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专题——函数综合题


专题——函数综合题

1、如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的
边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的

负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过
点A、B, 且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点

P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,

同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t

之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.

②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得
以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果 存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

2.如图示已知点M的坐标为(4,0),以M为圆心,以2 为半径的圆交x轴于A、B两点,抛物线 y ? 1 x 2 ? bx ? c 过A、 6 B两点且与y轴交于点C. (1)求点C的坐标并画出抛物线的大致图象 (2)已知点Q(8,m)是抛物线上的一点,P为抛物线对 称轴上一动点,求出P点坐标使得PQ+PB值最小,并求出 最小值.

(3)过C点作⊙M的切线CE,求直线OE的解 析式.

3.如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为 (0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动 点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN 平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。 (1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN; (2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的 面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m x=1 y 的取值范围;
A M P N

C
O

x

(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直 线x=1上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形? 如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰三角形 的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。
y x=1

A M P N

C O x B

4、关于x的二次函数y=-x2+(k2-4)x+2k-2以y
轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方.

(1)求此抛物线的解析式;
D1
C2

y

A1 B1
B2

x

C1

D2

A2

(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂
直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D, 过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD.设矩形ABCD
y

的周长为l,点A的横坐标为x, 试求l关于x的函数关系式;
C2 C1 B1 D1 A1 B2 x

D2

A2

(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD
能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长; 若不能,请说明理由.
y

D1 C2 C1

A1 B2 B1 x

D2

A2

5、如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边 OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=1, OC=2,点D在边OC上且OD= (1)求直线AC的解析式; 。

(2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC
交于点M,使得△DMC为等腰三角形?若存在,直接 写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明 理由。

(3)抛物线y=-x2经过怎样平移,才能使得平移后
的抛物线过点D和点E(点E在y轴的正半轴上),

且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处。

6、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣ (1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标; (2)在抛物线上求点P,S△POA= 2S△AOB; ).

(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB
相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在, 请说明理由.

7、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B

(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小

时,求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角
形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标; 若不存在,请说明理由.


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