0 , 所 以 xi ? x j ? 0 , ( 2 xi,x j) 故 ③正确;数 列 ?xn ? 中 一 定 存 在 两 项 xi,x j 使 得 xi ? x j ? 0 ; 又 数 列 {x n } 是 单 调 递 增 数 列 且 x 2 > 0 , xn ? 1(n ? 3) ,所 以 x2 ? 1 ,故 ④正确;(2) 由( 1 )知 , x2 ? 1 .若 数 列 ?xn ? 只 有 2014 项 且 具 有 性 质 P ,可 得 x4 ? 4,x5 ? 8 ,猜 想 数 列 ?xn ? 从 第 二 项 起 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 则 S2014 ? ?1 ? 21.(1)3,1,6 (2)79

(1 ? 22013 ) ? 22013 ? 2 . 1? 2

【解析】 (1)四边形 DEFG 可看作由 3 个边长为 1 的正方形构成,故 S=3,内部有一个格点,N=1, 边界上有 6 个格点,即 L=6. (2)取题图中的三角形 ABC,四边形 DEFG,再取一个边长为 2 的格点正方形,

?a ? 1, ?1 ? a ? 0 ? b ? 4 ? c , ? ? 1 ? 可得 ?3 ? a ?1 ? b ? 6 ? c , 错误!未找到引用源。解得 ?b ? , 错误!未找到引用源。当 2 ? 4 ? a ?1 ? b ?8 ? c , ? ? ? ?c ? ?1,
N=71,L=18 时,S=71+ 22. ②③④ 【解析】①数列 0, 1, 3 不具有性质 P ,因为 a3 ? a1 ? 3 ? 1 ? 4, a3 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 都不是该数 列中的数,故①不正确; ②数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P ,因为 a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项; ③若数列 A 具有性质 P ,对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该 数列中的一项,选择 an 和 an ,则 an ?an ? 2 an 与 an ? an ? 0 两数中至少有一个是该数列中 的一项,因为 0 ? a1 ? a2 ?
? an , n ? 3 ,很明显 2an 不是该数列中的项,所以 0 是该数列中

1 错误!未找到引用源。×1 8-1=79. 2

的项,则只能 a1 ? 0 ,故③正确; ④若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,所以 a3 ? a1 与 a3 ? a1 至少有一项是该数列 中 的一项,且 a1 ? 0 ,


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