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高中数学必修1人教A教案导学案2.3幂函数


2. 3 幂函数教案

【教学目标】 1.掌握幂函数的形式特征,掌握具体幂函数的图象和性质。 2.能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 【教学重难点】 教学重点:从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。 教学难点:引导学生概括出幂函数的性质。 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。

(二)情景导入、展示目标。 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练 习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数. 已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑 说出来。 设计意图:步步导入,吸引学新知:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 试试:判断下列函数哪些是幂函数. 1 ① y ? ;② y ? 2 x2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . x 探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5)
1
1

y ? x3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象,总结填写下表:
y?x
y ? x2 y ? x3
1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 (三)合作探究、精讲点拨。 例 1讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性. 解析 :证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性。 证明:任取 x1 , x2 ? [0,??) ,且 x1 ? x2 ,则

1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
因为 x1 ? x2 ,

x1 ? x 2 ?

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

?

x1 ? x 2 x1 ? x 2



x1 ? x 2 ? 0 ,所以

x1 ? x 2 x1 ? x 2

?0,

所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,即 f ( x) ? x 在 [0, ??) 为增函数。 点评:证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写,利用作商法比较大小时注意函数符号 要一致。 变式训练 1:讨论 f ( x) ? 3 x 的单调性. (学生板演,小组讨论) 例 2 比较大小: (1) (a ? 1)1.5 与 a1.5 (a ? 0) ; (2) (2 ? a 2 )
? 2 3

与2 3 ; (3) 1.1 2 与 0.9 2 .

?

2

?

1

?

1

分析:利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小。 变式训练 2
2

练习 1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单 调性. 练习 2. 比大小:
3 3 6 6

(1) 2.3 4 与 2.4 4 ; (3) ( 2) 2 与 ( 3)
? 3 ? 3 2

(2) 0.315 与 0.35 5 ;

(四)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?幂函数的图象和形 状就可能发生很大的变化。我们今天主要研究了幂函数在第一象限的性质。本课的设计采 用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决 重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检 测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 【板书设计】 一、幂函数概念及其性质 1. 概念 2. 性质 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】课本 79 页 2

2.3 幂函数学案

课前预习学案
2

一、预习目标 预习“五个具体的幂函数” ,初步认识幂函数的概念和性质。 二、预习内容 1.写出下列函数的定义域,并画出函数图象、指出函 数的单调性和奇偶性:

(1) y ? x 2 (4) y ? x ?2

1

??(2) y ? x 3 ?? (5) y ? x
? 3 2

1

??(3) y ? x 3 ?? (6) y ? x 5 ?

? 4

2

2.下列四个命题中正确的为 ( A.幂函数的图象都经过

B.当 n<0 时,幂函数 的值在定义域内随 x 的值增大而减小 C.幂函数的图象不可能出现在第四象限内 D.当 n=0 时,幂函数图象是一条直线 3.下列各式中正确的是 ( )

A.-2.4 <(-4.2) A.(0, +∞)

5 1 4 1 ? ? 2 2 B.( 6 ) <( 5 )
B.[0, +∞)

C.(-π ) >(-2 )

D.(-π ) <5 D.(-∞, +∞) ___

4.幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是。 C.(-∞, 0) 5. 已知幂函数 的图象与 x 轴、 轴都无公共点, y 且关于 y 轴对称, m=__ 则 三、提出疑惑 同学们,通过你的自 主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 1.掌握幂函数的形式特征,掌握具体幂函数的图象和性质。 2.能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 学习重难点:能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,概括出 幂函数的性质。 二、学习过程 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.
3
1

新知:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 试试:判断下列函数 哪些是幂函数. 1 ① y ? ;② y ? 2 x2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . x 探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5)
1

y ? x3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象,总结填写下表:
y?x
y ? x2 y ? x3
1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 三、 典型例题 例 1 讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性.

变式训练一:讨论 f ( x) ? 3 x 的单调性.

4

例 2 比较大小: (1) (a ? 1)1.5 与 a1.5 (a ? 0) ; (3) 1.1 2 与 0.9 2 .
? 1 ? 1

(2) (2 ? a 2 )

?

2 3

与2 3 ;

?

2

变式训练二
2

练 1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调 性.

练 2. 比大小:
3 3 6 6

(1) 2.3 4 与 2.4 4 ; (3) ( 2) 2 与 ( 3)
? 3 ? 3 2

(2) 0.315 与 0.35 5 ; .

四、反思总结 幂函数 y ? x? 的图象,在第 象限内,直线 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? . 五、当堂达标 1. 若幂函数 f ( x) ? x? 在 (0, ??) 上是增函数,则( A. ? >0 C. ? =0
4

).

B. ? <0 D.不能确定 ).

2. 函数 y ? x 3 的图象是(

5

A.

B.
1 2 1 ? 2

C.

D. ).

3. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是( A. a <l< b C. b <l< a B.1< a < b D.1< b < a

课后练习与提高
一、 选择题 1、下列所给出的函数中,是幂函数的是 A. y ? ? x 3 B. y ? x ?3 C. y ? 2x 3 D. y ? x 3 ? 1 ( ) ( )

2、下列命题中正确的是 A.当 ? ? 0 时函数 y ? x ? 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C.若幂函数 y ? x ? 是奇函数,则 y ? x ? 是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

3、 如图所示, 幂函数 y ? x ? 在第一象限的图象, 比较 0, ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ,1 的大小 ( A. ? 1 ? ? 3 ? 0 ? ? 4 ? ? 2 ? 1 B. 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 1 C. ? 2 ? ? 4 ? 0 ? ? 3 ? 1 ? ?1 D. ? 3 ? ? 2 ? 0 ? ? 4 ? 1 ? ?1
?1



?4

?2

?3

4. 比大小: (1) 1.3 2 _____1.5 2 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?2 . 5. 已知幂 函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为 6.若幂函数 y ? (m 2 ?3m ? 3) x .
1 1

m ? m ? 2 的图象不过原点,求: m 值。
2

6

7


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