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2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理科)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
). 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(2014 四川,理 1)已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B=( A.{-1,0,1,2} C.{0

,1} 答案:A 解析:∵A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}, ∴A∩B=A∩Z={x|-1≤x≤2}∩Z={-1,0,1,2}. 2.(2014 四川,理 2)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为( A.30 B.20 C.15 ). D.10 =15, ). B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0}

答案:C 解析:含 x3 的项是由(1+x)6 展开式中含 x2 的项与 x 相乘得到,又(1+x)6 展开式中含 x2 的项的系数为 故含 x3 项的系数是 15. 3.(2014 四川,理 3)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点( A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 答案:A 解析:∵y=sin(2x+1)=sin 2 , ). ∴需要把 y=sin 2x 图象上所有的点向左平移 个单位长度即得到 y=sin(2x+1)的图象. 4.(2014 四川,理 4)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. C. 答案:D 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0< 即 ∴
-

B. D. .

>0. . ).

又∵a>b>0,
-

,∴

5.(2014 四川,理 5)执行如图的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为(

A.0 答案:C

B.1

C.2

D.3

1

解析:先画出 x,y 满足的约束条件

对应的可行域如图中阴影部分:

移动直线 l0:y=-2x. 当直线经过点 A(1,0)时,y=-2x+S 中截距 S 最大,此时 Smax=2×1+0=2. 再与 x≥0,y≥0,x+y≤1 不成立时 S=1 进行比较,可得 Smax=2. 6.(2014 四川,理 6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( A.192 种 答案:B 解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为 ; (2)当最左端排乙的时候,排法种数为 . 因此不同的排法的种数为 A.-2 答案:D 解析:∵a=(1,2),b=(4,2), ∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2). 又∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, ∴cos<c,a>=cos<c,b>. ∴ 即 . , B.-1 =120+96=216. ). C.1 D.2 7.(2014 四川,理 7)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=( B.216 种 C.240 种 D.288 种 ).

解得 m=2. 8.(2014 四川,理 8)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与 平面 A1BD 所成的角为 α,则 sin α 的取值范围是( ).

A. 答案:B

B.

C.

D.

解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.

不妨设 DC=DA=DD1=1,则 D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O 则 =(-1,0,-1), =(0,1,-1). 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x0,y0,z0), - 则有 即 取 x0=1,y0=-1,z0=-1, -

,并设点 P(0,1,t)且 0≤t≤1.

2

∴n=(1,-1,-1). ∴sin α=|cos< ∴sin2α= 令 f(t)= 则 f'(t)=
-

,n>|= ,0≤t≤1. ,0≤t≤1. =-

- -

(0≤t≤1),

,

可知当 t∈ 当 t∈ ∴fmax(t)=f 又∵f(0)= ,f

时,f'(t)>0; 时,f'(t)≤0. =1,f(1)= , =1,fmin(t)=f(0)= .

∴sin α 的最大值为 1,最小值为 . ∴sin α 的取值范围为 . =2f(x);③|f(x)|≥2|x|. ). C.①③ ,f(-x)=ln
-

9.(2014 四川,理 9)已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f 其中的所有正确命题的序号是( A.①②③ 答案:A B.②③ D.①② =-ln =-f(x),又 x∈(-1,1),
-

解析:对于①,∵f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln ∴f(-x)=-f(x),故命题①正确; 对于②,f =ln -ln

-

-

-

=ln

-ln

=ln

-

=2ln

-

=2f(x),故命题②正确;
-

对于③,由于 f(x)和 2x 均为奇函数,不妨仅研究 x∈[0,1)时的情形,此时|f(x)|= φ(x)=
-

=ln

-

,2|x|=2x=ln e2x.令

-e2x,则 φ'(x)=2
-

-

-

,令 φ'(x)=0,得 x=0,且当 x∈[0,1)时,φ'(x)>0,因此 φ(x)在[0,1)上为增函
-

数,∴φ(x)≥φ(0)=0,即

≥e2x 在 x∈[0,1)上恒成立,故 ln
-

≥2x 也成立;

同理根据对称性可知对 x∈(-1,1)均有 综上可知,正确命题的序号为①②③.

≥|2x|,即|f(x)|≥2|x|成立,③为真命题. =2(其中 O 为

10.(2014 四川,理 10)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 B.3 C. ). D.

答案:B 解析:设 AB 所在直线方程为 x=my+t. 由 设 A( 故 而 · ,y1),B( 消去 x,得 y2-my-t=0. ,y2)(不妨令 y1>0,y2<0), +y1y2=2. =m,y1y2=-t.

解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去). 所以-t=-2,即 t=2. 所以直线 AB 过定点 M(2,0). 而 S△ABO=S△AMO+S△BMO = |OM||y1-y2|=y1-y2, S△AFO= |OF|×y1= y1= y1, 故 S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1= y1-y2.

3

由 y1-y2= y1+(-y2)≥2

-

=2

=3,

得 S△ABO+S△AFO 的最小值为 3,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2014 四川,理 11)复数 答案:-2i 解析:
- -

共 100 分)

= =-2i.

.

12.(2014 四川,理 12)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)= f = .

-

-



答案:1 解析:∵f(x)的周期为 2, ∴f =f =f , 又∵- ∈[-1,0), ∴f 即f =-4× =1. m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67° ≈0.92,cos ≈1.73) +2=1.

13.(2014 四川,理 13)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于 67° ≈0.39,sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80,

答案:60 解析:如图所示,过 A 作 AD⊥CB 且交 CB 的延长线于 D.

在 Rt△ADC 中,由 AD=46 m,∠ACB=30° 得 AC=92 m. 在△ABC 中,∠BAC=67° -30° =37° ,∠ABC=180° -67° =113° ,AC=92 m,由正弦定理 ,即 |PA|· |PB|的最大值是 答案:5 解析:由题意可知点 A 为(0,0),点 B 为(1,3). 又∵直线 x+my=0 的斜率 k1=- ,直线 mx-y-m+3=0 的斜率 k2=m,∴k1k2=-1. ∴两条动直线互相垂直. 又∵圆的性质可知,动点 P(x,y)的轨迹是圆, ∴圆的直径为|AB|= ∴|PA|·|PB|≤ 当且仅当|PA|=|PB|= ∴|PA|·|PB|的最大值是 5. =5. 时,等号成立. . . ,解得 BC= ≈60 m. ,得

14.(2014 四川,理 14)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则

4

15.(2014 四川,理 15)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合:对于函 数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当 φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B. 现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 其中的真命题有 答案:①③④ (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. .(写出所有真命题的序号)

解析:对于①,“f(x)∈A”说明 f(x)的值域为 R,显然能推出“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”,反之对满足“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”的 函数其值域也必为 R.所以①为真命题; 对于②,“函数 f(x)∈B” “f(x)有最大值和最小值”.如函数 f(x)= 值.但“f(x)有最大值和最小值”?“f(x)∈B”. 综上知②为假命题; 对于③,因为 f(x)∈A,所以 f(x)的值域为 R. 因为 g(x)∈B,所以存在正数 M 使得-M≤g(x)≤M, 所以 f(x)+g(x)的值域为 R∪[-M,M]=R. 所以 f(x)+g(x)?B.因此③为真命题; 对于④,易证当 x>-2 时, f(x)= ∈B,故命题④为真. . ,要使 f(x)=aln(x+2)+ (x>-2,a∈R)有最大值,则 a 必为 0.此时 的值域为(0,1]?[-1,1],但 f(x)= 无最小

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2014 四川,理 16)已知函数 f(x)=sin (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f cos cos 2α,求 cos α-sin α 的值. ,然后利用和角公式展开整理,得到 分析:在第(1)问,通过整体思想,将 3x+ 看作一个整体,借助 y=sin x 的单调递增区间,解不等式求出 x 的范围得到 f(x)的单调递增区间,要注意 k∈Z 不要漏掉;在第(2)问,利用已知条件求出 f 解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为 由- +2kπ≤3x+ +2kπ,k∈Z,得≤x≤ (cos α-sin α),
2 2

关于 sin α+cos α 与 cos α-sin α 的方程,再对 sin α+cos α 与 0 的关系进行讨论,得到 cos α-sin α 的值. ,k∈Z, ,k∈Z. ,k∈Z.

所以,函数 f(x)的单调递增区间为 (2)由已知,有 sin 所以 sin αcos +cos αsin = (cos2α-sin2α), 即 sin α+cos α= (cos α-sin α)2(sin α+cos α). cos

当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,知 α= +2kπ,k∈Z. 此时,cos α-sin α=. 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α)2= . 由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0,此时 cos α-sin α=- . 综上所述,cos α-sin α=或- .

17.(本小题满分 12 分)(2014 四川,理 17)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现 一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音 乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音 乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; 5

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计 的相关知识分析分数减少的原因. 分析:对于第(1)问,通过已知条件,得到 X 所有可能取值,然后借助独立重复试验概率公式分别计算每一个值所对 应的概率,再结合所求结果写出 X 的分布列;对于第(2)问,充分利用第(1)问的分布列,结合对立事件的概率求出 “没有出现音乐”的概率,然后利用互斥事件概率公式求出至少有一盘出现音乐的概率;对于第(3)问,利用第(1)问 的分布列,借助数学期望公式求出数学期望,然后作出相应判断. 解:(1)X 可能的取值为:10,20,100,-200.根据题意,有 P(X=10)= P(X=100)= 所以 X 的分布列为
X P 10 20 100 -200

-

,P(X=20)= ,P(X=-200)=

-

, .

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 这表明,获得分数 X 的均值为负, 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大. 18.(本小题满分 12 分)(2014 四川,理 18)三棱锥 A-BCD 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M,N 分别为线段 AD,AB 的中点,P 为线段 BC 上的点,且 MN⊥NP. . (3)X 的数学期望为 EX=10× +20× +100× -200× =- . =1.

(1)证明:P 是线段 BC 的中点; (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值. 分析:在第(1)问中,利用三视图,得到△ABD,△BCD 为正三角形,然后取 BD 中点 O,连接 AO,CO,得到线线垂直,从 而得到 BD⊥平面 AOC,再取 BO 的中点 H,利用垂直关系得到 BD⊥HP,最后利用中位线的性质得到 P 为 BC 中点; 在第(2)问中,若利用几何法,需作二面角的平面角,由已知 MN 与二面角的棱 NP 垂直且 MN?平面 MNP,故只需 过点 N 在平面 ANP 内作与 NP 垂直的直线即可,由(1)知 NP∥AC,故可过 N 作 NQ⊥AC 于点 Q,连接 MQ,则∠MNQ 为二面角的平面角.然后利用解三角形相关知识求解即可.若利用空间向量,应建立空间直角坐标系,然后利用线 面关系,求出相应点的坐标,从而求出两个半平面的法向量,再利用两个法向量的夹角求出二面角的余弦值.

(1)证明:如图,取 BD 中点 O,连接 AO,CO. 由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD 为正三角形, 因此 AO⊥BD,OC⊥BD. 因为 AO,OC?平面 AOC,且 AO∩OC=O, 所以 BD⊥平面 AOC. 又因为 AC?平面 AOC,所以 BD⊥AC. 6

取 BO 的中点 H,连接 NH,PH. 又 M,N 分别为线段 AD,AB 的中点,所以 NH∥AO,MN∥BD. 因为 AO⊥BD,所以 NH⊥BD. 因为 MN⊥NP,所以 NP⊥BD. 因为 NH,NP?平面 NHP,且 NH∩NP=N,所以 BD⊥平面 NHP. 又因为 HP?平面 NHP,所以 BD⊥HP. 又 OC⊥BD,HP?平面 BCD,OC?平面 BCD,所以 HP∥OC. 因为 H 为 BO 中点, 故 P 为 BC 中点. (2)解法一:

如图,作 NQ⊥AC 于 Q,连接 MQ. 由(1)知,NP∥AC, 所以 NQ⊥NP. 因为 MN⊥NP,所以∠MNQ 为二面角 A-NP-M 的一个平面角. 由(1)知,△ABD,△BCD 为边长为 2 的正三角形,所以 AO=OC= 由俯视图可知,AO⊥平面 BCD. 因为 OC?平面 BCD,所以 AO⊥OC,因此在等腰 Rt△AOC 中,AC= 作 BR⊥AC 于 R, 在△ABC 中,AB=BC, 所以 BR= . . .

因为在平面 ABC 内,NQ⊥AC,BR⊥AC, 所以 NQ∥BR. 又因为 N 为 AB 的中点,所以 Q 为 AR 的中点, 因此 NQ= 同理,可得 MQ= . . . .

所以在等腰△MNQ 中,cos∠MNQ= 故二面角 A-NP-M 的余弦值是 解法二:由俯视图及(1)可知,AO⊥平面 BCD. 因为 OC,OB?平面 BCD,所以 AO⊥OC,AO⊥OB. 又 OC⊥OB,所以直线 OA,OB,OC 两两垂直.

如图,以 O 为坐标原点,以

的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz.

则 A(0,0, ),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0). 因为 M,N 分别为线段 AD,AB 的中点, 又由(1)知,P 为线段 BC 的中点, 所以 M ,N ,P . 7

于是

=(1,0,-

),

=(-1,

,0),

=(1,0,0),

-

.

设平面 ABC 的一个法向量 n1=(x1,y1,z1),则 即 有 从而 ,y1=1,所以 n1=( ,1,1). -

取 z1=1,则 x1= 则 有 从而 即

设平面 MNP 的一个法向量 n2=(x2,y2,z2),

-

取 z2=1,所以 n2=(0,1,1). 设二面角 A-NP-M 的大小为 θ, 则 cos θ= = . .

故二面角 A-NP-M 的余弦值是

19.(本小题满分 12 分)(2014 四川,理 19)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图象上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2,求数列 的前 n 项和 Tn. 分析:在第(1)问中,利用已知条件(a8,4b7)在 f(x)的图象上,得到关于 a8,a7 的方程,然后结合(a7,b7)在 f(x)的图象上, 求出公差 d,再利用等差数列前 n 项和公式求出数列{an}的前 n 项和 Sn;在第(2)问中,充分利用已知条件求出切线 方程,得到 a2,然后利用 a1=1,求出公差 d,从而得到 an,bn,再利用乘公比错位加减法求出 Tn. 解:(1)由已知,b7= ,b8= =4b7,有 =4× . 解得 d=a8-a7=2. 所以,Sn=na1+
-

d=-2n+n(n-1)=n2-3n. =( ln 2)(x-a2), .

(2)函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y它在 x 轴上的截距为 a2由题意,a2解得 a2=2. 所以,d=a2-a1=1. 从而 an=n,bn=2n. 所以 Tn= 2Tn= +…+ +…+
-

=2-

,

-

,

.
-

因此,2Tn-Tn=1+ 所以,Tn=
- -

+…+ .

=2-

- -

.

20.(本小题满分 13 分)(2014 四川,理 20)已知椭圆 C: 个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程.

=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一

(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. 8

①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); ②当 最小时,求点 T 的坐标. 分析:在第(1)问中,利用已知条件,借助 a,b,c 的几何意义,列出关于 a,b,c 的方程组,求出 a2,b2,然后写出椭圆的标 准方程;在第(2)问①中,设出 T 点坐标,充分利用所给条件,表示出 PQ 的方程,然后设出 P,Q 两点坐标,联立曲线 方程得到关于 y 的一元二次方程,再利用根与系数的关系表示出 PQ 的中点坐标,最后利用斜率得出要证结论;在 ②中,利用①的结论,分别表示出|TF|,|PQ|,然后借助基本不等式得到 (1)解:由已知可得 解得 a =6,b =2, 所以椭圆 C 的标准方程是 则直线 TF 的斜率 kTF=
- -2 2

的最小值并求出 T 点坐标.

-

=1. =-m.

(2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m). 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. 所以 y1+y2= ,y1y2=
-

-

,

x1+x2=m(y1+y2)-4=

.
-

所以 PQ 的中点 M 的坐标为 所以直线 OM 的斜率 kOM=- ,

.

又直线 OT 的斜率 kOT=- ,所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②解:由①可得, |TF|= |PQ|= = = 所以 = ≥ 当且仅当 m2+1= 所以当 . ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. , -

.

最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).

21.(本小题满分 14 分)(2014 四川,理 21)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 分析:在第(1)问中,利用已知条件求出 g(x),然后借助导数 g'(x)求最值,在求解过程中需根据参数 a 的取值范围进 行讨论,再利用 g(x)在区间上的单调性求出 g(x)的最值;在第(2)问中,充分利用 f(x)在(0,1)内有零点这一条件,借助

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第(1)问的结论根据参数 a 的范围,结合区间端点处函数值的符号来判断在区间内是否存在零点,从而得到 a 的 取值范围. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f'(x)=ex-2ax-b. 所以 g'(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a]. 当 a≤ 时,g'(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 当 a≥ 时,g'(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 当 <a< 时,令 g'(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1). 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. (2)设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2. 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减, 故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. 所以 <a< . 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 有 a+b=e-1<2,有 g(0)=1-b=a-e+2>0,g(1)=e-2a-b=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 当 e-2<a<1 时,g(x)在区间[0,1]内有最小值 g(ln(2a)). 若 g(ln(2a))≥0,则 g(x)≥0(x∈[0,1]), 从而 f(x)在区间[0,1]单调递增,这与 f(0)=f(1)=0 矛盾,所以 g(ln(2a))<0. 又 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0, 故此时 g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点 x1 和 x2. 由此可知 f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增. 所以 f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(1)=0, 故 f(x)在(x1,x2)内有零点. 综上可知,a 的取值范围是(e-2,1).

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