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定积分在几何中的应用学案


1.7.1 定积分在几何中的应用学案
【学习目标】 1. 理解定积分概念、 性质和几何意义的基础上, 利用微积分基本定理, 熟练进行定积分的计算; 2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。 【学习重难点】 重点:理解定积分概念和性质。 难点:用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。 【学习过程】 一、合作探究: 探究 1:如何求由一条曲线 y ? f ( x) 和直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 所围成平面图形的面 积 S?
y

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

o

a
(1)

b

x
(2)

o
(2) S=________________

a

c
(3)

b

x

(1) S= _____________

(3)S=_______________

探究 2:如何求由两条曲线 y ? f ( x), y =g(x)和直线x ? a, x ? b(a ? b) 所围成平面图形的 面积 S?

y ? f ( x) y ? g ( x)
(4) (4) S= _____________ y=g(x)
(5)

y ? f ( x)

y
a (6)

y ? f ( x)

b
y ? g ( x)

x

(5) S=________________ (6)S=_______________

结论::
1.当 f ( x) 在 [a, b] 上有正有负时,则 S ? 2. 平面图形是由两条曲线 y1 围成,且

?

b

a

f ( x) dx 。

? f ( x),y2 ? g ( x),x ??a,b? 及直线 x ? a, x ? b 所
b a

f ( x) ? g ( x) .其面积都可以用公式 S ? ?

? f ( x) ? g ( x)?dx 求之.

二、典型例题 例 1 计算由曲线 y 2 ? x , y ? x 2 所围图形的面积 S.

1

例 2 计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2x 以及 x 轴所围图形的面积 S。

小结:由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草 图,再借助图形直观性,确定出被积函数,并通过解方程求得积分的上、下限. 求曲边梯形面积的方法与步骤: (1)画图:通过草图了解平面图形图形由哪些曲边梯形而成; (2)定限:对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; (3)被积:确定被积函数,要注意分清被积函数的上、下位置; (4)计算:用微积分基本定理计算定积分,求出每个曲边梯形的面积之和,得所求平面图形 的面积. 四、学习检测(展示实力的时候到了,要细心呦! ) 1.如右图 ,阴影部分 面积为( ) A. ?a [ f ( x) ? g ( x)] dx B. ?a [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ?c [ f ( x) ? g ( x)] dx C. ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?c [ g ( x) ? f ( x)] dx D. ?a [ g ( x) ? f ( x)] dx 2. 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上的两条光滑曲线的方程, 则由这两条曲线及直线 x ? a, x ? b 所围成的平面区域的面积为( ) A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b
b

b

c

b

b

b

B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx C. ? | f ( x) ? g ( x) | dx D.
a a

b

b

? ? f ( x) ? g ( x)?dx
b a

3.如右图,阴影部分的面积是( A. 2 3 C.



B. 9 ? 2 3 D.

3? ) 与坐标轴所围图形的面积是( 2 5 A.2 B.3 C. D.4 2 2 5.计算由 y ? x , y ? 2 x ? 3 所围图形的面积
4.曲线 y ? cos x(0 ? x ? 6.计算由 y ? e , y ? e , x ? 0 所围图形的面积.
x

32 3

35 3



2



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