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第8篇 第1讲 直线与方程


第1讲 [最新考纲]

直线与方程

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及 一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

知 识 梳 理 知 识 梳 理 1.

直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角;②规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合 时,规定它的倾斜角为 0;③范围:直线的倾斜角 α 的取值范围是[0,π). (2)直线的斜率 π ①定义:当直线 l 的倾斜角 α≠2时,其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条斜线的 斜率,斜率通常用小写字母 k 表示,即 k=tan_α;②斜率公式:经过两点 P1(x1, y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 2.直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 两点式 截距式 几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率 过两点 纵、横截距 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y a+b=1 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 适用条件 与 x 轴不垂直的直线 y2-y1 . x2-x1

与两坐标轴均不垂直的直线

不过原点且与两坐标轴均不垂直的

一般式

所有直线

3.线段的中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y), x1+x2 ? ?x= 2 , 则? y1+y2 ? ?y= 2 ,

此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

辨 析 感 悟 1.对直线的倾斜角与斜率的理解 (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(×) (2)过点 M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是 45° .(×) (3)(教材习题改编)若三点 A(2,3),B(a,1),C(0,2)共线,则 a 的值为-2.(√) 2.对直线的方程的认识 (4)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示.(×) (5)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2- x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(√) (6)直线 l 过点 P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程为 x+y-3= 0.(×) [感悟· 提升] 1. 直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数, 当倾斜角 α≠90° 时, k=tan

α.直线都有斜倾角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率, 如(1). 2.三个防范 一是根据斜率求倾斜角,要注意倾斜角的范围,如(2);

二是求直线方程时, 若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加 以讨论,如(4); 三是在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论,如(6).

考点一

直线的倾斜角和斜率 ).

【例 1】 (1)直线 xsin α+y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π? ?3π ? ? B.?0,4?∪? 4 ,π? ? ? ? ?

π? ? C.?0,4? ? ?

π? ?π ? ? D.?0,4?∪?2,π? ? ? ? ?

(2)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),则直线 l 的斜率为 1 A.3 1 B.-3 3 C.-2 ( ). 2 D.3

解析 (1)设直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ=-sin α,其中 sin α∈[-1,1],又 θ π 3π ∈[0,π),所以 0≤θ≤4或 4 ≤θ<π.故选 B. ?a+7=2, (2)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b),则有? 解得 a=-5,b=-3, ?b+1=-2, 从而可知直线 l 的斜率为 答案 (1)B (2)B -3-1 1 =-3. 7+5

规律方法 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间, π? ?π ? ? 因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分?0,2?与?2,π?两种情况讨论.由正切函 ? ? ? ? π? π ? 数图象可以看出当 α∈?0,2?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α= 时,斜率不存在; 2 ? ? ?π ? 当 α∈?2,π?时,斜率 k∈(-∞,0). ? ? 【训练 1】 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段 总有公共点,求直线 l 的倾斜角 α 的范围. 解 法一 kPA= 如图所示,

-2-?-1? =-1, 1-0 1-?-1? =1, 2-0

kPB=

π? ?3π ? ? 由图可观察出:直线 l 倾斜角 α 的范围是? 4 ,π?∪?0,4?. ? ? ? ? 法二 由题意知,直线 l 存在斜率.设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y+ 1=kx,即 kx-y-1=0. ∵A,B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上. ∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0.

∴-1≤k≤1. π? ?3π ? ? ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是? 4 ,π?∪?0,4?. ? ? ? ? 考点二 求直线的方程

【例 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的-4. (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点,且 5. 解 (1)法一 设直线 l 在 x, y 轴上的截距均为 a, 若 a=0, 即 l 过点(0,0)和(3,2), |AB| =

2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 法二 由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- k,令 x=0,得 y=2-3k, 2 由已知 3- k=2-3k, 2 解得 k=-1 或 k=3, 2 ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2=3(x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=-4×3=-4. 又直线经过点 A(-1,-3),

3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1), 即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. ?x=1, 解方程组? ?2x+y-6=0, 求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1), ?2x+y-6=0, 解方程组? ?y+1=k?x-1?, k+7 ? x = ? k+2, 得两直线交点为? 4k-2 y= ? ? k+2 . (k≠-2,否则与已知直线平行) ?k+7 4k-2? , ?. 则 B 点坐标为? ?k+2 k+2 ? ?k+7 ?2 ?4k-2 ? -1? +? +1?2=52, 由已知? ?k+2 ? ? k+2 ? 3 3 解得 k=-4,∴y+1=-4(x-1),即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 规律方法 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式 的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与 坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题 时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先 考虑斜率不存在的情况. 【训练 2】 △ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

y-1 解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, 由两点式得 BC 的方程为 = 3-1 x-2 ,即 x+2y-4=0. -2-2 (2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y), 2-2 1+3 则 x= 2 =0,y= 2 =2. BC 边的中线 AD 过 A(-3,0), D(0,2)两点, 由截距式得 AD 所在直线方程为 y 2=1,即 2x-3y+6=0. 1 (3)BC 的斜率 k1=-2,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0. 考点三 直线方程的综合应用 x + -3

【例 3】 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点, 如右图所示, 求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. 审题路线 根据截距式设所求直线 l 的方程?把点 P 代入, 找出截距的关系式? 运用基本不等式求 S△ABO?运用取等号的条件求出截距?得出直线 l 的方程. x y 解 设 A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线 l 的方程为a+b=1, 3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴a+b=1. 3 2 ∴1=a+b≥2 6 ab,即 ab≥24.

1 3 2 ∴S△ABO=2ab≥12.当且仅当a=b,即 a=6,b=4. △ABO 的面积最小,最小值为 12. x y 此时直线 l 的方程为:6+4=1. 即 2x+3y-12=0. 规律方法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的 x,

y 的关系,将问题转化为关于 x(或 y)的某函数,借助函数的性质解决; (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程 解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决. 【训练 3】 在例 3 的条件下, 求直线 l 在两轴上的截距之和最小时直线 l 的方程. 解 设 l 的斜率为 k(k<0), 则 l 的方程为 y=k(x-3)+2, 令 x=0, 得 B(0,2-3k), 2 ? ? 令 y=0,得 A?3-k,0?, ? ? ∴l 在两轴上的截距之和为 2 ? ? 2?? 2-3k+3-k =5+??-3k?+?-k??≥5+2 6, ? ? ?? 6 当且仅当 k=- 3 时,等号成立. 6 ∴k=- 3 时,l 在两轴上截距之和最小, 此时 l 的方程为 6x+3y-3 6-6=0.

1.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互 联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在 与否需讨论”. 2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数, 这种方法叫待定系数法.

思想方法 9——分类讨论思想在求直线方程中的应用

【典例】 在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合.将矩形折叠,使 A 点落在 线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程. 1 解 (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y=2. (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1).所以 A 与 G 关

于折痕所在的直线对称, 1 有 kAG· k=-1,ak=-1?a=-k. 故 G 点坐标为 G(-k,1), 从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标(线段 AG 的中点) ? k 1? 为 M?-2,2?. ? ? 1 ? k? 折痕所在的直线方程为 y-2=k?x+2?, ? ? k2 1 即 y=kx+ 2 +2. 1 k2 1 ∴k=0 时,y=2;k≠0 时,y=kx+ 2 +2. [反思感悟] (1)求直线方程时, 要考虑对斜率是否存在、 截距相等时是否为零以及 相关位置关系进行分类讨论. (2)本题需对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论,易错点是忽略斜率不存在的情 况.

【自主体验】 3? ? 1.若直线过点 P?-3,-2?且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则该直线的方程 ? ? 为 ( ).

A.3x+4y+15=0 3 B.x=-3 或 y=-2 C.x=-3 D.x=-3 或 3x+4y+15=0 解析 若直线的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y

=± 4,故该直线被圆截得的弦长为 8,满足条件;若直线的斜率存在,不妨设直 3 3 线的方程为 y+2=k(x+3),即 kx-y+3k-2=0,因为该直线被圆截得的弦长为 3? ? ?3k-2? ? ? 8, 故半弦长为 4.又圆的半径为 5, 则圆心(0,0)到直线的距离为 52-42= 2 , k +1

3 解得 k=-4,此时该直线的方程为 3x+4y+15=0. 答案 D 2.已知两点 A(-1,2),B(m,3),则直线 AB 的方程为________. 解析 当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= 1 1 1 (x+1),即 y= x+ +2. m+1 m+1 m+1 1 1 x+ +2 m+1 m+1

答案 x=-1 或 y=

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° B.60° C.150° D.120° ).

解析 直线的斜率为 k=tan α= 3,又因为 α∈[0,π),所以 α=60° . 答案 B 3 2.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为-4.则直线 l 的方程为( A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 ).

C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0 3 解析 由点斜式,得 y-5=-4(x+2), 即 3x+4y-14=0. 答案 A 3.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是 ( ). 1 D.2 或-2

1 A.1 B.2 C.-2

解析

3 由题意可知 2m2 + m - 3≠0 ,即 m≠1 且 m≠ - 2 ,在 x 轴上截距为

4m-1 1 =1,即 2m2-3m-2=0,解得 m=2 或-2. 2 2m +m-3 答案 D 4.(2014· 佛山调研)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a, b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 ). B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0 c c 解析 由题意,令 x=0,y=-b>0;令 y=0,x=-a>0.即 bc<0,ac<0,从而 ab>0. 答案 A 5.(2014· 郑州模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3), 则其斜率的取值范围是( 1? ? A.?-1,5? ? ? ).

1? ? B.?-∞,2?∪(1,+∞) ? ? ?1 ? D.(-∞,-1)∪?2,+∞? ? ?

?1 ? C.(-∞,1)∪?5,+∞? ? ?

解析 设直线的斜率为 k,如图,过定点 A 的直线经过点 B 时,直线 l 在 x 轴上 的截距为 3,此时 k=-1;过定点 A 的直线经过点 C 时,直线 l 在 x 轴的截距为 1 ?1 ? -3,此时 k=2,满足条件的直线 l 的斜率范围是(-∞,-1)∪?2,+∞?. ? ? 答案 D 二、填空题 6. (2014· 长春模拟)若点 A(4,3), B(5, a), C(6,5)三点共线, 则 a 的值为________. 解析 ∵kAC= 5-3 a-3 =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4

由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案 4 7.(2014· 温州模拟)直线 3x-4y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k =________.

k k 解析 令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=-3. k k 则有4-3=2,所以 k=-24. 答案 -24 8.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直 线的方程为________. x y 解析 设所求直线的方程为a+b=1, ∵A(-2,2)在直线上, 2 2 ∴-a+b=1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 1 ∴2|a|· |b|=1.② ?a-b=1, ?a-b=-1, 由①②可得(1)? 或(2)? ?ab=2 ?ab=-2. ?a=2, ?a=-1, 由(1)解得? 或? 方程组(2)无解. ?b=1 ?b=-2, x y x y 故所求的直线方程为2+1=1 或 + =1, -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 三、解答题 9.(2014· 临沂月考)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当直线过原点时, 该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 0, 当然相等. ∴a=2, 方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, a-2 得 =a-2,即 a+1=1, a+1 ∴a=0,方程即为 x+y+2=0.

综上,l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ∴a≤-1. ?a-2≤0 ?a-2≤0. 综上可知 a 的取值范围是(-∞,-1]. 10.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点,O 为原点,是否存在使△ABO 面积最小的直线 l?若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,请说明理由. 解 存在.理由如下: 1 ? ? 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A?2- k,0?,B(0,1-2k),△AOB 的 ? ? 1? 1? 1 1 ? ? 1?? 1 面积 S=2(1-2k)?2- k?=2?4+?-4k?+?-k??≥2(4+4)=4.当且仅当-4k=-k , ? ? ? ? ?? 1 1 即 k=-2时,等号成立,故直线 l 的方程为 y-1=-2(x-2),即 x+2y-4=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014· 北京海淀一模)已知点 A(-1,0),B(cos α,sin α),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为( ).

A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 3 3 3 3 B.y= 3 x+ 3 或 y=- 3 x- 3 C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 解析 1 3 |AB|= ?cos α+1?2+sin2α= 2+2cos α= 3, 所以 cos α=2, sin α=± 2 ,

3 3 3 所以 kAB=± 3 , 即直线 AB 的方程为 y=± 3 (x+1), 所以直线 AB 的方程为 y= 3 3 3 3 x+ 3 或 y=- 3 x- 3 .

答案 B 2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是( ?π π? A.?6,3? ? ? ?π π? C.?3,2? ? ? ?π π? B.?6,2? ? ? ?π π? D.?6,2? ? ? ).

3 解析 如图,直线 l:y=kx- 3,过定点 P(0,- 3),又 A(3,0),∴kPA= 3 , π 则直线 PA 的倾斜角为6, ?π π? 满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是?6,2?. ? ? 答案 B 二、填空题 3.已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线 段 AB 上,则 ab 的最大值为________. x 解析 直线方程可化为 +y=1,故直线与 x 轴的交点为 A(2,0),与 y 轴的交点 2 为 B(0,1),由动点 P(a,b)在线段 AB 上,可知 0≤b≤1,且 a+2b=2,从而 a= 1? 1 ? 2-2b,故 ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2?b-2?2+2,由于 0≤b≤1, ? ? 1 1 故当 b=2时,ab 取得最大值2. 1 答案 2 三、解答题 4.如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别 1 交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=2x 上时,求直线 AB 的方程. 3 解 由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- 3 ,所以直线 lOA:y

3 =x,lOB:y=- 3 x,设 A(m,m),B(- 3n,n), ?m- 3n m+n? 所以 AB 的中点 C? , 2 ?, ? 2 ? 1 由点 C 在 y=2x 上,且 A,P,B 三点共线得 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 所以 lAB:y= 3+ 3 2 (x-1),

3+ 3 3 = 2 , 3-1

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.


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