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2009年全国高中数学联赛


2009 年全国高中数学联赛
——江西省预赛试题解答
一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分) 1、某人在将 2009 中间的两个数码 00 分别换成两位数 ab 与 cd 时,恰好都得到完全
平方数: 2ab9 ? m2 , 2cd 9 ? n2 , ? m ? n ? ,则数组 m ? n, ab ? cd ? (100, 100)

解:注意到,对于整数 k ,若 k 的末位数为 9 ,则 k 的末位数必为 3 或 7 ,易知
2

?

?

4 25 2 0 ? (5 442 ? 2000 ? 2ab9 ,

) ,5

2

3 0 ? 2 5 2 9 ? cd ,因此 44 ? m ? n ? 55 ,于是,
2 2

若要 m, n 满足条件,只可能是, m ? 47, n ? 53 ,由于 47 ? 2209 , 53 ? 2809 , 所以 ab ? 20, cd ? 80, m ? 47, n ? 53 , m ? n, ab ? cd ? ?100,100 ? .

?

?

2、 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的顶点和焦点, 则椭圆的方程为: 9 16

x2 y 2 ? ?1 16 25
解: 双曲线的两顶点为 ? 0, ? 3? , 两焦点为 ? 0, ? 5? , 故由条件, 椭圆的两焦点为 ? 0, ? 3? , 两顶点为 ? 0, ? 5? ,因此, c ? 3, a ? 5 , b ? a ? c ? 16 ,则椭圆的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 25

3、实数 x, y 满足 2x2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是1 ?
y 解: 令x? y ?t, 则 x ?t ?
, 由 2 ? t ?y
2

1 10 。 2
2 2

y ? ?3
2

2 ? 6 y

, 得 5 y ? 2 ? 2t ? 3? y ? 2t ? 0 ,

2 因 y 为实数,则判别式 ? ? 4 ? 2 t ? 3? ? 4 ? 5 ? 2 t ? 0 ,得

2 ? 10 2 ? 10 ?t ? . 2 2

4 、四面体 ABCD 中, CD ? BC, AB ? BC, CD ? AC, AB? BC? 1 ,平面 BCD 与
0

平面 ABC 成 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 解:DC ? AC ?

3 . 3

2 ,作 DE ? 平面 ABC ,垂足为 E ,连 CE ,AE ,由三垂线逆定理,

EC ? BC ,所以 ?DCE ? 450 ,故 CE ? DE ?

1 1 2 DC ? 1 , VABCD ? DE ? S ABC ? , 3 6 2

又因 ABCE 为正方形, AE ? 1 ,则 AD ? 2 ,因此正三角形 ACD 的面积为

3 ,设 B 到 2

平面 ACD 的距离为 h ,由 h ? S ACD ?

1 3

1 3 ,得 h ? 6 3

5、从集合 M ? ?1, 2,3,
素个数为 1072 .

, 2009? 中,去掉所有 3 的倍数以及 5 的倍数后,则剩下的元

解:集合 M 中, 3 的倍数有 ?

? 2009 ? ? 2009 ? ? 669 个, 5 的倍数有 ? ? 401个,15 的倍 ? ? 3 ? ? 5 ? ?

数有 ?

? 2009 ? ? 133 个,则剩下的元素个数为 2009 ? ? 669 ? 401 ?133? ? 1072 个. ? 15 ? ?
6 、函数 f ( x) ?

1 1 x ? x3 的值域是 [ ? , ] . 2 2 4 4 (1 ? x )

解: f ( x) ?

1 1 x 1 ? x2 ? ,令 x ? tan ? ,则 f ? sin 2? ? cos 2? ? sin 4? ,由此, 2 2 2 4 1? x 1? x

?

1 1 ? f ? , 4 4
当 x ? ? tan

?
8

, tan

?
8

时两边分别取得等号.

7 、 cos

?
15

? cos

2? 4? 7? 1 ? cos ? cos ?? . 15 15 15 2

解:原式 ? ? cos

? ?

?
15

? cos

7? ? ? 2? 4? ? 4? ? ? ? ? cos cos ? 2cos cos ? ? ? cos ? ? 2cos 15 ? ? 15 15 ? 15 5 15 5

? 2cos

??

? ? 1 4? ? ? ? ? ? ? ?2 cos sin ? ? . ? cos ? ? ?4cos sin sin ? cos 5 10 2 5? 15 15 ? 5 6 10
0 0

0 0 0 0 0 0 (注:由 sin 72 ? 2sin 36 cos36 ? 4sin18 cos18 cos36 ,则 sin18 cos 36 ?

即 cos

?
5

sin

1 ? . ) 10 4

?

1 , 4

8 、九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,

, a9 ,若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 为一

平方数, a2 ? a4 ? a6 ? a8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 18000 . 解:设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ? 1, a, a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 ,则有, 5a ? m ,
2

4a ? n3 , S ? 9a ,则 a ?

m2 n3 2 3 ? ,得 4m ? 5n ………① 5 4
2 1 3 1

Y

A

令 n ? 2n1 , m ? 5m1 , 得 100m ? 40n , 所 以

5m ? 2n , 再 取
2 1 3 1
D M F X E

2 2 ,取 m2 ? 10, n2 ? 2 ,可使左式成立, m1 ? 2m2 , n1 ? 5n2 ,化为 2m2 ? 52 n2

o

这时 n ? 20, m ? 100 , a ? 2000 , S ? 9a ? 18000 . 二、解答题(共 3 题,合计 70 分)

x2 9、 ( 20 分 )给定 Y 轴上的一点 A(0, a) ( a ? 1 ) ,对于曲线 y ? ? 1 上的动点 2
M ( x, y) ,试求 A, M 两点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示) .
解:如图,易求得曲线上诸点的坐标为: E(? 2, 0), F ( 2, 0), D(0,1) , 当 x ? 2 ,即 ? 2 ? x ?
2

2 时,曲线方程为 y ? 1 ?
x2 ? 1 ………②, 2

x2 ………①; 2

而当 x ? 2 时,曲线方程为 y ?
2

对于情形①,即 ? 2 ? x ?

2 时,显然当 M 位于顶点 D 处时,距离 AM 取得最小值

a ? 1 ;………5 分
对于情形②,即在 x ? ? 2 或 x ?

2 时,设点 M ( x,

x2 ? 1) ,由于 2

AM ? x 2 ? (
于 是

2

x2 1 ? 1 ? a)2 ? ( x 2 ? 2a)2 ? 2a ? 1,因 a ? 1 ,则 2a ? 2 , 2a ? 2 , 2 4
, 当

x ? 2a





AM











2a ? 1 ;
再比较 AD 与 AM :令 f (a ) ? AD ? AM
2

…………15 分
2

? (a ? 1) 2 ? (2a ? 1) ? a(a ? 4) ,

则当 1 ? a ? 4 时, f (a) ? 0 , AD ? AM ,即最小值为 AD ? a ?1;





a?4





f (a ? )

, 0









AM ? 2a ? 1 .

…………20 分

10 、 ( 25 分)在一个圆中任取三条互不相交的弦,以其中每两条弦为一组对

边,各得到一个凸四边形,设这三个四边形的对角线的交点分别为 M , N , P ; 证明: M , N , P 三点共线. 证 : 如 图 , 设 AB, CD, EF 为 三 条 不 相 交 的 弦 , 其 中
AC BD ? P , AF BE ? M , CE DF ? N ,又设
B F E A D
M P N H

BD CE ? H , 点 N , P, M 截 ?BEH 的三边, 据梅涅劳斯逆定理,

C

只 ①,





HP BM EN ? ? ?1 PB ME NH
…………5 分





用记号 ? 表示三角形面积,则由

BM ?BAF BA ? BF ? ? …… ② ME ?EAF EA ? EF

HP ?HAC ?HAC ?EAC CH EA ? EC CH ? EA ? ? ? ? ? ? ……③ PB ?BAC ?EAC ?BAC CE BA ? BC BA ? BC

由 此 得 ④, 注意

H P ? P B

B M ? M E

?C H B F EN ? BF CH ?1 , 因 此 只 要 证 , ?B C E F EF ? BC NH

… …

…………15 分

EN DN ? , ?BFD ? ?BCD ,则 EF DC

NH ?NBD ?FBD ? ?FBN FB ? FD ? FB ? FN FB ? ND FB EN ? ? ? ? ? ? , CB ? CD CB ? CD CB EF CH ?CBD ?CBD

所 以 证.

EN ? BF CH ?1 , 即 ④ 成 立 , 从 而 ① 成 立 , 故 结 论 得 EF ? BC NH
…………25 分

11 、 (25 分)n 项正整数列 x1 , x2 ,

, xn 的各项之和为 2009 ,如果这 n 个数既可分为

和相等的 41 个组,又可分为和相等的 49 个组,求 n 的最小值. 解: 设分成的 41 个组为 A1 , A 2 , 而 分 成 的 49 个 组 为 B1 , B2 , 组. 每组中的各数和皆为 49 , 称这种组为 A 类组; , A 41 ,

, B49 , 每 组 中 的 各 数 和 皆 为 41 , 称 这 种 组 为 B 类

…………5 分

显然,每个项 xk 恰好属于一个 A 类组和一个 B 类组,即同类组之间没有公共项,如果

两个组 Ai , B j 中有两个公共项 xr , xt ,则可以将这两个数合并为一个项 xr ? xt ,这样可使 n 值减少,故不妨设,每对 Ai , B j 至多有一个公共项. 今用点 u1 , u2 ,

, u41 分别表示 A1 , A 2 ,

而点 v1 , v2 , , A 41 ,

, v49 表示组 B1 , B2 ,

, B49 ,

如果组 Ai , B j 有公共项,则在相应的点 ui , v j 之间连一条边,于是得二部图 G ,它恰有 n 条 边和 90 个顶点. …………10 分 下面证明 G 是连通图. 如果图 G 的最大连通分支为 G ? ,其顶点数少于 90 ,设在分支 G ? 中,有 a 个 A 类顶点

uk1 , uk2 ,
Ak1 , Ak2 ,

, uka 和 b 个 B 类 顶 点 vs1 , vs2 ,
, Aka 和 B 类组 Bs 1 , Bs 2 ,

, vsb , 其 中 a ? b ? 90 , 则 在 相 应 的 A 类 组

, Bs b 中, A 类组 Aki 中的每个数 xi 都要在某个 B 类组
, Aka 中各数的和应等于 b 个 B

(否则将有边与 Bs j 中出现;而 B 类组 Bs i 中的每个数 x j 也都要在某个 A 类组 A r j 中出现, 分支外的顶点连接,发生矛盾) ,因此 a 个 A 类组 Ak1 , Ak2 , 类 组 Bs , Bs , 1 2

, Bs b 中 各 数 的 和 , 即 有 49a ? 41b , 由 此 得 41 a , 49 b , 所 以
9,矛盾!因此 0 G 是连通图.于是图 G 至少有 90 ? 1? 89条边,即
…………20 分

a ? b ? 4 1? 4 9 ? n ? 89 ;
取 x1 ?

另一方面,我们可实际构造一个具有 89 项的数列 x1 , x2 ,

, x89 ,满足本题条件.例如 ? x83 ? 1, x84 ? x85 ? 6,

? x41 ? 41, x42 ?

? x75 ? 8, x76 ?

? x79 ? 7, x80 ?

(该数列有 41 个取值为 41 的项; 34 个取值为 8 的项;另 x86 ? x87 ? 2 , x88 ? 5, x89 ? 3 , 将其余七个 8 拆成七对,其中四对 ?7,1? ,两对 ?6, 2? ,一对 ?5,3? ,又得到 14 个项) ,于是, 每个 A 类组可由一个 41 ,一个 8 ,或者由一个 41 ,添加一对和为 8 的项组成;这样共得 41 个 A 类组,每组各数的和皆为 49 ;为了获得和为 41 的 49 个 B 类组,可使 x1 , x2 ,

, x41 各

成一组, 其余的数可以拼成八个 B 类组:?8,8,8,8,8,1 ? 的组四个,?8,8,8,8,7, 2? 的组两个,

?8,8,8,8,6,3? 的组一个, ?8,8,7,7,6,5? 的组一个.故 n 的最小值为 89 .…25 分


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