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山东省2009届各地期末考试数学章节分类试题《三角函数》新课标(理科部分)


本部分为《必修四》的第一章《三角函数》 、第三章《三角恒等变形》 《必修五》的第一章《解三角形》 一、选择题
1. 【郓城实验中学·理科】2.给出下面的三个命题:①函数 y ? | sin ? 2 x ?
? ?

? ?

? | 的最小正周 3 ?

期是

?
2<

br />
②函数 y ? sin x ? ?
?

?

5? 3? ? ? 3? ? 是函数 ? 在 区 间 ?? , ? 上单调递增③ x ? 4 2 ? 2 ? ?

5? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象的一条对称轴。其中正确的命题个数 6 ? ?

( C ) D.3

A.0

B.1

C.2
?a, a ? b ?b , a ? b
? ?

2. 【郓城实验中学·理科】8.定义一种运算 a ? b ? ?
? ?
2? ?

,令

f ? x ? ? cos

?

2

x ? sin x ?

?

5 4

,且 x ? ? 0 ,
?

?

,则函数 f ? x ?

? ?

? 的最大值是 2 ?

A

( A.
5 4

) C. ? 1 D. ?
5 4

B.1

3. 【临沂一中·理科】10.把函数 y ? sin( ? x ? ? ) (其中 ? 是锐角)的图象向右平移 单位,或向左平移 ? 个单位都可以使对应的新函数成为奇函数,则 ? ? ( A )
8 3

?
8



A.2

B.3

C.4
5 3

D.1
?
2
1 3 2 3

4. 【临沂高新区· 理科】3.若 cos(2π-α)=

且 a∈(-

, 0 ),则 sin(π-α)

B

A.-

5 3

B.-

2 3

C.

D.±
?
2

5. 【临沂高新区· 理科】16.设函数 f(x)=sin(ω+φ) (ω>0,- ①f(x)的图象关于直线 x= ③f(x)的最小正周期为 π;
?
12

),有下列论断:
?
3 , 0 )对称;

对称;

②f(x)的图象关于( ④在区间[-
?
6

, 0 ]上,f x) ( 为增函数.

以其中的两个论断为条件,剩下的两个论断为结论,写出你认为正确的一个命题:若

_____②④或②③______,则_______①④________. (填序号即可)
?
2

6. 【苍山诚信中学· 理科】1.函数 y ? cos ( x ?
2

)是
学科网

( A



A.最小正周期是 π 的偶函数 C.最小正周期是 2π 的偶函数

B.最小正周期是 π 的奇函数 D.最小正周期是 2π 的奇函数

学科网

7. 【苍山诚信中学·理科】8.设 A、B 是两个集合,定义
A ? B ? { x | x ? A , 且 x ? B }, 若 M ? { x || x ? 1 |? 2 } ,
N ? { x | x ? | sin ? |, ? ? R},则 M-N=
学科网

( B ) C.[0,1]
4 4

A.[-3,1]

B.[-3,0)
5 5

D.[-3,0]

学科网

8. 【苍山县· 理科】5.已知 s in ? ? A. ?
1 5

,则 sin ? ? c o s ? 的值为( B ).
1 5 3 5

B. ?

3 5

C.

D.

9. 【苍山县· 理科】 △ ABC 中,AB ? 7.
3 2 3 4

3 , AC ? 1, ? B ? 30 ? , 则△ ABC 的面积等于 C ) ( .
3 2 3 2 3 4

A.

B.

C.



3

D.



10. 【苍山县· 理科】11. ? 是正实数,函数 么 A. 0 ? ? ? C. 0 ? ? ?
3 2 24 7

f ( x ) ? 2 sin ? x 在区间 [ ?

?
3

,

?
4

] 上递增,那

( A ) B. 0 ? ? ? 2 D. ? ? 2

11. 【济宁·理科】4.已知 sin( A.
7 9

?
6

??)?

1 3

,则 cos(
1 3

2? 3

? 2 ? ) 的值等于

B.

1 3

C. ?

7 9

D. ?

12. 【济宁·理科】9.已知函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) ,其导函 数 f ?( x ) 的部分图象如图所示,则函数
f ( x ) 的解析式为

y
2

?
-

3? 2

?
2

2

O
-2

x y=f '(x)

A. f ( x ) ? 2 sin( B. f ( x ) ? 4 sin(

1 2 1 2

x? x?

?
4

) )

?
4

C. f ( x ) ? 2 sin( x ? D. f ( x ) ? 4 sin(
1 2

?
4

)

x ?

3? 4

)

13 .【 枣 庄 市 · 理 科 】 5 . 若 s i n (? ? ) ?
6

?

1

2? , 则 c o s ( ? 2? ) 的 值 为 3 3 7 9
2 3

( D ) A.
1 3

B.—

1 3
2

C.

7 9

D.—

14. 【烟台·理科】11.函数 f ( x ) ? sin 的值是 A.0 ( D B.
?
3

x ? 2 cos x 在区间 [ ?

? , ? ]上的最大值为

1, 则 ?

) C.
?
2

D.—

?
2

15. 【烟台·理科】6.已知 f ( x ) ? cos 2 x ? 1, g ( x ) ? f ( x ? m ) ? n , 则使 g ( x ) 为奇函数的 实数 m,n 的可能取值为 ( D ) A. m ?
?
2 , n ? ?1

B. m ?

?
2

,n ? 1

C. m ? ?

?
4

, n ? ?1

D. m ? ?

?
4

,n ? 1

16. 【聊城一中·理科】 8.已知函数 f ( x ) ? sin( ? x ? 该 函数图象 A. 关于点 ( C. 关于点 (
?
3 , 0 ) 对称, , 0 ) 对称,

?
3

)( ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,则

(A ) B. 关于直线 x ? D. 关于直线 x ?
5 5 3 10 10

?
4

对称, 对称,

?
4

?
3

17. 【聊城一中·理科】 7. ? , ? 为钝角,sin ? ? 设
3 4

, cos ? ? ?

,? ? ? ?( C



A.

?

B.

5 4

?

C.
n? 3

7 4

?

D.

5 4

? 或

7 4

?

18. 【聊城一中·理科】6.已知 f ( n ) ? sin
3 2

, f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 2007 ) ?

(A )
3 2

A.

3

B.

C. 0

D. --

二、填空题
1. 【烟台·理科】13.若 sin
?
2 ? 2 cos

?
2

? 0 , 则 tan ? =
0

?

4 3



2. 【郓城实验中学·理科】13.
( 4 cos

3 tan 12
2

?3
0

12

0

? 2 ) sin 12

=

?4 3



3 . 济 宁 · 理 科 】 13 . 已 知 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且 【
S ? ABC ? a
2

?b ?c
2

2

,那么 ? C ?

?
4



4

4 . 苍 山 诚 信 中 学 · 理 科 】 14 . 电 流 强 度 I ( 安 ) 随 时 间 t ( 秒 ) 变 化 的 函 数 【 I= A ? sin( ? t ? 所示,则当 t ?
?
6 1 50 )( A ? 0 , ? ? 0 ) 的图象如图
学科网







秒时,电流强度是 5

学科网

安.

学科网

三、计算题
1. 【郓城实验中学·理科】17.已知 ? A B C 中,角 A,B,C,所对的边分别是 a , b , c ,且
2?a ? b ? c
2 2 2

? ? 3ab ;
2

(1)求 s in 2 A ? B (2)若 c ? 2 ,求 ? A B C 面积的最大值。 【解】 (Ⅰ)? a ? b ? c ?
2 2 2

3 2

ab ,? cos C ?

a

2

?b

2

?c

2

?

3 4

?2 分 ?
? 7 8

2 ab

? A ? B ? ? ? C ,? sin
2 2 2

2

A? B 2 3 2

?

1 ? cos ? A ? B ? 2
2

?

1 ? cos C 2 3 2

?6 分 ?

(Ⅱ)? a ? b ? c ? 又? a ? b ? 2 ab ,?
2 2

ab , 且 c ? 2,? a

?b

2

?4 ?

ab ,

3 2

ab ? 2 ab ? 4 ,? ab ? 8 ?8 分
?3? 1? ? ? ?4?
2

?
7 4

? cos C ?

3 4

,? sin C ?

1 ? cos

2

C ?

?

?10 分 ?

? S ? ABC ?

1 2

ab sin C ?

7,

当且仅当 a ? b ? 2 2 时,△ABC 面积取最大值,最大值为 7 .

2. 【枣庄市·理科】17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 sin( ? x ) ? 2 sin
2

?x
2

? m (? ? 0 ) 的最小正周期为 3? ,且当

x ? [ 0 , ? ]时 , 函数 f ( x ) 的最小值为 0。

(I)求函数 f ( x ) 的表达式; (II)在△ABC,若 f ( C ) ? 1, 且 2 sin 【解】 (I) f ( x ) ?
3 sin( ? x ) ? 2 ?
2

B ? cos B ? cos( A ? C ), 求 sin A 的值。
? m ? 2 sin( ? x ? ? 3? , 解得 ? ?

1 ? cos( ? x ) 2

?
6 2 3

) ? 1 ? m . ………2 分 .

依题意函数 f ( x )的最小正周期为 所以 f ( x ) ? 2 sin(
当 x ? [ 0 , ? ]时 ,
2x 3 ?

3? , 即

2?

?

?
6

) ? 1 ? m . …………4 分

?
6

?

2x 3

?

?
6

?

5? 6

,

1 2

? sin(

2x 3

?

?
6

) ? 1,

所以 f ( x )的最小值为 所以 f ( x ) ? 2 sin( 2x 3

m .依题意 , m ? 0 . ?

?
6
?

) ? 1 .? ? ? ? 6 分

(II) f ( C ) ? 2 sin(


2C 3

?
6

) ? 1 ? 1,? sin(

2C 3

?

?
6

) ? 1.

?
6

?

2C 3

?

?
6

?

5? 6

, 所以

2C 3

?
2

?
6

?

?
2

.解得 C ?

?
2

.? ? ? ? 8 分

在 Rt ? ABC 中 ,? A ? B ? ? 2 cos
2

?
2

, 2 sin

B ? cos B ? cos( A ? C ), ?1? 2 5

A ? sin A ? sin A ? 0 , 解得 sin A ? 5 ?1 2

. ? ? ? ? 10 分

? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

. ? ? ? ? 12 分

3. 【临沂一中·理科】17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (c o s ? , sin ? ), b ? (c o s ? , sin ? ), a ? b ? 2
5 5

(Ⅰ)求 cos( ? ? ? )的值 . (Ⅱ)若 ?
?
2 ? ? ? 0?? ?

?
2

,且 sin ? ? ?

5 13

, 求 sin ?

的值.

【解】 (Ⅰ)解:?
? a?b
2

a ? 1 , b ? 1 ,…………………………………………………1 分
? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2

? b

2

? 2 (c o s ? c o s ? ? sin ? sin ? ) ……2 分

? 1 ? 1 ? 2 co s(? ? ? ).
? a?b
2

……………………………………………4 分

? (

2 5 2 ) ? 4, 5 5

? 2 ? 2 c o s(? ? ? ) ? 4 , 得 5 2

c o s( ? ? ? ) ? 3 . ……………………………………6 分 5 2

(Ⅱ)解:? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? , ? 0 ? ? ? ? ? ? . 由 cos( ? ? ? ) ? 由 sin ? ? ?
?

………………………………7 分

3 5

,

得 sin ( ? ? ? ) ? 4 . …………………………………8 分
5

5 13

,

得 co s ? ? 1 2 .……………………………………9 分
13

sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ? ? sin( ? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ?

………………11 分

? 4 ? 1 2 ? 3 ? ( ? 5 ) ? 3 3 . …………………………………………12 分 5 13 5 13 65

4. 【临沂高新区· 理科】17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, A、 C 所对的边分别是 a、 c, AB ? AC ? 角 B、 b、 则 为△ ABC 的面积) . (1)求 sin2
B ?C 2 ? cos 2 A ; 8 3 S ? ABC (其中 S△ ABC

(2)若 b=2,△ ABC 的面积 S△ ABC=3,求 a. 【解】 (1)∵ AB ? AC ?
8 3 S ? ABC .
8 3 ? 1 2 AB AC sin A |

∴| AB ? AC ? cos A ? ∴cosA=
4 3 sin ∴cosA= , A ? 5 4 3 5
? cos 2 A ?

1分 2分

sin A ,
1 ? cos ? B ? C ? 2 ? cos 2 A =

3分
1 ? cos A 2 ? 2 cos
2

∴sin2

B ?C 2

A ?1=

59 50

.

6分 (2)∵sinA= . 由 S△ ABC=
5 3
1 2 4 5 bc sin A ,得 3= 1 2 ? 2c ? 3 5 , 解得 c=5.

9分

∴a2 =b2+c2-2be cos A=4+25-2× 5× 2×

=13

5. 【潍坊市四县一校·理科】17.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 y ? f ( x )( x ? R ) 的图象过点(0,-3) ,且 f ( x ) ? 0 的解集 (1, 3 ) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ)求函数 y ? f (sin x ), x ? [ 0 ,

?
2

] 的最值.

【解】 (Ⅰ)由题意可设二次函数 f(x)=a(x-1)(x-3)(a<0) 当 x=0 时,y=-3,即有-3=a(-1)(-3), 解得 a=-1, f(x)= -(x-1)(x-3)= ? x ? 4 x ? 3 ,
2

………2 分

f ( x ) 的解析式为 f ( x ) = ? x

2

? 4x ? 3 .

……………………6 分 ……………………8 分

(Ⅱ)y=f(sinx)= ? sin
?
2

2

x ? 4 sin x ? 3

= ? ?sin x ? 2 ? ? 1 .
2

? x ? [0,

],

? sin x ? [0 ,1] ,

则当 sinx=0 时,y 有最小值-3; 当 sinx=1 时,y 有最大值 0.
?
4

…………………12 分

6. 【苍山县· 理科】17. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,设内角 A、B、C 的对边分别为 a 、
b 、 c , tan(
? C) ? 3 ? 2

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 【解】 (1)? tan(
? 1 ? tan C 1 ? tan C
7 , 且 a ? b ? 5 ,求△ ABC 的面积.

?
4

? C) ?

3 ? 2

?

3 ? 2 .......... ... 2 分

? tan C ?

3 .......... .......... ..... 4 分

? 在 ? ABC 中, ? C ? ? 0 ?C ?

?
3

.......... .......... .......... 6 分

(2)? c ? a ? b ? 2 ab cos C .......... .. 8 分
2 2 2

?7 ? a

2

1 ? ab ? 6 .......... .......... ..... 10 分 , 1 3 3 3 ? S ? ABC ? ab sin C ? .......... .......... .. 12 分 2 , 2 5

?b

2

? ab ? ( a ? b ) ? 3 ab ? 25 ? 3 ab
2

7. 【济宁·理科】18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos x sin( x ?
?
3 )? 3 2
1

y



2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
? 2 -1

O

? 2

?

x

(2) 在给定的坐标系内, 用五点作图法画出函数 f ( x ) 在一个周期内的图象. 【解】 (1) f ( x ) ? 2 cos x ? sin( x ?
?
3 )? 3 2 3 2 3 2

-2

? 2 cos x (sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

)?

? 2 cos x (

1 2

sin x ?

3 2

cos x ) ?

? sin x cos x ?

3 cos

2

x ?

3 2

?

1 2

sin 2 x ?

3 2

cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
3

),

……………………………12 分

∴T ? ? . (2)列表:
2x+ x ? 3

0 ? 6

? 2 ? 12 1

? ? 3 0

3? 2 7? 12 -1

2? 5? 6 0

f(x)

0

…………………………………………………………10 分

y
1 7? 12 ? 6 -1

O

? 12

? 3

? 2

5? 6

x

…………………………………………………………12 分

8. 【济宁·理科】19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? cos(
?
3 ? 2x) ? 2x (x ? R) .

(1)判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)对于函数 f ( x ) ,若 x 1 ? x 2 ? 0 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x 1 ) ? f ( ? x 2 ) . 写出该命题的逆命题,判断这个逆命题的真假性,并加以证明. 【解】 f ( x ) ? ? sin(
? 2 [1 ? sin(

?
3

? 2 x )( ? 2 ) ? 2

…………………………………………2 分 ………………………………………………4 分 ………………………………………………6 分
?
3 ? 2x) ? 2x (x ? R) ,

?
3

? 2 x )] ? 0 ,

∴ f ( x ) 在 R 上是单调增函数. (2)逆命题:对于函数 f ( x ) ? cos(

若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x 1 ) ? f ( ? x 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ? 0 . 这个逆命题正确,下面用反证法证之: 假设 x 1 ? x 2 ? 0 ,则 x 1 ? ? x 2 , x 2 ? ? x 1 , 由于 f ( x ) 在 R 上是单调增函数,

……………………8 分

∴ f ( x 1 ) ? f ( ? x 2 ) , f ( x 2 ) ? f ( ? x 1 ) ,…………………………………………10 分 从而 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x 1 ) ? f ( ? x 2 ) ,这与题设矛盾. 所以逆命题成立. ………………………………………………………………12 分
1 4 , tan B ? 3 5 .

【聊城一中·理科】19. (12 分) 在 ? ABC 中, tan A ? (1) 求角 C 的大小; (2) 若 ? ABC 最大边长为 17 ,求最小边长. 【解】① tan C ? ? tan( A ? B ) ? ? ②? C ?
3? 4 tan A ? tan B 1 ? tan A tan B
17

? ? 1 ,又 0 ? C ? ? ,? C ?

3? 4

,AB 边最大,即 | AB |?

? tan A ? tan B , A , B 为锐角, ? A ? B

角 A 最小,BC 边最小
1 ? ? tan A ? 由? 4 ? sin 2 A ? cos ?

且 A 为锐角得 sin A ?
2

17 17

A ?1

由正弦定理得 BC ? AB

sin A sin C

?

2 ,最小边为

2
? ?

【聊城一中·理科】18. (12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1 ? tan x ) ?1 ? (1) 求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间. 【解】 f ( x ) ? (1 ?
sin x cos x )( 1 ? 2 sin 2 x cos

2 sin( 2 x ?

? ?

) , 4 ? ?

?
4

?
2

2 cos 2 x sin

?
4

)

? (1 ?

sin x cos x

)( 2 sin x cos x ? 2 cos

x ) ? 2 (cos x ? sin x )(cos x ? sin x )

? 2 cos 2 x

① 定义域为 { x | x ? k ? ? ②单调增区间为 ( k ? ?

?
2

, k ? Z } ? 2 x ? 2 k ? ? ? , 2 cos 2 x ? ? 2 , 值域为 ( ? 2 , 2 ] , k ? ?, k ? Z

?
2


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