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平面向量的线性运算(习题课)-------绝对经典!



平面向量的线性运算习题课(1) 一、选择题 1. 如右图四边形 ABCD 是平行四边形. BC ? CD ? BA 等于 则 ( ???? ??? ? A. BD B. AD C. AB D. AC )
A D C B

2.在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,BC ? 1 ,则向量 ( AB ? AD ? AC) 的长等于( (A)2 (B) 2 3 (C)3 (D)4



3.下面给出四个命题: ① 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有: m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 (m ? n)a ? m a ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R) ,则有 a ? b ④ 若 ma ? na(m, n ? R, a ? 0) ,则 m ? n 其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ??? ??? ? ? ??? ? 4.已知点 E 在 ? ABC 所在的平面且满足 AB ? AC ? ? AE (? ? 0) ,则点 E 一定落 在 A. BC 边的垂直平分线上 C. BC 边的高线所在的直线上 B. BC 边的中线所在的直线上 D. BC 边所在的直线上 )

5.已知 P,A,B,C 是平面内四点,且 PA ? PB ? PC ? AC ,那么一定有( A. PB ? 2 AP 二、填空题 6.若 a 与 b 的方向相反,且 a ? b ,则 a+b 的方向与 a 的方向 此时 a ? b ; B. CP ? 2PB C. AP ? 2 PB D. PB ? 2 AB

a?b.

??? ? ??? ? ??? ? CA 7. 已知 D、 F 分别是△ABC 的边 BC、 、 的中点, BC ? a , ? b ,AB ? c , E、 CA AB 且
??? 1 ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 则 下 列 各 式 : ① EF ? c ? b ; ② BE ? a ? b ; ③ CF ? ? a ? b ; ④ 2 2 2 2 2 ???? ???? ???? A D? B E? C F?0 .其中正确的等式的个数为

??? ??? ??? ? ? ? 8.已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O

是△ABC 的 。 (填重心 、垂心、内心、外心之一) ??? ? ???? ??? ? 9.若 AB ? 8, AC ? 5, 则 BC 的取值范围是 ???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ? 10. ? AC 在 B D 中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC , 为 BC 的中点, MN ? _______。 M 则 ?? (用 a、 表示) b 三、解答题 11.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点, 已知 AB =a, AD =b,试用 a,b 表示 BC 和 MN .

12.已知:在任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、DC 的中点. 1 求证: EF ? ( AB ? BC ) 2 平面向量的线性运算习题课(2) 一,填空题。

1. 向量的加法: 已知a、 , 作AB ? a, BC ? b, 则 b
2. 共线向量与数乘关系定 : 理
3. 当? ? 0时, a与? a的方向

叫a与b的和, 记作
. .

.

向量 a与b共线 (b ? 0), 则 ; 当? ? 0时, a与? a的方向

4. D是?ABC中BC边上一点, 且BD ?
5. 向量的 , . ,

1 BC .设 AB ? a , AC ? b, 则AD ? 3

.

运算统称为向量的线性 运算 .对任意实数 ? , u1 , u2 , 恒有

? ( u1 a ? u2 b) ?

6. AB ? AC ? BD ? CD ?
AB ? AD ? DC ?

. OA ? OD ? AD ?
. NQ ? QP ? MN ? MP ?

.

.

7. 在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC , M、N分别为 AB和CD的中点 , 在以 A、B、C、 D、M、N为起点和终点的所有向 量中, 相等的非零向量共有多 少对?

8. 已知O为四边形ABCD所在平面内的一点 且向量OA、OB、OC、OD满足等式 , OA ? OC ? OB ? OD. (1)作图并观察四边形 ABCD的形状; (2)四边形ABCD有什么特性?试证明你的猜想.

9. 在?ABC中, AD ?

1 AB , DE // BC , 且与边AB相交于点E , ?ABC的中线 4 ;(3)DE ? ;(7)AN ? ;(4)DB ? . ;

AM 与 DE相交于点N , 设 AB ? a , AC ? b, 则 (1)AE ? (5)EN ? ;(2)BC ? ;(6)DN ?

10. 已知四边形 ABCD, 点E、 、 、 分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证: ? HG. F G H , EF G C D
H A E F B

11. 如图, AM ?

1 1 1 AB , AN ? AC .求证 : MN ? BC . 3 3 3

C N A
12.

M

B

13.

14.

平面向量的线性运算习题课(3) 一.选择题。 1.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法错误的是( A. a 与 b 的长度必相等 C. a 与 b 一定不相等
? ? ? ? ? ?

? ? B. a ? b

)

D. a 是 b 的相反向量
? ? ?

?

?

2.已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的向量分别为 a 、 b 、 c , 则向量 OD 等于( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? b-c 3.(如图)在平行四边形 ABCD 中,下列正确的是( ). ??? ??? ? ? ??? ???? ??? ? ? A. AB ? CD B. AB ? AD ? BD ???? ??? ??? ? ? C. AD ? AB ? AC D.
? ? ? D. a-b-c

D

??? ??? ? ? ?

C B

AD ? BC ? 0

A

第 3 题图 4. OA ? OC ? BO ? CO 等于( A. AB B. BA ) ) C. AC

第 6 题图

D. CA

5.化简 OP ? QP ? PS ? SP 的结果等于(

A、 QP B、 OQ C、 SP D、 SQ 6.(如图)在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是( ) ??? ??? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? A AB ? OC B AB ∥ DE C AD ? BE D AD ? FC
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7.下列等式中,正确的个数是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a ? b ? b ? a ② a-b ? b-a ③ 0 ? a ? ?a ? ? ? ? ④ ?( ?a ) ? a ⑤ a ? ( ?a ) ? 0 A.5 B.4 C.3 ??? ? ??? ? ? ? ? ? 8.在△ABC 中, AB ? a , AC ? b ,如果 | a |?|b| ,那么△ABC 一定是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

D.2 ).

9.在 ?ABC 中, BC ? a , CA ? b ,则 AB 等于( ) ? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b B. ?( a ? b ) C. a ? b D. b ? a ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? b 10.已知 a 、 是不共线的向量, AB ? ? a ? b , AC ? a ? ?b ( ? 、 ? R ),当且仅当( ) 时, A 、 B 、 C 三点共线. ? A? ? ? ? ? 1 ? B ? ? ? ? ? 1 ?C ? ?? ? ?1 ? D? ?? ? 1 二.填空题 11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图 形是______ ???? ??? ? ??? ? ? ? 12. ? ABCD 的两条对角线相交于点 M ,且 AB ? a, AD ? b ,则 MA ? ______, ???? ? ???? ???? ? MB ? ______, MC ? ______, MD ? ______. ? ? ? ? ? ? 13.已知向量 a 和 b 不共线,实数 x , y 满足 (2x ? y)a ? 4b ? 5a ? ( x ? 2 y)b ,则 x ? y ? ______ ??? ??? ??? ? ? ? 14.化简:① AB ? BC ? CD ? ______; ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ???? ???? ? ② AB ? AD ? DC ? ______;③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? ______ 15.化简下列各式:
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??? ?

? ???

?

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(1) AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? ______; ??? ???? ? ??? ??? ???? ? ? ? (2) ( AB ? MB) ? (BO ? BC) ? OM ? ______. ??? ? ??? ? ? ? 16.在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b ,则 ??? ? ??? ? AC ? ______, DB ? ______. ??? ??? ??? ? ? ? 17.在四边形 ABCD 中有 AC ? AB ? AD ,则它的形状一定是______ ???? ??? ? ??? 1 ???? ? 18.已知四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AD ? BC 则四边形 ABCD 的形状是___
2

___. 19.化简: ( AC ? DP ? BA) ? (CP ? BD) ? ______. ??? ? ??? ? ??? ? ? 20.在△ABC 中,设 BC ? a , CA ? b ,则 AB =______ 三.解答题 21.某人从 A 点出发向西走了 10m,到达 B 点,然后改变方向按西偏北 60 ? 走了 15m 到达 C 点,最后又向东走了 10 米到达 D 点. (1)作出向量 AB , BC , CD (用 1cm 长线段代表 10m 长); ??? ? (2)求 DA

22.如图,在梯形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O , E 、F 分别是 AC 和 BD 的 中点,分别写出 (1)图中与 EF 、 CO 共线的向量;

(2)与 EA 相等的向量.

23.在直角坐标系中,画出下列向量: ? ? (1) a ? 2 , a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60? ,与 y 轴正方向的夹角为 30? ; ? ? (2) a ? 4 , a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30? ,与 y 轴正方向的夹角为 120? ; ? ? (3) a ? 4 2 , a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 135? ,与 y 轴正方向的夹角为 135? .

24.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 边中点,点 N 在 BD 上且 1 BN ? BD ,求证: M 、 N 、 C 三点共线. 3

D N A M B

C


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