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广东省中山市龙山中学2016届高三上学期9月月考数学(文)试卷


龙山中学 2015—2016 学年第一学期 9 月月考试题 高二数学(文科)2015、9
命题人:康俊林

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 y ? x2 ? x 的定义域为{0,1,2},那么该函数的值域为( ) A.{0,1,2} B.{0,2}

C. { y | 0 ? y ? 2} D. { y | ?

1 ? y ? 2} 4

2.下列函数为偶函数的是( ) A. y ? sin x B. y ? x 3 C. y ? e x D. y ? ln

x ? ??

3.函数 y ? 3 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是( ) A. (?1,3) B. [?1,3) C. (?1,3] D. (3,??)

4.下列函 数中与函数 y ? A. y ? x ? ? 2x

? 2 x 3 相同的是( )
C. y ? ? 2 x 3 D. y ? x ?
2

B. y ? ? x ? ? 2x

?2 x

5.若函 数 f(x)=4x -mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则 f(1)的范围是( ) A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25 6.下列函数中值域为正实数的是( A.y=-5
x

2

) C.y= ( ) x ? 1

B.y=(

1 1-x ) 3

1 2

D.y= 1 ? 2 x

7.下列函数既是奇函数,又在区间 [ ?1,1] 上单调递减的是( ) A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? B. f ( x) ? ? | x ? 1 | D. f ( x) ? ln

1 x (a ? a ? x ) 2

2? x 2? x
1 2

8.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A. y ? ? x3 , x ? R 9.已知 f ( x) ? ? B. y ? sin x , x ? R C. y ? x , x ? R D. y ? ( ) x , x ? R

? x ? 2( x ? ?1)
2 ? x ( x ? ?1)

,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( )

A. 1

B. 1 或 ? 3

C. ? 3

D. 3

10.已知 0< a <1, log a (1 ? x ) ? log a x ,则( ) A. 0 ? x ? 1 11 . 函 数

B.

x?

1 2


C. 0 ? x ? 图 像

1 2


D. 致

1 ? x ?1 2
是 ( )

y?

ln x x

A.

B.

C.

D.

12.已知 f ( x) 是 R 上的偶函数, g ( x) 是 R 上的奇函数,且 g ( x) ? f ( x ? 1) ,若 g (1) ? 2 , 则 f (2012) 的值为( ) A.2 B.0 C. ? 2 D. ? 2 二、填空题:( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
2 13.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?



14.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 3x ,则 x ? 0 时,

f ( x) =



15.设 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1, ?? 2 x ? 6,

x?0 ,若 f (t ) ? 2 ,则实数 t 的取值范围是 x?0



16.函数 y ? log0.2 ( x 2 ? 6x ? 8) 的单调递增区间为



三、解答题: (本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 a ? ( 3 s i n x , co xs b ) ?,

?

?

,o 函 (c xos x ,c s数)

? ? f ( x)? 2a? b? 1
(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [

?
6

,

?
2

] 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值.

18. (本小题满分 12 分 ) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点 E、 F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.
B E A C D P

F

19. (本小题满分 12 分 ) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已 知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项; (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . , 2, ?,

20. (本小题满分 12 分 ) 已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是 否 存 在 直 线 l , 使 l 过 点 ( 0 , 1 ) , 并 与 轨 迹 C 交 于 P, Q 两 点 , 且 满 足

??? ? ???? OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

? 2x ? b 21.(12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?2
(1)求 b 的值; (2)判断函数 f ( x) 的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

请考生在第 22,23,二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写 清楚题号 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P,已 知∠EAD=∠PCA,证明: (1)AD=AB; 2 (2)DA =DC?BP.

【选修 4-4:坐标系与参数方程

23. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 P( ,1) ,直线 l 的参数方程为

(t

为参数)若以 O 为极点,以 Ox 为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,则曲线 C 的极 坐标方程为 ρ = cos(θ ﹣ )

(Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积.

龙山中学 2016 届高三月考考试答题卡 数学(文科)
原班级座号 题 号 得 分 一 二 三 15 16 17 18 19 20 总分

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 原班级 题号 答案 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 14. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

座号

密 封 线 内 不 要

15.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答须写出解题过程。 ) 17.

姓名 考生号

试室

答 题

18.

P

F

E B

A C

D

19.

20.

21.

22.

23.

龙山中学 2015—2016 学年高三第一学期 9 月月考试题
参考答案 一、选择题: BDCBA 二、填空题: 13. 0 BDADC AA

14. f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 3x 15. (??,0) ? (3, ??) 16. ?? ?,2? 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分 ) 解:(1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 …………………………1 分

? 3sin 2x ? cos 2x


……………………………………………………2

? 2sin(2 x ? ) . 6


?

………………………………………………………4

? f ( x) 的最小正周期是 ? .
(2) 由 f ( x) ? 1, 得 sin ? 2 x ? ∵ x ?[ ∴ x?

……………………………………6 分

? ?

??
?
6

1 ?? 6? 2
?[

………………………………………….8 分

? ?
6 2 ,

] ,∴ 2 x ?

? 7?
2 , 6

] ∴ 2x ?

?
6

?

5? 6

?
3

…………………………………………………………………12 分

17. (本小题满分 14 分 ) 证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG //
1 CD……1 分 2
P

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点 ∴AB //
1 CD 2

F G

∴FG // AE ………………2 分
B E A

∴四边形 AEGF 是平行四边形 ∴AF∥EG

D C

又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE ∴AF∥平面 PCE (2)∵ PA⊥底面 ABCD

………3 分

………………………………………4 分

∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA ? AD=A ∴CD⊥平面 ADP 又 AF ? 平面 ADP ∴CD⊥AF ………………………… 5 分

直角三角形 PAD 中,∠PDA=45° ∴△PAD 为等腰直角三角形 ∵F 是 PD 的中点 ∴AF⊥PD,又 CD ? PD=D ∴AF⊥平面 PCD ∵AF∥EG ∴EG⊥平面 PCD 又 EG ? 平面 PCE 平面 PCE⊥平面 PCD (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE PA 是三棱锥 P-BCE 的高, RT△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C-BEP 的体积 VC-BEP=VP-BCE= S?BCE ? PA ? 19. (本小题满分 12 分 ) ………………………… 9 分 ……………………………10 分 …………………………… 8 分 ………………………………… 7 分 ∴PA=AD=2 ……………………… 6 分

1 3

1 1 1 1 2 ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1? 2 ? 2 ? … 12 分 3 2 3 2 3

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

解得 a2 ? 2 .…………………1 分

2 ,a3 ? 2q . q
……………………3 分

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
1 . 2

解得 q1 ? 2,q2 ?

由题意得 q ? 1 , ? q ? 2 . ?a1 ? 1 .………………………………………… 5 分 故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . … ………………………………………………6 分 (2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 , 2, ?, 由(1)得 a3n?1 ? 23n

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 = 3ln 2 ? n
又 bn?1 ? bn ? 3ln 2 ? d

……………………………………………………8 分

?{bn } 是首项为 3ln 2 公差为 3ln 2 的等差数列
?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
?

………………………10 分

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n( n ? 1) ? ? ln 2. ………………………12 分 2 2 2

20. (本小题满分 12 分 ) 解: (1)如图,设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF ? MN ……………………………………2 分

即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线, 其中 F ?1,0 ? 为焦点,

x ? ?1 为准线,

N
A

M

x

o

F ?1,0 ?

x ? ?1

∴动圆圆心的轨迹方程为 y ? 4 x
2

……………………………………4 分

(2)由题可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1)(k ? 0) 由?

? x ? k ( y ? 1) ? y ? 4x
2

得 y ? 4ky ? 4k ? 0
2

2 △ ? 16k ? 16k ? 0 ,? k ? 0或k ? 1

…………………………………………6 分 ………………7 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k

由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1 , y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ……9 分 即k
2

??? ? ????

??? ?

????

? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? 0 , (k 2 ?1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ,

, ……………11 分 4k (k 2 ? 1) ? k 2 ? 4k ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) 又 k ? ?4 ? 0 , ∴ 直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 …………12 分

21.解析:(1)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,

1? 2x b ?1 ? 0 ? b ? 1 .? f ( x) ? 即 . ………4 分 2?2 2 ? 2 x ?1 1? 2x 1 1 ?? ? x (2)由(1)知 f ( x) ? , x ?1 2?2 2 2 ?1 1 1 2 x2 ? 2 x1 设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x . …………6 分 ? ? 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) 因为函数 y ? 2 x 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ,
? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 . x x 又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1) ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? f ( x) 在 (??,??) 上为减函数.…………8 分 (3)因为 f ( x) 是奇函数,
从而不等式: f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 . 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,…………10 分 因 f ( x) 为减函数,由上式推得: t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .
2 即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,

从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0 ? k ? ?

1 . …………12 分 3

22. (10 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P,已 知∠EAD=∠PCA,证明: (1)AD=AB; 2 (2)DA =DC?BP.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: (1)连结 BD,由弦切角定理得∠EAD=∠ABD=∠PCA,由此能证明 AD=AB. 2 (2)由已知得∠ADC=∠ABP,∠PAB=∠ACD,从而△ACD∽△APB,由此能证明 DA =DC?BP. 解答: 证明: (1)连结 BD, ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P,∠EAD=∠PCA, ∴∠EAD=∠ABD=∠PCA, ∴AD=AB.…………5 分 (2)∵四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P,∠EAD=∠PCA, ∴∠ADC=∠ABP,∠PAB=∠ACD,

∴△ACD∽△APB, ∴
2

,又 AD=AB,

∴DA =DC?BP.…………10 分

点评: 本题考查线段长相等的证明,考查 DA =DC?BP 的证明,解题时要认真审题,注意圆 的性质的合理运用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程

2

23.在直角坐标系 xOy 中,已知点 P( ,1) ,直线 l 的参数方程为

(t 为参数)

若以 O 为极点,以 Ox 为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程 为ρ = cos(θ ﹣ )

(Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 考点: 直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (I) 由直线 l 的参数方程

, 由 y=1+ t 可得 t=2 (y﹣1) 代入 x= +

消去参数 t 即可得出;由曲线 C 的极坐标方程 ρ =
2

cos(θ ﹣

)展开为 即可得

,化为 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ ,利用 出曲线 C 的直角坐标方程.

(II) 把直线 l 的参数方程

代入圆的方程可得

=0, 由于点 P ( , 1)

在直线 l 上,可得|PA||PB|=|t1t2|.

解答: 解: (I) 由直线 l 的参数方程

, 消去参数 t, 可得

=0;

由曲线 C 的极坐标方程 ρ =

cos(θ ﹣

)展开为



化为 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =x+y,即
2 2

2

= .…………5 分

(II)把直线 l 的参数方程

代入圆的方程可得

=0,

∵点 P( ,1)在直线 l 上,∴|PA||PB|=|t1t2|= .…………10 分 点评: 本题考查了把参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、 直线参数方程的应用, 考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.


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