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双曲线的渐近线和离心率


第 34 练

双曲线的渐近线和离心率

题型一 双曲线的渐近线问题 例1 x2 y2 5 (2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线 a b 2 )

方程为(

1 1 A.y=± xB.y=± x 4 3 1 C.y=±

xD.y=± x 2 破题切入点 根据双曲线的离心率求出 a 和 b 的比例关系,进而求出渐近线. 答案 C c 5 解析 由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R+), a 2 b 1 由 b2=c2-a2=k2,知 b=k.所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 题型二 双曲线的离心率问题 例2 x2 y2 已知 O 为坐标原点,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,以 OF 为直径作圆与 a b )

→ → → 双曲线的渐近线交于异于原点的两点 A, B, 若(AO+AF)· OF=0, 则双曲线的离心率 e 为( A.2B.3 C. 2D. 3 破题切入点 数形结合,画出合适图形,找出 a,b 间的关系. 答案 C 解析 如图,设 OF 的中点为 T,

→ → → 由(AO+AF)· OF=0 可知 AT⊥OF,

c c? 又 A 在以 OF 为直径的圆上,∴A? ?2,2?, b 又 A 在直线 y= x 上, a ∴a=b,∴e= 2. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 x2 y2 → → 例 3 已知 A(1,2),B(-1,2),动点 P 满足AP⊥BP.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与 a b 动点 P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________. 破题切入点 先由直接法确定点 P 的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不 等关系,进一步列出关于离心率 e 的不等式进行求解. 答案 (1,2) 解析 设 P(x,y),由题设条件, 得动点 P 的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)· (y-2)=0, 即 x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆. x2 y2 b 又双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,即 bx± ay=0, a b a 由题意,可得 c 所以 e= <2, a 又 e>1,故 1<e<2. 总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中 a,c 的关系,a,c 关系的建立方 法直接反映了试题的难易程度,最后在求得 e 之后注意 e>1 的条件,常用到数形结合. b x y x2 y2 (2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由 y=± x? ± =0? 2- 2=0,所以可 a a b a b x2 y2 以把标准方程 2- 2=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.双曲线的离 a b b 心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于 = a b 的值就逐渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大. a c2-a2 = a e2-1,当 e 逐渐增大时, 2a a +b
2 2

2a >1,即 >1, c

x2 y2 y2 x2 1.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)以及双曲线 2- 2=1 的渐近线将第一象限三等分,则双 a b a b x2 y2 曲线 2- 2=1 的离心率为( a b 2 3 2 3 A.2 或 B. 6或 3 3 C.2 或 3D. 3或 6 答案 A x2 y2 解析 由题意,可知双曲线 2- 2=1 的渐近线的倾斜角为 30° 或 60° , a b b 3 则 = 或 3. a 3 c 则 e= = a = c2 = a2 a2+b2 a2 )

b 2 3 1+? ?2= 或 2,故选 A. a 3

x2 y2 2.已知双曲线 C: 2- 2=1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作双曲线 C 的一 a b 条渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为( A. 2B. 3C.2D.3 答案 A b a 解析 取双曲线的渐近线 y= x,则过 F2 与渐近线垂直的直线方程为 y=- (x-c),可解得 a b a2 ab? ?a2+c2 ab? x2 y2 , ,则 F2H 的中点 M 的坐标为? 点 H 的坐标为? ,代入双曲线方程 - =1 ? ?c c ? a2 b2 ? 2c ,2c? ?a2+c2?2 a2b2 c 可得 - 2 2=1,整理得 c2=2a2,即可得 e= = 2,故应选 A. 4a2c2 4c b a x2 y2 3.(2014· 绵阳模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5 a b =0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( x y x y A. - =1B. - =1 5 4 4 5 x2 y2 x2 y2 C. - =1D. - =1 3 6 6 3 答案 A x2 y2 b 解析 ∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, a b a 圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4,
2 2 2 2

)

)

∴圆心为 C(3,0). 又渐近线方程与圆 C 相切, 即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, ∴ 3b a +b
2

2

=2,∴5b2=4a2.①

x2 y2 又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a b ∴a2+b2=9.② 由①②得 a2=5,b2=4.

a2+b2,0)为圆心 C(3,0),

x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在 a b a c 点P使 = ,则该双曲线的离心率的取值范围是( sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 A.(1, 2+1) B.(1, 3) C.( 3,+∞) D.( 2+1,+∞) 答案 A |PF2| |PF1| 解析 根据正弦定理得 = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 由 a c = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 )

a c |PF1| c 可得 = ,即 = =e, |PF2| |PF1| |PF2| a 所以|PF1|=e|PF2|. 因为 e>1, 所以|PF1|>|PF2|,点 P 在双曲线的右支上. 又|PF1|-|PF2|=e|PF2|-|PF2|=|PF2|(e-1) =2a, 解得|PF2|= . e-1 2a

因为|PF2|>c-a(不等式两边不能取等号,否则题中的分式中的分母为 0,无意义),

2a 2 所以 >c-a,即 >e-1, e-1 e-1 即(e-1)2<2,解得 e< 2+1. 又 e>1,所以 e∈(1, 2+1). 5.(2014· 湖北)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2 π = ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 4 3 2 3 A. B. 3 3 C.3D.2 答案 A 解析 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2), |F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2, π 2 由(2c)2=r2 1+r2-2r1r2cos , 3
2 得 4c2=r2 1+r2-r1r2.

)

由错误!得错误! 1 1 a1+a2 r1 所以 + = = . e1 e2 c c
2 r2 4r1 4 1 令 m= 2= 2 2 = c r1+r2-r1r2 r2 2 r2 1+? ? - r1 r1



4 , r2 1 2 3 ? - ?+ r1 2 4

r2 1 16 当 = 时,mmax= , r1 2 3 r1 4 3 所以( )max= , c 3 1 1 4 3 即 + 的最大值为 . e1 e2 3 x2 y2 x2 y2 6.(2014· 山东)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 a b a b 与 C2 的离心率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 )

A.x± 2y=0B. 2x± y=0

C.x± 2y=0D.2x± y=0 答案 A c1 c2 解析 由题意知 e1= ,e2= , a a c1 c2 c1c2 3 ∴e1· e2= · = 2 = . a a a 2
2 2 2 又∵a2=b2+c2 1,c2=a +b , 2 ∴c1 =a2-b2, 4 4 2 2 c1 c2 a -b b ∴ 4 = 4 =1-( )4, a a a

b 3 即 1-( )4= , a 4 b 2 b 2 解得 =± ,∴ = . a 2 a 2 x2 y2 令 2- 2=0,解得 bx± ay=0, a b ∴x± 2y=0. x2 y2 x2 y2 7.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 2- 2=1 的离心率分别为 e1,e2,则 e1e2 的取值范围为 a b a b ________. 答案 (0,1) 解析 可知 e2 1= a2-b2 b2 2 =1- 2, a a

a2+b2 b2 e2 = = 1 + , 2 2 a a2
2 所以 e2 1+e2=2>2e1e1?0<e1e2<1.

x2 y2 a2 8.过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 FE 交 a b 4 双曲线的右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 答案 10 2

解析 设双曲线的右焦点为 F′,由于 E 为 PF 的中点,坐标原点 O 为 FF′的中点,所以 a EO∥PF′,又 EO⊥PF,所以 PF′⊥PF,且|PF′|=2× =a,故|PF|=3a,根据勾股定理 2 得|FF′|= 10a.所以双曲线的离心率为 10a 10 = . 2a 2

x2 y2 9.(2014· 浙江)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交 a b 于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 答案 5 2

x2 y2 b 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x. a b a b ? ?y=ax, am bm 由? 得 A( , ), 3b-a 3b-a ? ?x-3y+m=0, b ? ?y=-ax, -am bm 由? 得 B( , ), a+3b a+3b ? x - 3 y + m = 0 , ? a2m 3b2m 所以 AB 的中点 C 坐标为( 2 , ). 9b -a2 9b2-a2 设直线 l:x-3y+m=0(m≠0), 因为|PA|=|PB|,所以 PC⊥l, 所以 kPC=-3,化简得 a2=4b2. 在双曲线中,c2=a2+b2=5b2, c 5 所以 e= = . a 2 x2 y2 10.(2013· 湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a b |PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. 答案 3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|,

则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30° ,

由正弦定理得,∠PF2F1=90° , ∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a x2 y2 11.P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线 E 的左, a b 1 右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲 → → → 线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值. x2 y2 解 (1)点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上, a b
2 x0 y2 0 有 2- 2=1. a b

y0 y0 1 由题意又有 · = , x0-a x0+a 5 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, c 30 则 e= = . a 5
2 2 2 ? ?x -5y =5b , (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2).

?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4 .
1 2 2 1 2

5c



→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,

? ?x3=λx1+x2, 即? ? ?y3=λy1+y2.
2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x2 3-5y3=5b ,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.

2 2 2 2 化简得 λ2(x1 -5y2 1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b .

又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b .

由(1)可知 c2=6b2, 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2. 得 λ2+4λ=0,解得 λ=0 或 λ=-4. x2 12.(2014· 江西)如图,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F.点 A,B 分别在 C 的两条 a 渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

(1)求双曲线 C 的方程; x0x 3 (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相 a 2 |MF| 交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| 解 (1)设 F(c,0), 1 直线 OB 方程为 y=- x, a 1 c c 直线 BF 的方程为 y= (x-c),解得 B( ,- ). a 2 2a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c c -?- ? a 2a 3 c 则 A(c, ),kAB= = . a c a c- 2 3 1 又因为 AB⊥OB,所以 · (- )=-1, a a 解得 a2=3, x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为

x0x-3 x0x -y0y=1(y0≠0),即 y= . 3 3y0 因为 c= a2+b2=2,所以直线 AF 的方程为 x=2,

2x0-3 所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2, ); 3y0 3 x -3 3 3 2 0 直线 l 与直线 x= 的交点为 N( , ). 2 2 3y0 ?2x0-3?2 则 |MF|2 = |NF|2 ?3y0?2 3 ? x0-3?2 1 2 + 4 ?3y0?2

?2x0-3?2 = 2 9y0 9 + ?x -2?2 4 4 0
2 4 ?2x0-3? = · 2 . 3 3y0+3?x0-2?2

x2 0 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3 ?2x0-3?2 |MF|2 4 代入上式得 = · 2 |NF|2 3 x2 0-3+3?x0-2?
2 4 ?2x0-3? 4 = · 2 = , 3 4x0-12x0+9 3



|MF| 2 2 3 = = 为定值. |NF| 3 3


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