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荷山中学高二数学竞赛试卷


2011 年惠安荷山中学高二数学竞赛试卷
班级_____姓名_________座号____成绩______
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

?log 2 x ? x ? 0 ? ? ? 1 ?? ? 1. 已知函数 f ? x ? ? ? x ,则 f ? f ? ? ? 的值是( ? x ? 0? ? ?

4 ?? ?3 ?
A.

)

1 9

B. ?

1 9

C. 9

D. ?9

2 2. 数 集 A ? ?a, 2 ,数 集 B ? a , 4 , 若 任 意 x ? A, y ? B , 总 有 ?

?

?

x ? y ,则实数 a 的取值范围是(
A. (??, ? 2) C. (? 2, 4)

)

B. (??, ? 2) ? ( 2, 4) D. (? 2, 2) ? (2, 4)
(第 3 题图)

3.在边长 AB ? 2 , BC ? 3 的矩形 ABCD 内,作等边三角形 ABE (如图) O 为 AB 中点, , 当动点 M 在折线 AEB 上运动时,射线 OM 与线段 CD 相交的概率 p ? ( )

A.

1 3

B.

1 1? 3

C.

3 2

D.

1 2

1

6

a

4. 某几何体的三视图如下所示,则该几何体体积的最大值为( A.

正视图

左视图

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2

(第 4 题图)
俯视图

5. 已知函数 f ? x ? ? ?

?1, x ? a 2 , 函数 g ?x ? ? x ? x ? 1 , 函数 h?x ? ? g ?x ? ? f ?x ? 有两个零点, ?0, x ? a
) C. a ? 0 D. a ? 0

则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? 1

6. 某厂生产的一种饮料售价 2 元,销售中还规定 5 个空瓶子可换取一瓶新饮料(含瓶) ,该种饮 料每瓶成本 1 元(含瓶) ,那么该种饮料每瓶利润应是( A.1 B.0.60 C.0.64 D.1.04 ) )元.

7. 周长为 6 的钝角三角形的三边成等差数列,则公差 d 的取值范围是( A. 0 ? d ? 1 B. 0 ? d ? 2 C. 0 ? d ? ② y ? x ? cos x

1 2

D.

1 ? d ?1 2
④ y ? x ? 2 的图象(部
x

8. 现有四个函数:① y ? x ? sin x

③ y ? x ? cos x

分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( y y y x X X X X

) y

o A.①④③②

x B.④①②③

x C. ①④②③

x

x

D.③④②①

1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 9.从甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人中选出 3 人组成一个辩论赛队,要求满足如下三个条件: ①甲、丙两人中至 少要选上一人;○乙、戊两人中至少要选上一人; 2 ③乙、丙两人中的每个 人都不能与戊同时入选。 如果乙未被选上,则一定入选的两人是 10.按如图所示的程序框图运算,若输出 k ? 2 , 则输入 x 的取值范围是______; ;

?y ? 0 ? 11.在坐标平面上有两个区域 M , N , M : ? y ? x , N 是随 t 变化 ?y ? 2 ? x ?
的区域,它由不等式 t ? x ? t ? 1 所确定, t 的取值范围是 0 ? t ? 1 , 则 M 和 N 的公共面积是函数 f (t ) =________________; 12. 若对任意满足 a ? 0 且 a ? 1 的实数 a ,函数 f ? x? ? loga ? x ? m ? n恒过定点 ? 2, 1? ,则 ?
(第 10 题图)

m ? n ? _____。
三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分) 13. (本小题满分 10 分) 已知 ?3, ?1 是二次函数 f ( x) 的两个零点,且 f ( x) 在 (??, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , ??) 上单 调递减。 (Ⅰ)求 x0 的值,并求 f ( x) ? 0 的解集。 (Ⅱ)设 f ( x) 与 x 轴交于点 M , N ,点 P 为 f ( x) 的顶点,点 Q 为 f ( x) 与 y 轴的交点。 求证:向量 MQ 与向量 PN 平行。

???? ?

????

2

14. (本小题满分 10 分) 已知 m ? R ,直线 l : mx ? (m2 ? 1) y ? 4m 和圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长之比为

1 的两段弧?请说明理由。 2

15. (本小题满分 10 分) 已知圆 x 2 ? y 2 ? k 2 至少覆盖函数 f ( x) ? 3 sin 求实数 k 的取值范围。

?x
k

的一个最大值点与一个最小值点。

3

16. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 是等差数列,且 a2 ? 1, a5 ? 7 . (Ⅰ)若数列 ? an ? 的前 21 项中去掉某一项后剩下的项的平均值为 19 ,请问去掉的是数列的 第几项?求出该项的值; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? 10 ? (2n ? 5)2n ?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公 式, 并探索:去掉数列 ?bn ? 的前 9 项中的某一项后, 能否使剩下的项的平均值为整数? 若可以,说明去掉的是第几项,若不可以,说明理由。

4

解: (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d ,则 d ?

a5 ? a2 7 ? 1 ? ? 2 , a1 ? a2 ? 2 ? ?1 5?2 3

? an ? a1 ? ? n ? 1? d ? ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 3

?数列 ?an ? 的前 21 项和为 S 21 ? 21? ? ?1? ?

21? 20 ? 2 ? 399 , 2

设去掉的是数列 ? an ? 的第 m 项 am ?1 ? m ? 21, n ? N ? ,依题意有: 399 ? am ? 20 ?19 ? 380

? am ? 19 ? 2m ? 3 ? m ? 11 ,即去掉的是数列的第 11 项,值为 19.
(Ⅱ)记 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? 10 ? (2n ? 5)2n?1 ,则: 1 ○当 n ? 2 时, anbn ? Tn ? Tn?1 ? 10 ? ? 2n ? 5? 2n?1 ? 10 ? ? 2n ? 7 ? 2n ? ? 2n ? 3? 2n , 又由(Ⅰ)得: an ? 2n ? 3 ,? bn ? 2 ○当 n ? 1 时, T1 ? a1b1 ? ? ?1? b1 ? ?2 ? b1 ? 2

? 2n ? 3 ? 2 n
an

? 2n
n

由○○得: bn ? 2 1 2

设去掉数列 ?bn ? 的前 9 项中的第 m 项后的平均值为 x ,则

2 ?1 ? 29 ? x? 1? 2 8

? am

?

1022 ? 2m 3 ? 127 ? 2m?3 ? 8 4

3 ? 127 ? 0.5 ? 126.5 不是整数; 4 3 ?1 当 m ? 2 时, 127 ? 2 ? ? 127.25 不是整数, 4
当 m ? 1时: 127 ? 2 ?
?2

当 3 ? m ? 9 , m ? N 时, 2 m?3 为整数,故 127 ? 2

m?3

为整数,所以 127 ? 2

m?3

3 ? 不是整数。 4

5

21.

22. 解: (Ⅰ)

? ?3 , ?1 是二次函数 f ? x ? 的两根

? f ? x ? ? a ? x ? 3?? x ? 1? ? ax2 ? 4ax ? 3a

? f ? x ? 在 ? ??, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ?? ? 上单调递减
? x0 是 g ? x ? 的极大值点

?a ? 0 ,且 f ? ? x0 ? ? 2ax0 ? 4a ? 0 ,解得: x0 ? ?2
又由 a ? x ? 3? ( x ? 1) ? 0 ? a ? 0 ? 得: ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ? ?3 ? x ? ?1 , 即 f ? x ? ? 0 的解集为 ? x | ?3 ? x ? ?1?

M N (Ⅱ) (Ⅰ) f ? x ? ? a ? x ? 3?? x ? 1? ? ax ? 4ax ? 3a ? a ? 0 ? , ? ?3, 0 ? , ? ?1, 0 ? , 由 得:
2

由 f ? ?2 ? ? ? a 得: P ? ?2, ? a ? , f ? 0 ? ? 3a 得: Q ? 0,3a ? ,则

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? MQ ? ? 3,3a ? , PN ? ?1, a ? ,? MQ ? 3PN ,? MQ / / PN

6


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