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矩阵及其运算-矩阵的概念


§2.1 矩阵
?引例 一个线性方程组与一个数表存在一一对应关系?

?a11x1 ? a12 x2 ? ? ? ? ? a1n xn ? b1 ?a21x1 ? a22 x2 ? ? ? ? ? a2n xn ? b2 ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?a x ? a x ? ? ? ? ? a x ? b mn

n m ? m1 1 m2 2 这个数表就称为矩阵.

? (a11 ? (a21 ? ??? ? (am1

a12 a22 ??? am2

??? a1n b1) ??? a2n b2) ??? ??? ??? amn bm)

? ? ? ?

? a11 ?a B ? ? 21 ? ??? ? am1
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a12 a22 ??? am2

??? ??? ??? ???

a1n a2n ??? amn

b1 ? b2 ? ? ??? ? bm ?


结束

?方阵 行矩阵 列矩阵 由m?n个数aij(i?1? 2? ???? m? ?n阶矩阵(n阶方阵)? j?1? 2? ???? n)排成的m行n列的矩 ? a11 a12 ? ? ? a1n ? ?a a ? ? ? a ? 形数表称为m?n矩阵? 记作 2n . ? 21 22 ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? a11 a12 ? ? ? a1n ? ? an1 an2 ? ? ? ann ? ?a a ??? a ? 2n ? ? 21 22 ? ?行矩阵? ??? ??? ??? ??? ? ? (a1 a 2 ? ? ? an)? ? am1 am2 ? ? ? amn ? ?矩阵的定义 其中aij称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素.

(a1? a 2? ? ? ? ? an). ?列矩阵?

一般情况下? 我们用大写 字母A? B? C等表示矩阵. m?n 矩阵A简记为A?(aij)m?n或Am?n .
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? b1 ? ?b ? B ?? 2? . ? ??? ? ? bn ?
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?同型矩阵 矩阵相等 ?同型矩阵? 两个矩阵的行数相等、列数也相等? 就称它们是同型矩 阵. ?矩阵相等? 如果A?(aij)与B?(bij)是同型矩阵? 并且它们的对应元素相 等? 即 aij?bij(i?1? 2? ? ? ?? m? j?1? 2? ? ? ?? n)? 则称矩阵A与矩阵B相等? 记作A?B.

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?零矩阵 单位矩阵 对角矩阵 ?零矩阵? 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵? 记为O.

?单位矩阵?

?1 ?0 E ?? ??? ?0 ? ?对角矩阵?
? ?1 ?0 ? ?? ?? ? ? ?0
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0 1 ??? 0

??? ??? ??? ???

0? 0 ? . 单位矩阵简称为单位阵. ? ? ?? n阶单位矩阵用En或E表示. 1? ?
0? 0 ? . 对角矩阵简记为 ? ? ? ?? ??diag[?1? ?2? ? ? ?? ?n]. ?n ?
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0 ??? ?2 ? ? ? ??? ??? 0 ???
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注? n阶矩阵中从左上角到右下角的直线叫做主对角线.

?矩阵举例 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

? a11 a12 a13 a14 ? A ? ? a21 a22 a23 a24 ? ? ? ? a31 a32 a33 a34 ? ? 其aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量.
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵

? b11 b12 ? ?b b ? B ? ? 21 22 ? ? ? b31 b32 ? ? b41 b42 ? 其中bi1为第i种产品的单价? bi2为第i种产品的单件重量.
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?矩阵举例 例2 由结点和有向边构成的有向图与矩阵之间存在一一 对应关系. 例如?
①②③④ ① ?0 ② ?1 ? (aij ) ? ? A? ③ 0 ④ ?1 ?

1 0 1 0

1 0 0 1

1? 0? . 0? 0? ?

注? 图中的结点可以看作城市? 有向边可以看作单向或双向 航线.
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?矩阵举例 例3 线性变换与矩阵之间存在一一对应的关系?

? a11 ? y1 ? a11x1 ? a12 x2 ? ? ? ? ? a1n xn ?a ? y2 ? a21x1 ? a22 x2 ? ? ? ? ? a2n xn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 ? ? ?y ? a x ? a x ? ? ? ? ? a x mn n ? m m1 1 m2 2 ? am1
? y1 ? x1 ? y2 ? x2 ? ??????? ?y ? x ? n n

a12 a22 ??? am2

??? ??? ??? ???

a1n ? a2n ? ? ??? ? amn ?

?1 ?0 ? E ?? ??? ?0 ?
? ?1 ?0 ? ? ?? ?? ? ? ?0
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0 1 ??? 0

??? ??? ??? ???

? y1 ? ?1x1 ? y2 ? ?2 x2 ? ??????? ?y ? ? x ? n n n
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0 ??? ?2 ? ? ? ??? ??? 0 ???
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线性变换所对应 0? 0 ? 的矩阵称为线性变换 ? ? ?? 1 ? 的系数矩阵. ? 恒等变换的系数 0? 0 ? 矩阵为单位阵. ? ? ? ?? ?n ?
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