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2014苏教版必修一第一章集合章末知识练习题及答案解析


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数学· 必修 1(苏教版)

一、 元素与集合的关系

已知 A={x|x=m+n· 2,m,n∈Z}. 1 ,x2= 9-4 2,x3=(1-3 2)2,试判断 x1, 3-2 2
W w .x K b 1.c o M

/>
(1)设 x1=

x2,x3 与 A 之间的关系;w

(2)任取 x1,x2∈A,试判断 x1+x2,x1· x2 与 A 之间的关系; 1 (3)能否找到 x0∈A,使 ∈A,且|x0|≠1? x0 分析:分清楚集合 A 中元素具备什么形式. 1 =3+2 2,则 x1∈A, 3-2 2

解析:(1)由于 x1=

由于 x2= 9-4 2= ?1-2 2?2=-1+2 2, 则 x2∈A,由于 x3=(1-3 2)2=19-6 2, 则 x3∈A. (2)由于 x1,x2∈A, 设 x1=m1+n1 2,x2=m2+n2· 2(其中 m1,n1,m2,n2∈Z). 则 x1+x2=(m1+m2)+(n1+n2) 2, 其中 m1+m2,n1+n2∈Z,则 x1+x2∈A.
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由于 x1x2=(m1+n1 2)(m2+n2 2) =(m1m2+2n1n2)+(m1n2+m2n1)· 2, 其中 m1m2+2n1n2,m1n2+m2n1∈Z,则 x1x2∈A. (3)假设能找到 x0=m0+n0 2∈A(其中 m0, n0∈Z)符合题意, 则: -n0 1 1 m0 = = 2 · 2∈A, 2+ 2 x0 m0+n0· 2 m0-2n0 m0-2n2 0 -n0 m0 则 2 2∈Z, 2 2∈ Z . m0-2n0 m0-2n0 于是, 可取 m0=n0=1, 则能找到 x0=-1+ 2, 又能满足|x0|≠1, 符合题意. 点评: 解决是否存在的问题主要采用假设法: 假设存在某数使结 论成立,以此为基础进行推理.若出现矛盾,则否定假设,得出相反 的结论; 若推出合理的结果, 则说明假设正确. 这种方法可概括为“假 设—推理—否定(肯定)假设—得出结论”.

?变式训练 1.设集合 A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=3k+1,k∈Z},C= {x|x=3k+2,k∈Z},任取 x1∈B,x2∈C,则 x1+x2∈________, x1x2∈________,x1-x2∈________,x2-x1∈________. (注:从 A,B,C 中选一个填空)

解析:设 x1=3m+1,x2=3n+2,m,n∈Z,则 x1+x2=3(m+ n+ 1)∈A;x1x2=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2∈C;x1-
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x2=3m-3n-1=3(m-n-1)+2∈C;x2-x1=3n-3m+1=3(n-m) +1∈B. 答案:A C C B

2.已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}.

(1)若 A=?,求实数 a 的取值范围;

(2)若 A 中只有一个元素,求实数 a 的值,并把这个元素写出来.

解析:(1)A=?,则方程 ax2-3x+2=0 无实根, 9 即 Δ=9-8a<0,∴a> . 8
? ? 9 ? ∴a 的取值范围是?a?a>8 ?. ? ? ?

(2)∵A 中只有一个元素,
?2? ∴①a=0 时,A=?3?满足要求. ? ?

②a≠0 时, 则方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实根. 故 Δ=9-8a=0,
?4? 9 ∴a= ,此时 A=?3?满足要求. 8 ? ?

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9 综上可知:a=0 或 a= . 8

二、集合与集合的关系

A={x|x<-1 或 x>2},B={x|4x+p<0},当 B?A 时,求 实数 p 的取值范围.

分析:首先求出含字母的不等式,其次利用数轴解决.
? ? p ? 解析:由已知解得,B=?x?x<-4 ?. ? ? ?

又∵A={x|x<-1 或 x>2},且 B?A,利用数轴. p ∴- ≤-1. 4 ∴p≥4,即实数 p 的取值范围为{p|p≥4}. 点评: 在解决两个数集包含关系问题时, 避免出错的一个有效手 段是合理运用数轴帮助分析与求解.

三、集合的综合运算

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已知集合 A={(x,y)|x2-y2-y=4},B={(x,y)|x2-xy- 2y2=0},C={(x,y)|x-2y=0},D={(x,y)|x+y=0}.

(1)判断 B、C、D 间的关系;

(2)求 A∩B.

分析:对集合 B 进行分解因式,读懂集合语言. 解析:(1)∵x2-xy-2y2=(x+y)(x-2y), ∴B={(x,y)|x2-xy-2y2=0} ={(x,y)|(x+y)(x-2y)=0} ={(x,y)|x-2y=0 或 x+y=0} ={(x,y)|x-2y=0}∪{(x,y)|x+y=0}=C∪D.
2 2 ? ?? ? ?x -y -y=4, ? (2)A∩B=??x,y??? 2 2 ?x -xy-2y =0 ? ? ? ? 2 2 ? ?? ? ?x -y -y=4, ? =??x,y??? ??x-2y??x+y?=0 ? ?? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ? ?

? ?? ?x2-y2-y=4, ? ? =??x,y??? ? ?x+y=0 ?? ?
2 2 ? ?? ? ?x -y -y=4, ? 或??x,y??? ? ?x-2y=0 ?? ?

??8 4? ? =??3,3?,?-2,-1?,?4,-4??. ?? ?

设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0}, 则集合?A(A∩B) =________.
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分析:首先简化集合 A 和 B,再借助数轴求解. 解析:∵A={x|-4<x<4},B={x|x<1 或 x>3}, ∴A∩B={x|-4<x<1 或 3<x<4},X k B ∴?A(A∩B)={x|1≤x≤3}. 答案:{x|1≤x≤3} 点评:解集合问题,重要的是读懂集合语言,明确意义,用相关 的代数或几何知识解决.
1 . c o m

?变式训练 3.已知 M,N 为集合 U 的非空真子集,且 M≠N,若 M∩?UN =?,则 M∪N=( A.M B.N )

C.U

D.?

答案:B

4.已知全集 U={实数对(x,y)},A=??x,y??
? ?

? ?

? y-4

=3 ?,B= ?x-2 ? ?

? ?

{(x,y)|y=3x-2},求(?UA)∩B.

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? ?y-4 ? =3? ={(x,y)|y=3x-2,且 x≠2},∴(? 解析:A=??x,y?? ? ?x-2 ?
UA)∩B={(x,y)|x=2,y=4}={(2,4)}.

四、 空集的地位和作用 已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0},若 A∩R+=?,则 实数 m 的取值范围是________[其中 R+=(0,+∞)].

分析:从方程的观点来看,集合 A 是关于 x 的实系数一元二次 方程 x2+(m+2)x+1=0 的解集,而 x=0 不是该方程的解,所以由 A∩R+=?可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式 转化为关于 m 的不等式,解出 m 的范围即可.

解析:由于 A∩R+=?和该方程没有零根,所以该方程只有两个 负根或无实数根,从而有
2 ? ?Δ=?m+2? -4≥0, ? 或 Δ=(m+2)2-4<0, ? ?-?m+2?<0

解得 m≥0 或-4<m<0,即 m>-4. 答案:{m|m>-4} 点评:由于集合的联系性较强,应注意体会和提炼数学思想 (如 数形结合、方程思想和分类讨论思想).

?变式训练

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5.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}

(1)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围;

(2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围.

解析:(1)A∩B=B?B?A,当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?, m+1≥-2, ? ? 满足 B?A; 当 m+1≤2m-1 时, 要使 B?A, 则?2m-1≤5, ? ?m+1≤2m-1 2≤m≤3. 综上,m 的取值范围为{m|m≤3}. (2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 A∩B=?.
? ?m+1≤2m-1, 当 B≠ ? 时 , 要 使 A∩B = ? , 则 必 须 ? ? ?m+1>5 ? ?m+1≤2m-1, ? ?m>4. ? ?2m-1<-2

?



综上,m 的取值范围是{m|m<2 或 m>4}.

五、 集合中的信息迁移题 约定“ ? ”与“?”是两个运算符号,其运算法则如下: a+b 对任意的 a, b∈R, 有 a ? b=a-b, a?b= .设 U={c|c=(a ? b) ?a-b?2+1
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a?b +(a?b),-2<a≤b<1,且 a,b∈Z},A={d|d=2(a ? b)+ b ,- 1<a<b<2,且 a,b∈Z},求?UA.

分析:本题的难点在接受题中临时约定的运算符号及其运算法 则,关键是要按照规定,把符号 “ ”与“?”表示的运算转化为通 常的“+,-,×,÷ ,?”等运算.然后化简集合 U 及 A,最后再 由补集的定义求出?UA.

解析: 由-2<a≤b<1 且 a, b∈Z 可知, a=-1, b=-1 或 b=0; a=0, b=0.根据题中对符号“ ? ”与“?”及其运算法则的约定, 有: (1)若 a=-1,b=-1, 则 c=(a ? b)+(a?b) 新-课 -标 -第- 一-网 =(-1)-(-1)+ ?-1?+?-1? =-2; ?-1+1?2+1

(2)若 a=-1,b=0, 则 c=(a ? b)+(a?b) =(-1)-0+ ?-1?+0 3 =- ; 2 2 ?-1-0? +1

(3)若 a=0,b=0, 则 c=(a ? b)+(a?b)=0-0+ 0+0 =0. ?0-0?2+1
?

? 3? 由(1)、(2)、(3),可知 U=?-2,0,-2?. ?

下面确定 A:由-1<a<b<2,且 a,b∈Z, 可得,a=0,b=1,此时,新-课 -标 -第- 一-网 a?b 0+1 ? 3? 3 d=2(a ? b)+ b =2×(0-1)+ =- , 所以 A=?-2?, 2 2 ? ? ?0-1? +1
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所以?UA={0,-2}.

点评: 在近几年的高考试题和各地的高中模拟考试试题中频频出 现新定义型集合, 这类问题的求解并不是很难, 只要按照其定义方式 求解即可. 这类题的目的在于培养学生的创新能力、 接受临时性定义 的能力.

?变式训练 6.设全集为 U,A、B 是 U 的子集,定义集合 A 与 B 的运算: A*B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},则(A*B)*A 等于( A.A B.B )

C.(?UA)∩B

D.A∩?UB

解析:利用 Venn 图. 答案:B
X| k |B| 1 . c|O |m

7.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

?
a b

a a b

b b b

c c b

d d B

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c d

c d

b b

c b

B D

?
a b c d 那么 d ? (a ? c)=(

a a a a a

b a b c d

c a c c a

d a d a d

)

A.a B.b C.c D.d 解析:有定义可得 a ? c=c, ∴d?(a ? c)=d?c=a. 答案:A 新| 课 |标 |第 |一| 网

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