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2 数学-淮安市2014届高三5月信息卷数学试题 Word版含答案


欢口中学高三年级最后一卷 2014.6.4 数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 7} ,则 A ? Z= 2.函数 y ? sin 2 x ? 1 的最小正周期为 ▲ ▲ . ▲ . .

( 1 ? i )

z 为纯虚数,则 z = 3.已知复数 z ? m ? i (m ? R , i 为虚数单位 ) ,若

4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 2 的 一点到焦点的距离为 3,则抛物线的焦点坐标为 ▲ .

5.在如图所示的算法流程图中,若输入 m=4,n=3,则输出的 a= ▲ .

6.在一个样本的频率分布直方图中,共有 5 个小矩形,若中间一个小

1 矩形的面积等于其他 4 个小矩形的面积和的 ,且中间一组的频数 3
为 25,则样本容量为 ▲ . 第 5 题图 7.棱长为 2 的正四面体的外接球半径为 ▲ .

8.若关于 x 的方程 3 sin x ? cos x ? k 在区间 ? 0, ▲ . 9.已知集合 A ? ▲ .

? ?? 上有两个不同的实数解,则实数 k 的取值范围为 ? 2? ?

?? x, y ? | x

2

? y2 ≤ 2, x ? Z, y ? Z? ,则从 A 中任选一个元素 ? x, y ? 满足 x ? y≥1 的概率为

2 10.已知直线 l : 2mx ? (1 ? m ) y ? 4m ? 4 ? 0 ,若对任意 m ? R ,直线 l 与一定圆相切,则该定圆方

程为



. ▲ .

x 11.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 1 |的定义域和值域都是 ?a, b??b ? a ? ,则 a ? b =

???? ? ???? ???? ? ??? ? o s ?M C A 12.在 ?ABC 中,?C ? 90? ,CA ? 3 ,CB ? 4 , 若点 M 满足 AM ? ? MB , 且 CM ? CA ? 18 , 则c







1

1 ? 2x ? 1 ,x ? ? 2 ? ? x 2 13.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? x2 ? 4 x ? 4 .若存在 a ? R 使得 f (a) ? g (b) ? 0 , 3 1 ?ln( x ? ), x ≥ ? ? 2 2
则实数 b 的取值范围是 ▲ .

14. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an2 ? S2n?1 n ? N ? .若不等 式

?

?

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的最大值为 n





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? cos C ? 1 . sin A sin C sin B (1)求证: 0 ? B ≤

?
3



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 sin B ? 7 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 C1 AB ? 4AF . (1)求证:EF∥平面 BDC1; (2)求证: BC1 ? 平面 B1CE . E C A F B 第 16 题图 A1 D B1

17.(本小题满分 14 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴 影部分) ,水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m , AB ? 40m ,且 ?EFG 中,
?EGF ? 90? ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加

2

设一个保护栏.设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M , N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健 身广场,设 DN ? x(m) . (1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并 求出最大面积. B 第 17 题图 C M A E G F N D

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2) 以椭圆的长轴为直径作圆 O ,设 T 为圆 O 上不在坐标轴上的任意一点, M 为 x 轴上一点,过 圆心 O 作直线 TM 的垂线交椭圆右准线于点 Q .问:直线 TQ 能否与圆 O 总相切,如果能,求 出点 M 的坐标;如果不能,说明理由.
5 ,且经过点 ? 0, 2 ? . 3

19. (本小题满分 16 分) 如果数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1 n ≥ 3, n ? N * ,则称数列 . ?an ? 为 n 阶“归化数列” (1)若某 4 阶“归化数列” ?an ? 是等比数列,写出该数列的各项; (2)若某 11 阶“归化数列” ?an ? 是等差数列,求该数列的通项公式;

?

?

1 1 1 1 1 (3)若 ?an ? 为 n 阶“归化数列” ,求证: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ≤ ? . 2 3 n 2 2n
20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ( a, b ? R) , f ?? x ? 为其导函数,且 x ? 3 时 f ?x ? 有极小值 ?9 . (1)求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 g ( x) ? 2mf ?( x) ? (6m ? 8) x ? 6m ? 1 , h( x) ? mx ,当 m ? 0 时,对于任意 x, g ( x) 和 h( x) 的值至 少有一个是正数,求实数 m 的取值范围; (3)若不等式 f ( x) ? k ( x ln x ?1) ? 6 x ? 4 ( k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值.
/

3

数学Ⅱ试题
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定 ...... ..... 区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. B.[选修 4-2:矩阵与变换]
? ?0 已知矩阵 A ? ? ?1 ? ? 1? 3? ? ,求点 M ? ?1,1? 在矩阵 A?1 对应的变换作用下得到的点 M ? 坐标. 2? ? 3? ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

? 3 ? x ? 2 t ? m, 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t 是参数) , 以原点为极点,x 轴的 ?y ? 1 t ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,若圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,且直线 l 与圆 C 相切,求实数 m 的 值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤.
4

22. (本小题满分 10 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满 400 元的顾客,均可获得一次摸奖机 会.摸奖规则如下: 奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4 个球(红、黄、黑、白) .顾客不放回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励 20 元,摸到白球或黄球奖励 10 元,摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) (1)已知 a ? 1, b ? 1 ,求证: a ? b ? 1 ? ab ; (2)已知 x1 , x2 ,?, xn ? R ? ,且 x1 x2 ? xn ? 1 , 求证: ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xn ) ≥ ( 2 ? 1)n .

5

淮安市 2013-2014 学年度高三年级信息卷 数学参考答案与评分标准 数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ? 1,2? 9. 2. 2? 3.
2

4.

? 0,1?

5.12

6.100

7.

3 2

8. [ 3,1)

2 2 3 13 1 10. ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 11.1 12 . 13. ? ?1,5? 14. ?21 13 3 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sin( A ? C) 15. (1)因为 cos A ? cos C ? cos A sin C ? cos C sin A ? ? sin B ? 1 ……………2 分 sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin B
所以 sin A sin C ? sin 2 B ,由正弦定理可得, b 2 ? ac 因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ≥ 2ac ? 2ac cos B , ………………………4 分

1 ? 所以 cos B ≥ ,即 0 ? B ≤ 2 3

…………………………6 分

2 (2)因为 sin B ? 7 ,且 b ? ac ,所以 B 不是最大角, 4

所以 cosB ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? 7 ? 3 .………………………………8 分 16 4 ??? ? ??? ? 所以 3 ? BA ? BC ? cacosB ? 3 ac ,得 ac ? 2 ,因而 b 2 ? 2 .………………………………………10 分 2 4 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? 5 .…………………………………………12 分
??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? 所以 BC ? BA ? a 2 ? c2 ? 2BC ? BA ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? 8
C1

??? ? ??? ? 即 BC ? BA ? 2 2 ………………………14 分
16. (1)证明:取 AB 的中点 M,因为 AB ? 4AF ,所以 F 为 AM 的中点, 又因为 E 为 AA1 的中点,所以 EF / / A1M ,………………2 分 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, 所以 A1D / / BM ,且 A1D ? BM ,则四边形 A1DBM 为平行四边形, 所以 A1M / / BD ,所以 EF / / BD , ………………5 分
EF ? 平 面 B C 又 因 为 BD ? 平 面 B C 1 D, 1 D, 所 以 , EF / / 平 面
A1

A1

B1 D

E

C

A

B F M

C1

B1 D

E

C

BC 1 D ……………7 分

A

B F

(2)连接 CE, B1E, B1C ,因为在正三角 A1B1C1 中, D 为 A1B1 的中点,

6

所以, C1D ? A1B1 ,所以,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, C1D ? 面 ABB1 A1 , 所以, C1D ? B1E ,因为 AA1 ? AB ,所以,四边形 ABB1 A1 为正方形,由 D, E 分别为 A1B1 , AA1 的中点, 所以,可证得 BD ? B1E , 所以, B1E ? 面 C1 DB ,即 BC1 ? B1E ,……………………11 分 又因为在正方形 BB1C1C 中, BC1 ? B1C ,所以 BC1 ? 面 B1CE ,…………………………………14 分 17. (1)作 GH⊥EF,垂足为 H, 因为 DN ? x ,所以 NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,因为

NH NA ? , HG AM

40 ? x 60 ? x 600 ? 10x 所以 ,所以 AM ? ………………2 分 ? 10 AM 40 ? x
过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T, 则S
MBCDW

A

E

H

F

N

D

G M T

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2

B
2

C

5?60 ? x ? 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) 所以 y ? (40 ? ? 2400? ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x 40 ? x
由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? ,………………8 分 (2) y ? 2400?

………………7 分

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ,……………10 分 40 ? x 40 ? x ? ?
2

所以当且仅当 40 ? x ?

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000, ……………13 分 40 ? x

所以当 DN ? 20m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 .…………………14 分

x2 y 2 18. (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) ,因为经过点 ? 0, 2 ? ,所以, b ? 2 , a b
又因为 e ?
c 5 ? ,可令 c ? 5x, a ? 3x ,所以, b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 x 2 ? 4 ,即 x ? 1 , a 3

所以椭圆的标准方程为 (2)存在点 M ( 5,0)

x2 y 2 ? ? 1 .………………6 分 9 4

……………7 分

设点 T ( x0 , y0 ) , M (c, 0) ,因为 T 在以椭圆的长轴为直径作圆 O 上,且不在坐标轴上的任意点, 所以 x0 y0 ? 0 且 x02 ? y02 ? 9 ,又因为 kTM ?
y0 , x0 ? c

7

由 OQ ? TM ,所以, kOQ ? ?

x ?c x0 ? c x, ,所以直线 OQ 的方程为 y ? ? 0 y0 y0

………10 分

因为点 Q 在直线 x ?

9 5( x0 ? c) 9 5 9 5( x0 ? c) 9 5 9 5 , ? ) ,………12 分 上,令 x ? ,得 y ? ? ,即 Q( 5 5 5 5 y0 5 y0

y0 ?

所以 kTQ ?

9 5( x0 ? c) 5 y0

9 5 x0 ? 5

?

2 5 y0 ? 9 5( x0 ? c)

y0 (5 x0 ? 9 5)

?

5 ? 9 ? x0 2 ? ? 9 5 ? x0 ? c ? y0 5 x0 ? 9 5

?

?



又 kOT ?
kTQ ? ?

y0 , TQ 与圆 O 总相切,故 OT ? TQ ,于是有 kOT ? kTQ ? ?1 , x0

5 9 ? x0 2 ? 9 5 ? x0 ? c ? x x0 ? ? 0 恒成立,解之可得 c ? 5 , ,即 y0 y0 y0 5 x0 ? 9 5

?

?

?

?

即存在这样点 M ( 5,0) ,使得 TQ 与圆 O 总相切.…………………………………………………16 分 19. (1)设 a1 , a2 , a3 , a4 成公比为 q 的等比数列,显然 q ? 1 ,则由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 , 得

a1 1 ? q 4 1 ? 0 ,解得 q ? ?1,由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1得 4 a1 ? 1 ,解得 a1 ? ? , 4 1? q

?

?

所以数列

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? , , ? 或 ? , , ? , 为所求四阶“归化数列” ;…… ………………………4 分 4 4 4 4 4 4 4 4

(2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a11 的公差为 d ,由 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a11 ? 0 , 所以 11a1 ?
11?10d ? 0 ,所以 a1 ? 5d ? 0 ,即 a6 ? 0 ,…………………6 分 2

当 d ? 0 时,与归化数列的条件相矛盾,

1 1 1 当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? ? , a6 ? 0 ,所以 d ? , a1 ? ? , 2 30 6
所以 an ? ? ?

1 6

n ?1 n ? 6 ? (n ? N ? , n ≤11). ………………8 分 30 30

当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 所以 an ?

1 , a6 ? 0 ,所以 d ? ? 1 , a1 ? 1 , 2 30 6

1 n ?1 n?6 * ? ?? (n∈N ,n≤11) , 6 30 30

8

? n?6 ? ? 30 所以 an ? ? ?? n ? 6 ? ? 30

d ?0

(n∈N ,n≤11) ,…………………10 分
d ?0

*

(3)由已知可知,必有 ai>0,也必有 aj<0(i,j∈{1,2,…,n,且 i≠j). 设 ai1 , ai2 ,?, ail 为诸 ai 中所有大于 0 的数, a j1 , a j2 ,?, a jm 为诸 ai 中所有小于 0 的数. 1 1 由已知得 X= ai1+ai2+…+ail= ,Y= aj1+aj2+…+ajm=- . 2 2 所以 a1 ?
l a m a l 1 1 1 m 1 1 a 2 ? ? ? a n ? ? i ? ? j ≤ ? ai ? ? a j ? ? .……………16 分 n k ?1 2 2n 2 n k ?1 ik k ?1 jk k ?1
k k k k

20. (1)由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2x ? b ,因为函数在 x ? 3 时有极小值 ?9 ,
?27a ? 6 ? b ? 0 1 所以 ? ,从而得 a ? , b ? ?3 ,………………2 分 3 ?27a ? 9 ? 3b ? ?9

1 所求的 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ,所以 f ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 , 3
由 f ??x ? ? 0 解得 ? 1 ? x ? 3 , 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,3? ,…………………4 分 (2)由 f ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,故 g ( x) ? 2mx2 ? (2m ? 8) x ? 1 , 当 m>0 时,若 x>0,则 h( x) ? mx >0,满足条件; ………………………………………5 分 若 x=0,则 g (0) ? 1 >0,满足条件; ……………………………6 分 若 x<0, g ( x) ? 2m (( x ?

4?m 2 2(4 ? m)2 ) ?1? m m 4?m ①如果对称轴 x0 ? ≥0,即 0<m≤4 时, g ( x) 的开口向上, m
…………………8 分

故在 ? ??, x0 ? 上单调递减,又 g (0) ? 1 ,所以当 x<0 时, g ( x) >0 ②如果对称轴 x0 ?

4?m <0,即 4<m 时, ? ? (2m ? 8)2 ? 8m ? 0 m

解得 2<m<8,故 4<m <8 时, g ( x) >0; 所以 m 的取值范围为(0,8) ;………………………10 分 (3)因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f ( x) ? k ( x ln x ?1) ? 6 x ? 4 等价于
/ 2 /

x2 ? 4x ? 1 ? k ( x ln x ?1) ,即 x ?

k ?1 ? 4 ? k ln x ? 0 , x

9

记 ? ( x) ? x ?

k ?1 k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) ? 4 ? k ln x ,则 ? / ( x) ? 1 ? 2 ? ? , x x x x2

由 ? / ( x) ? 0 ,得 x ? k ? 1 , 所以 ? ( x) 在 (0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1, ??) 上单调递增, 所以 ? ( x) ≥ ? (k ? 1) ? k ? 6 ? k ln(k ? 1) , ………………12 分

? ?x ? ? 0 对任意正实数 x 恒成立,等价于 k ? 6 ? k ln(k ? 1) ? 0 ,即 1 ? ? ln(k ? 1) ? 0 ,
记 m( x ) ? 1 ?

6 k

6 6 1 ? ln( x ? 1) ,则 m / ( x) ? ? 2 ? ?0, x x x ?1 13 ? ln 8 ? 0 , 7

所以 m( x) 在 (0, ??) 上单调递减,又 m(6) ? 2 ? ln 7 ? 0, m(7) ? 所以 k 的最大值为 6 .…………………………16 分

数学Ⅱ
A.因为 BE 切⊙O 于点 B,所以 ?CBE ? ?BAC ? 60? , 因为 BC ? 2BE ,所以 ?BEC ? 90? ,则 EC ? 3BE . 又因为 BE 2 ? EC ? ED ,所以 ED ? 所以 CD ?
2 3 BE . 3
3 BE , 3

即 CD ? 2 ED .………………………10 分
? ?0 ?a b? ?1 ?1 B.设 A ? ? ,则 AA ? ? ? ?1 ?c d ? ? ? 1? 1 1 2 2 3 ? ? a b ? ?1 0? ? ? ? ?0 1 ? ,所以 c ? 1, d ? 0, a ? c ? 0, b ? d ? 1 ,解得 2? ? c d 3 3 3 3 ? ? ? ? ? 3? ?

? 2 1? a ? 2, b ? 1, c ? 3, d ? 0 ,即 A?1 ? ? ? .……………5 分 ?3 0 ? ? 2 1? ? ?1? ? ?1? 由? ? ? ? ? ? ? ,知点 M ? ? ?1, ?3? , ?3 0? ? 1 ? ? ?3?

所以新坐标为 M ? ? ?1, ?3? .………………10 分 C.由 ? ? 4cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,所以 x2 ? y 2 ? 4x ,即圆 C 的方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,
2

? 3 x? t ? m, ? 2 又由 ? 消 t ,得 x ? 3 y ? m ? 0 ,由直线 l 与圆 C 相切, ? 1 ? y ? t, ? ? 2
10

所以

2?m 2

? 2 ,即 m ? ?2 或 m ? 6

…………………10 分

D.因为 a,b,c 均为正数, 由均值不等式得 a +b ≥2ab,
2 2

b2+c2≥2bc, a b c

c2+a2≥2ac. ab bc ac

1 1 1 1 1 1 2 2 2 所以 a +b +c ≥ab+bc+ac.同理 2+ 2+ 2≥ + + , 1 1 1 2 3 3 3 2 2 2 故 a +b +c +( + + ) ≥ab+bc+ac+ + + ≥6 3.

a b c

ab bc ac

所以原不等式成立.………………………10 分 22. (1)设“1 名顾客摸球 2 次停止摸奖”为事件 A,则 P( A) ?
1 A3 1 ? , 2 A4 4

1 .……………………4 分 4 (2)随机变量 X 的所有取值为 0,10, 20,30, 40 .
故 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率

P ( X ? 0) ?

1 P1 1 P2 1 1 , P( X ? 10) ? 22 ? , P( X ? 20) ? 23 ? 2 ? , 4 P4 6 P4 P4 6

1 2 P33 1 C2 P2 1 P( X ? 30) ? 3 ? , P( X ? 40) ? 4 ? ,……………………8 分 P4 6 P4 4

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

0

10

20

30

40

P

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 20 .……………………10 分 4 6 6 6 4

23. (1)因为 a ? 1, b ? 1 ,所以 ? a ? 1?? b ? 1? ? 0 ,即 a ? b ? 1 ? ab ; ……………2 分 (2)证法一(数学归纳法) : (ⅰ)当 n ? 1 时, 2 ? x1 ? 2 ? 1,不等式成立.………………4 分 (ⅱ)假设 n ? k 时不等式成立,即 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xk ) ≥ ( 2 ?1) 成立. ………5 分
k

则 n ? k ? 1 时,若 xk ?1 ? 1 ,则命题成立;若 xk ?1 ? 1 ,则 x1 , x2 ,?, xk 中必存在一个数小于 1,不妨设这个 数为 x k ,从而 ( xk ?1)( xk ?1 ?1) ? 0 ,即 xk ? xk ?1 ? 1 ? xk xk ?1 . xk ?1 ? 1 同理可得, 所以 ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )?( 2 ? xk )( 2 ? xk ?1)

11

? ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )?(2 ? 2( xk ? xk ?1) ? xk xk ?1) ≥ ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?(2 ? 2(1 ? xk xk ?1 ) ? xk xk ?1 )

? ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )?( 2 ? xk xk ?1)( 2 ?1)
≥ ( 2 ?1)n ( 2 ?1) ? ( 2 ?1)k ?1.
故 n ? k ? 1 时,不等式也成立.……………………………………………9 分 由(ⅰ) (ⅱ)及数学归纳法原理知原不等式成立. …………………10 分 证法二: (恒等展开)左右展开,得

( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xk )
? ( 2)n ? ( 2)n?1 ? xi ? ( 2)n?2
i ?1 n

1≤i ? j≤n

?

xi x j ? ? ? ( 2)n?k (

1≤i1 ?i2 ???ik ≤n

?

xi1 xi2 ? xik ) ? ? ? x1 x2 ? xn
1

由平均值不等式,得
1 k ?1 k Cn ?1 Cn

1?i1 ?i2 ???ik ? n

?

xi1 xi2 ? xik ≥ C (

k n

1?i1 ?i2 ???ik ? n

?

xi1 xi2 ? xik )

k Cn

? C (( x1 x2 ? xn )
k n

)

k ? Cn . ………………………………8 分

故 ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )?( 2 ? xn )
1 2 k n ≥ ( 2)n ? ( 2)n?1Cn ? ( 2)n?2 Cn ??? ( 2)n?k Cn ??? Cn

? ( 2 ? 1)n . ……………………………………………10 分

C1 A1 D B1

E C A F B 第 16 题图

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