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河北省张家口市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科)


2015-2016 学年河北省张家口市高二(上)期末数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“? x∈R,f(x)>0”的否定为( )

A.? x0∈R,f(x0)>0 B.? x0∈R,f(x0)≤0 C.? x0∈R,f(x0)≤0 D.? x0∈R,f(x0) >0 2.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别是( )

A.23 与 26 B.31 与 26 C.24 与 30 D.26 与 30 3.函数 f(x)=(2π x) 的导数是(
2 2


2

A.f′(x)=4π x B.f′(x)=4π x C.f′(x)=8π x D.f′(x)=16π x 4.2015 年 11 月 14 号,通过航拍发现河北某地焚烧秸秆比较严重,该地环保部门对 11 月份 前十天的 PM2.5(单位:μ g/m )进行监测,分别记为 a1,a2,?,a10(如:a3 表示 11 月 3 号 的 PM2.5 的值) ,如表是 11 月 1 号至 11 月 10 号的 PM2.5 的监测值,根据表中的数据,下面 算法流程图输出的结果为( 日期 PM2.5 1 80 2 120 3 110 ) 4 91 5 65 6 77 7 131 8 116 9 55 10 77
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A.2 B.3 C.4 D.5 5.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某一考点有 64 个考场,考场编号为 001~064,现根据考场号,采用系统抽样的方法,抽 取 8 个考场进行监控抽查,已抽看了 005 号考场,则下列被抽到的考场号是( A.050 B.051 C.052 D.053 7.已知 x 可以在区间(t>0)上任意取值,则 x∈的概率是( A. B. C. D. ) )
2 2



8.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:582, 584,584,586,586,586,588,588,588, 588. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 20 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相 同的是( )

A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 9.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,过原点 O 作直线 l:y=kx,与抛物线的另一交点为点 A, 过 A 作 l 的垂线交 x 轴于点 B,则下列命题中正确的是( A.存在无数个实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点 B.存在唯一的实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点 C.不存在实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点 D.以上命题都不正确 10.曲线 y=e 和曲线 y=lnx 分别与直线 x=x0 交于点 A,B,且曲线 y=e 在点 A 处的切线与曲线 y=lnx 在点 B 处的切线平行,则 x0 在下列哪个区间内( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 11.已知圆 x +y =R 过双曲线
2 2 2 x x 2





(a>0,b>0)的右焦点 F,且与双曲线在第一,

三象限的交点分别为 M,N,若∠MNF= A.y= x B.y=

时,则该双曲线的渐近线方程为(



x C.y=±x D.y=±2x

12.已知函数 y=f(x) (x∈R)的图象过点(1,0) ,f′(x)为函数 f(x)的导函数,e 为 自然对数的底数,若 x>0,xf′(x)>1 下恒成立,则不等式 f(x)≤lnx 的解集为(
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A. (0, ]B. (0,1]C. (0,e]D. (1,e]

二、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生 中抽取一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n= 14.若双曲线 的离心率为 2,则 a 等于 . .

15.已知函数 f(x)= 为 .

在 R 上为增函数,则实数 k 的取值范围

16.五名学生在某一次考试中的数学成绩(x 分)与物理成绩(y 分)具有线性相关关系,且 线性回归方程为 ,数学平均分 分,计算后发现,物理一个分值为 2 分的

题的答案出错,更改前这五名同学此题都没有得分,更改后这五名同学都得 2 分,假设更改 后数学成绩(x 分)与物理成绩(y 分)还具有线性相关性,则更改后的 x 与 y 的线性回归方 程为

(附:线性回归方程为

中:

=





三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,第 17 题 10 分,18-22 小题各为 12 分,解答应写出 文字说明、证明过程和推演步骤. 17.已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 x ﹣ax+1>0 对? x∈R 恒成立,若 p 且 q 为假,¬p 为假,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)= +cx+d 的图象过点(0,3) ,且在(﹣∞,﹣1)和(3,+∞)
x 2

上为增函数,在(﹣1,3)上为减函数. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 R 上的极值.

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19.为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况,从所有高三学生中抽取 40 名学 生,将他们的数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:后得到如图 所示的频率分布直方图. (1)若该校高三年级有 1800 人,试估计这次考试的数学成绩不低于 60 分的人数及 60 分以 上的学生的平均分; (2)若从这两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生成绩之差的绝对值不大 于 10 的概率.

20.已知动圆 M 过定点 F(0,1) ,且与 x 轴相切,点 F 关于圆心 M 的对称点为 F′,点 F′的 轨迹为 C (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点(﹣4,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的垂直平分线的纵截距 的范围. 21.椭圆 C: (a>b>0)的左,右焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,点 P 为

椭圆上任意一点,且△PF1F2 的内切圆面积的最大值为 π . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l:y=kx+b(k>0,b>0)是圆 O:x +y =3 的一条切线,且 l 与椭圆 C 交于不同的 两点 A,B.若弦 AB 的长为 22.已知函数 f(x)=lnx﹣x +x (1)求函数 f(x)的单调递减区间: (2)若对于任意的 x>0,不等式 f(x)≤( ﹣1)x +ax﹣1 恒成立,求整数 a 的最小值.
2 2 2 2

,求直线 l 的方程.

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2015-2016 学年河北省张家口市高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“? x∈R,f(x)>0”的否定为( )

A.? x0∈R,f(x0)>0 B.? x0∈R,f(x0)≤0 C.? x0∈R,f(x0)≤0 D.? x0∈R,f(x0) >0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“? x∈R,f(x)>0”的否定为: ? x0∈R,f(x0)≤0. 故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题.

2.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别是(



A.23 与 26 B.31 与 26 C.24 与 30 D.26 与 30 【分析】由茎叶图写出所有的数据从小到大排起,找出出现次数最多的数即为众数;找出中 间的数即为中位数. 【解答】解:由茎叶图得到所有的数据从小到大排为: 12,14,20,23,25,26,30,31,31,41,42 ∴众数和中位数分别为 31,26 故选 B 【点评】解决茎叶图问题,关键是将图中的数列出;求数据的中位数时,中间若是两个数时, 要求其平均数.

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3.函数 f(x)=(2π x) 的导数是(
2

2


2

A.f′(x)=4π x B.f′(x)=4π x C.f′(x)=8π x D.f′(x)=16π x 【分析】利用复合函数的求导法则:外函数的导数乘以内函数的导数,求出 f′(x) . 【解答】解:f′(x)=2(2π x) (2π x)′=8π x 故选 C 【点评】求函数的导数关键是判断出函数的形式,然后选择合适的求导法则.
2

4.2015 年 11 月 14 号,通过航拍发现河北某地焚烧秸秆比较严重,该地环保部门对 11 月份 前十天的 PM2.5(单位:μ g/m )进行监测,分别记为 a1,a2,?,a10(如:a3 表示 11 月 3 号 的 PM2.5 的值) ,如表是 11 月 1 号至 11 月 10 号的 PM2.5 的监测值,根据表中的数据,下面 算法流程图输出的结果为( 日期 PM2.5 1 80 2 120 3 110 ) 4 91 5 65 6 77 7 131 8 116 9 55 10 77
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A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算并输出 PM2.5 大于 115 的天数. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 PM2.5 大于 115 的天数. 由统计表可知:参与统计的十个车间中,第 2、7、8 等 3 天 PM2.5 大于 115. 故最终输出的值为:3 故选:B.

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【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又 要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理) ? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.

5.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2

2



【分析】先根据 mn>0 看能否得出方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方 法来验证,再看方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出 mn>0,即 可得到结论. 【解答】解:当 mn>0 时,方程 mx +ny =1 的曲线不一定是椭圆, 例如:当 m=n=1 时,方程 mx +ny =1 的曲线不是椭圆而是圆;或者是 m,n 都是负数,曲线表 示的也不是椭圆; 故前者不是后者的充分条件; 当方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆时,应有 m,n 都大于 0,且两个量不相等,得到 mn>0; 由上可得:“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选 B. 【点评】本题主要考查充分必要条件,考查椭圆的方程,注意对于椭圆的方程中,系数要满 足大于 0 且不相等,本题是一个基础题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

6.某一考点有 64 个考场,考场编号为 001~064,现根据考场号,采用系统抽样的方法,抽 取 8 个考场进行监控抽查,已抽看了 005 号考场,则下列被抽到的考场号是( A.050 B.051 C.052 D.053 【分析】求出样本间隔即可得到结论. 【解答】解:∵样本容量为 8, ∴样本间隔为 64÷8=8, 若随机抽得的一个号码为 005,则第二个号码是 005+8×6=053, 故选:D. 【点评】本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出样本间隔即可,比较基础.
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7.已知 x 可以在区间(t>0)上任意取值,则 x∈的概率是( A. B. C. D.



【分析】分别求出 x 属于的区间的长度和总区间的长度,求出比值即为发生的概率. 【解答】解:因为 x∈,得到区间的长度为 t﹣(﹣ 而(t>0)的区间总长度为 4t﹣(﹣t)=5t. t)= ,

所以 x∈的概率是 P= 故选 B

=



【点评】此题是一道基础题,要求学生会求等可能事件的概率.在求区间的概率时应利用区 间的长度来求解.

8.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:582,584,584,586,586,586,588,588,588, 588. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 20 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相 同的是( )

A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 【分析】利用众数、平均数、中位数与方差、标准差的定义,分别求出,即可得出答案. 【解答】解:A 样本数据是:582,584,584,586,586,586,588,588,588,588; B 样本数据是:602,604,604,606,606,606,608,608,608,608; 它们的众数分别为 588,608,不相等; 平均数分别为 586,606,也不相等; 中位数分别为 586,606,也不相等; A 样本的方差为 S = 标准差为 S=2, B 样本的方差为 S =
2 2

=4,

=4,

标准差为 S=2,它们的标准差相等. 故选:D.

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【点评】本题考查了众数、平均数、中位数以及方差、标准差的应用问题,是基础题目.

9.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,过原点 O 作直线 l:y=kx,与抛物线的另一交点为点 A, 过 A 作 l 的垂线交 x 轴于点 B,则下列命题中正确的是( A.存在无数个实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点 B.存在唯一的实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点 C.不存在实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点 D.以上命题都不正确 【分析】假设存在实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点,则 B(p,0) ,AB 的方程 y=﹣ (x﹣p) , 与 y=kx 联立,可得交点坐标,代入 y =2px,验证即可, 【解答】解:假设存在实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点,则 B(p,0) ,AB 的方程 y=﹣ (x ﹣p) , 与 y=kx 联立,可得交点坐标( 代入 y =2px,可得( ∴k +2=0,方程无解, ∴不存在实数 k 使得点 F 为线段 OB 的中点. 故选:C. 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
2 2 2

2



, ,

) ,

) =2p?

2

10.曲线 y=e 和曲线 y=lnx 分别与直线 x=x0 交于点 A,B,且曲线 y=e 在点 A 处的切线与曲线 y=lnx 在点 B 处的切线平行,则 x0 在下列哪个区间内( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【分析】分别求得 y=e 和 y=lnx 的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件可得斜率相 等,再设 f(x)=xe ﹣1,运用零点存在定理,即可判断所求区间. 【解答】解:y=e 的导数为 y′=e , y=e 在点 A 处的切线斜率为 k1=e , y=lnx 的导数为 y′= ,
x x0 x x x x

x

x



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曲线 y=lnx 在点 B 处的切线斜率为 k2=
x



曲线 y=e 在点 A 处的切线与曲线 y=lnx 在点 B 处的切线平行, 可得 k1=k2,即有 x0e =1, 可令 f(x)=xe ﹣1, (x>0) ,f′(x)=(x+1)e >0, f(x)在 x>0 递增, 又 f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,由函数的零点存在定理可得 f(x)在(0,1)有且只有一个零点. 故选 A. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查两直线平行的条件:斜率相等,同时考 查函数的零点存在定理的运用,属于中档题.
x x x0

11.已知圆 x +y =R 过双曲线

2

2

2

(a>0,b>0)的右焦点 F,且与双曲线在第一,

三象限的交点分别为 M,N,若∠MNF= A.y= x B.y=

时,则该双曲线的渐近线方程为(



x C.y=±x D.y=±2x

【分析】由对称性可得 MN 过原点 O,可得 MF⊥NF,运用正切函数的定义和双曲线的定义,求 得 MF,NF,再由勾股定理和渐近线方程即可得到所求. 【解答】解:由对称性可得 MN 过原点 O,可得 MF⊥NF,即有 tan∠MNF= =tan =2﹣ ,

由双曲线的定义可得|NF|﹣|MF|=|MF'|﹣|MF|=2a, 解得|MF|=( ﹣1)a,|NF|=( +1)a,

在直角三角形 MFF'中,由勾股定理可得, 4c =(
2 2

﹣1) a +(
2 2 2

2 2

+1) a ,
2 2

2 2

即为 c =2a ,即有 b =c ﹣a =a , 则双曲线的渐近线方程为 y=± x, 即 y=±x. 故选:C.

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【点评】本题考查双曲线的渐近线方程求法,注意运用双曲线的定义和对称性,以及直径所 对的圆周角为直角,正切函数的定义,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

12.已知函数 y=f(x) (x∈R)的图象过点(1,0) ,f′(x)为函数 f(x)的导函数,e 为 自然对数的底数,若 x>0,xf′(x)>1 下恒成立,则不等式 f(x)≤lnx 的解集为( A. (0, ]B. (0,1]C. (0,e]D. (1,e] 【分析】构造函数 g(x)=f(x)﹣lnx(x>0) ,确定 g(x)=f(x)﹣lnx 在(0,+∞)上 单调递增,f(x)≤lnx,化为 g(x)≤0=g(1) ,即可得出结论. 【解答】解:构造函数 g(x)=f(x)﹣lnx(x>0) ,则 g′(x)=f′(x)﹣ = >0, ∴g(x)=f(x)﹣lnx 在(0,+∞)上单调递增, ∵f(x)≤lnx, ∴g(x)≤0=g(1) , ∴0<x≤1, 故选:B. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,正确构造函数是关键. )

二、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生 中抽取一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n= 192 .

【分析】根据某校有老师 200 人,男学生 1 200 人,女学生 1 000 人,做出全校的人数,根 据从女学生中抽取的人数为 80 人,得到每个个体被抽到的概率,用全校人数乘以概率,得到 结果.

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【解答】解:∵某校有老师 200 人,男学生 1 200 人,女学生 1 000 人. ∴学校共有 200+1200+1000 人 由题意知 ∴n=192. 故答案为:192 【点评】本题考查分层抽样的相关知识,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混 淆.抽样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分点,不容错过. = ,

14.若双曲线
2

的离心率为 2,则 a 等于 1 . ,得到 a 的值. ,而离心率 e= ,

【分析】先求出 b =3,再由离心率为 【解答】解:由 解得 a=1. 故答案:1.

=1 可知虚轴 b=

【点评】本题考查双曲线的性质和应用,难度不大,解题时要注意公式的灵活运用.

15.已知函数 f(x)=

在 R 上为增函数,则实数 k 的取值范围为



【分析】若 f(x)在 R 上是增函数,则 f(x)的每一段都是增函数,且第一段的最大值小于 或等于第二段的最小值.列出不等式解出. 【解答】解:当 x>1 时,f′(x)=lnx+1﹣k,∴lnx+1﹣k≥0 在(1,+∞)上恒成立,∴1 ﹣k≥0,解得 k≤1. 当 x≤1 时,f(x)≤﹣2,当 x>1 时,f(x)>k,∵f(x)在 R 上是增函数,∴k≥﹣2, 综上,﹣2≤k≤1. 故答案为. 【点评】本题考查了分段函数单调性的应用,属于中档题.

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16.五名学生在某一次考试中的数学成绩(x 分)与物理成绩(y 分)具有线性相关关系,且 线性回归方程为 ,数学平均分 分,计算后发现,物理一个分值为 2 分的

题的答案出错,更改前这五名同学此题都没有得分,更改后这五名同学都得 2 分,假设更改 后数学成绩(x 分)与物理成绩(y 分)还具有线性相关性,则更改后的 x 与 y 的线性回归方 程为 y=0.75x+12

(附:线性回归方程为

中:

=





【分析】由题意,更改前 =85,更改后 =87,即可求出更改后的 x 与 y 的线性回归方程. 【解答】解:由题意,更改前 =85,更改后 =87, ∴更改后的 x 与 y 的线性回归方程为 y=0.75x+12, 故答案为:y=0.75x+12. 【点评】本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,比较基础.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,第 17 题 10 分,18-22 小题各为 12 分,解答应写出 文字说明、证明过程和推演步骤. 17.已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 x ﹣ax+1>0 对? x∈R 恒成立,若 p 且 q 为假,¬p 为假,求实数 a 的取值范围. 【分析】先解命题,再研究命题的关系,函数 y=a 在 R 上单调递增,由指数函数的单调性解 决;不等式 x ﹣ax+1>0 对? x∈R 恒成立,用函数思想,又因为是对全体实数成立,可用判 断式法解决,若 p 且 q 为假,¬p 为假,两者是一真一假,计算可得答案. 【解答】解:∵y=a 在 R 上单调递增,∴a>1; 又不等式 x ﹣ax+1>0 对? x∈R 恒成立, ∴△<0,即 a ﹣4<0,∴﹣2<a<2, ∴q:0<a<2. 而命题 p 且 q 为假,¬p 为假, ∴p 真,q 假,则 a≥2; 所以 a 的取值范围为:后得到如图所示的频率分布直方图.
2 2 x 2 x x 2

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(1)若该校高三年级有 1800 人,试估计这次考试的数学成绩不低于 60 分的人数及 60 分以 上的学生的平均分; (2)若从这两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生成绩之差的绝对值不大 于 10 的概率.

【分析】 (1)根据图中所有小矩形的面积之和等于 1 建立关于 a 的等式,解之即可求出所求; 根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率,然后根据频数=频率×总数可求出所求; (2)成绩在分数段内的人数,列出所有的基本事件,以及两名学生的数学成绩之差的绝对值 不大于 10 的基本事件,最后利用古典概型的概率公式解之即可. 【解答】解: (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1. 解得 a=0.03. 根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1﹣10×(0.005+0.01)=0.85. 由于高三年级共有学生 1800 人,可估计该校高三年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 1800×0.85=1530 人. 可估计不低于 60 分的学生数学成绩的平均分为: 65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=66.25. (2)解:成绩在分数段内的人数为 40×0.1=4 人, 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 15 种. 如果两名学生的数学成绩都在分数段内, 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10. 如果一个成绩在分数段内, 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 7 种,

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所以所求概率为



【点评】本题考查由频率分布直方图求频率、频数,考查了古典概型的概率计算,是概率统 计的基本题型,解答的关键是读懂频率分布直方图,应用相关数据进行准确计算.

20.已知动圆 M 过定点 F(0,1) ,且与 x 轴相切,点 F 关于圆心 M 的对称点为 F′,点 F′的 轨迹为 C (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点(﹣4,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的垂直平分线的纵截距 的范围. 【分析】 (Ⅰ)设出 F′的坐标,求得 FF′的中点坐标,由题意可知, =丨 丨,化简求得曲线方程;

(Ⅱ)由题意可知直线的斜率存在且不为零,设出直线方程,并代入抛物线方程,求得关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理和中点坐标公式,表示 x0 和 y0,求得 AB 的中垂线方程,求得 截距,利用△>0,求得 k 的取值范围,即可求得 b 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)设 F′(x,y) ,则 FF′的中点坐标 M( , 又圆 M 过点 F,且与 x 轴相切, ∴
2

) ,

=丨

丨,

化简得:x =4y 即为所求, 故曲线 C 的方程为 x =4y, (Ⅱ)由题意可知:满足题意得直线斜率存在且不为零, 设 l:y=k(x+4) ,AB 的中点坐标为(x0,y0) , 由 ,得 x ﹣4kx﹣16k=0,
2 2

∴x1+x2=4k,x1?x2=﹣16k, ∴x0= =2k,
2

y0=k(x0+4)=2k +4k, ∴线段 AB 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k +4k+2=2(k+1) , 对于方程由△=16k +64k>0,得 k>0 或 k<﹣4,
- 15 2 2 2

∴b∈(2,+∞) , 故 b 的取值范围为: (2,+∞) . 【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与圆锥曲线的位置关系,考查实数的取值范围的求 法,解题时要认真审题,注意线段中垂直线定理的合理运用,属于中档题.

21.椭圆 C:

(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,点 P 为

椭圆上任意一点,且△PF1F2 的内切圆面积的最大值为 π . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l:y=kx+b(k>0,b>0)是圆 O:x +y =3 的一条切线,且 l 与椭圆 C 交于不同的 两点 A,B.若弦 AB 的长为 ,求直线 l 的方程.
2 2

【分析】 (Ⅰ)由椭圆性质得△PF1F2 的面积的最大值为 b,由题意内切圆的半径 r 的最大值为 ,从而 (a+1)=b,由此能求出椭圆方程.

(Ⅱ)由直线 l 与圆 O 相切,利用圆心到直线的距离得 b =3(k +1) ,由
2 2 2

2

2



得: (3+4k )x +8kbx+4b ﹣12=0,再利用韦达定理、椭圆弦长公式,结合题设条件能求出直线 l 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: (1,0) , 点 P 为椭圆上任意一点,且△PF1F2 的内切圆面积的最大值为 π , ∴由椭圆性质得△PF1F2 的面积的最大值为 b, 设△PF1F2 的内切圆的半径为 r, 由题意知 r 的最大值为 ∴△PF1F2 的面积为 综上可知
2 2

(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2

, =r(a+1)≤ (a+1) ,

(a+1)=b,

又∵a =1+b ,

- 16 -

∴联立

,解得 a=2,b=



∴椭圆方程为



(Ⅱ)∵直线 l 与圆 O 相切,∴圆心到直线的距离 d=

=



∴b =3(k +1) , 由 ,消去 y,得: (3+4k )x +8kbx+4b ﹣12=0,
2 2 2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 , ,

∴|AB|=

|x1﹣x2|=

?

=



∴k=1,b=

, .

∴直线 l 的方程为

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用.

22.已知函数 f(x)=lnx﹣x +x (1)求函数 f(x)的单调递减区间: (2)若对于任意的 x>0,不等式 f(x)≤( ﹣1)x +ax﹣1 恒成立,求整数 a 的最小值. 【分析】 (1)f′(x)= ﹣2x+1, (x>0) .令 f′(x)<0,即 ﹣2x+1<0,解出即可得出; (2)x>0,不等式 f(x)≤( ﹣1)x +ax﹣1 化为:a>
2 2 2

2

=g(x) ,可得:对于

任意的 x>0,不等式 f(x)≤( ﹣1)x +ax﹣1 恒成立,?a>g(x)max,x>0.利用导数 研究其单调性极值与最值即可得出. 【解答】解: (1)f′(x)= ﹣2x+1, (x>0) .

- 17 -

令 f′(x)<0,即 ﹣2x+1<0,解得 1<x. ∴函数 f(x)的单调递减区间是[1,+∞) . (2)∵x>0,不等式 f(x)≤( ﹣1)x +ax﹣1 化为:a>
2 2

=g(x) ,

∴对于任意的 x>0,不等式 f(x)≤( ﹣1)x +ax﹣1 恒成立,?a>g(x)max,x>0.

g′(x)=



令 g′(x)>0,解得 0<x<e,此时函数 g(x)单调递增;令 g′(x)<0,解得 e<x,此 时函数 g(x)单调递减. ∴当 x=e 时,函数 g(x)取得极大值即最大值,g(e)= ∴a . = .

∴整数 a 的最小值为 1. 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法,考查 了推理能力与计算能力,属于难题.

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