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包头市2016年中考数学试卷参考答案与试题解析


包头市 2016 年中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.若 2(a+3)的值与 4 互为相反数,则 a 的值为( A.﹣1 B.﹣ C.﹣5 D. 【考点】解一元一次方程;相反数. 【解析】先根据相反数的意义列出方程,解方程即可. 【解答】解:∵2(a+3)的值与 4 互为相反数, ∴2(a+3)+4=0, ∴a=﹣5, 故选 C



2.下列计算结果正确的是( ) A.2+ =2 B. =2 C. (﹣2a2)3=﹣6a6D. (a+1)2=a2+1 【考点】二次根式的乘除法;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式. 【解析】依次根据合并同类二次根式,二次根式的除法,积的乘方,完全平方公式的运算. 【解答】解:A、2+ 不是同类二次根式,所以不能合并,所以 A 错误; B、 =2,所以 B 正确; 2 3 C、 (﹣2a ) =﹣8a6≠﹣6a6,所以 C 错误; D、 (a+1)2=a2+2a+1≠a2+1,所以 D 错误. 故选 B

3.不等式 ﹣

≤1 的解集是(



A.x≤4 B.x≥4 C.x≤﹣1 D.x≥﹣1 【考点】解一元一次不等式. 【解析】根据解一元一次不等式基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项可得. 【解答】解:去分母,得:3x﹣2(x﹣1)≤6, 去括号,得:3x﹣2x+2≤6, 移项、合并,得:x≤4, 故选:A. 4.一组数据 2,3,5,4,4,6 的中位数和平均数分别是( ) A.4.5 和 4 B.4 和 4 C.4 和 4.8 D.5 和 4 【考点】中位数;算术平均数. 【解析】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可. 【解答】解:这组数据按从小到大的顺序排列为:2,3,4,4,5,6, 故中位数为: (4+4)〔2=4; 平均数为: (2+3+4+4+5+6)〔6=4.

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故选:B. 5.120°的圆心角对的弧长是 6π,则此弧所在圆的半径是( A.3 B.4 C.9 D.18 【考点】弧长的计算. 【解析】根据弧长的计算公式 l= 【解答】解:根据弧长的公式 l= 得到:6π= 解得 r=9. 故选 C. 6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面向上的概率是( A. B. C. D. ) , )

,将 n 及 l 的值代入即可得出半径 r 的值. ,

【考点】列表法与树状图法. 【解析】根据题意,通过列树状图的方法可以写出所有可能性,从而可以得到至少有两枚硬 币正面向上的概率. 【解答】解:由题意可得,所有的可能性为:

∴至少有两枚硬币正面向上的概率是: 故选 D.

= ,

7.若关于 x 的方程 x2+(m+1)x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身,则 m 的值是( A.﹣ B. C.﹣ 或 D.1



【考点】一元二次方程的解. 【解析】由根与系数的关系可得:x1+x2=﹣(m+1) ,x1? x2= ,又知个实数根的倒数恰是它 本身,则该实根为 1 或﹣1,然后把〒1 分别代入两根之和的形式中就可以求出 m 的值. 【解答】解:由根与系数的关系可得: x1+x2=﹣(m+1) ,x1? x2= ,

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又知个实数根的倒数恰是它本身, 则该实根为 1 或﹣1, 若是 1 时,即 1+x2=﹣(m+1) ,而 x2= ,解得 m=﹣ ; 若是﹣1 时,则 m= . 故选:C.

8.化简(



? ab,其结果是(



A.

B.

C.

D.

【考点】分式的混合运算. 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算,约分即可得到结果. 【解答】解:原式= 故选 B 9.如图,点 O 在△ABC 内,且到三边的距离相等.若∠BOC=120°,则 tanA 的值为( ) ? ? ab= ,

A.

B.

C.

D.

【考点】角平分线的性质;特殊角的三角函数值. 【解析】由条件可知 BO、CO 平分∠ABC 和∠ACB,利用三角形内角和可求得∠A,再由特殊 角的三角函数的定义求得结论. 【解答】解:∵点 O 到△ABC 三边的距离相等, ∴BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB, ∴∠A=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣2(∠OBC+∠OCB)=180°﹣2〓=180°﹣2〓=60°, ∴tanA=tan60°= , 故选 A. 10.已知下列命题:①若 a>b,则 a2>b2;②若 a>1,则(a﹣1)0=1;③两个全等的三角 形的面积相等;④四条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】命题与定理.

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【解析】 交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题, 然后利用反例、 零指数幂的意义、 全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质判断各命题的真假. 【解答】解:当 a=0,b=﹣1 时,a2<b2,所以命题“若 a>b,则 a2>b2”为假命题,其逆 命题为若 a2>b2; ,则 a>b“,此逆命题也是假命题,如 a=﹣2,b=﹣1; 若 a>1,则(a﹣1)0=1,此命题为真命题,它的逆命题为:若(a﹣1)0=1,则 a>1,此 逆命题为假命题,因为(a﹣1)0=1,则 a≠1; 两个全等的三角形的面积相等,此命题为真命题,它的逆命题为面积相等的三角形全等,此 逆命题为假命题; 四条边相等的四边形是菱形,这个命题为真命题,它的逆命题为菱形的四条边相等,此逆命 题为真命题. 故选 D.

11.如图,直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C、D 分别为线段 AB、OB 的 中点,点 P 为 OA 上一动点,PC+PD 值最小时点 P 的坐标为( )

A. (﹣3,0) B. (﹣6,0) C. (﹣ ,0) D. (﹣ ,0) 【考点】一次函数图象上点的坐标特征;轴对称-最短路线问题. 【解析】根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标,再由中点坐标公式求出点 C、D 的坐标, 根据对称的性质找出点 D′的坐标,结合点 C、D′的坐标求出直线 CD′的解析式,令 y=0 即可求出 x 的值,从而得出点 P 的坐标. 【解答】解:作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,连接 CD′交 x 轴于点 P,此时 PC+PD 值最小, 如图所示.

令 y= x+4 中 x=0,则 y=4, ∴点 B 的坐标为(0,4) ;

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令 y= x+4 中 y=0,则 x+4=0,解得:x=﹣6, ∴点 A 的坐标为(﹣6,0) . ∵点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点, ∴点 C(﹣3,2) ,点 D(0,2) . ∵点 D′和点 D 关于 x 轴对称, ∴点 D′的坐标为(0,﹣2) . 设直线 CD′的解析式为 y=kx+b, ∵直线 CD′过点 C(﹣3,2) ,D′(0,﹣2) , ∴有 ,解得: ,

∴直线 CD′的解析式为 y=﹣ x﹣2. 令 y=﹣ x﹣2 中 y=0,则 0=﹣ x﹣2,解得:x=﹣ , ∴点 P 的坐标为(﹣ ,0) . 故选 C. 12.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,E 是 AB 上一点,且 DE⊥CE.若 AD=1, BC=2,CD=3,则 CE 与 DE 的数量关系正确的是( )

A.CE= DE B.CE= DE C.CE=3DE D.CE=2DE 【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质. 【解析】过点 D 作 DH⊥BC,利用勾股定理可得 AB 的长,利用相似三角形的判定定理可得△ ADE∽△BEC,设 BE=x,由相似三角形的性质可解得 x,易得 CE,DE 的关系. 【解答】解:过点 D 作 DH⊥BC, ∵AD=1,BC=2, ∴CH=1, DH=AB= = =2 ,

∵AD∥BC,∠ABC=90°, ∴∠A=90°, ∵DE⊥CE, ∴∠AED+∠BEC=90°, ∵∠AED+∠ADE=90°,

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∴∠ADE=∠BEC, ∴△ADE∽△BEC, ∴ , ,

设 BE=x,则 AE=2 即 解得 x= ∴ ∴CE= 故选 B. , , , ,

二、填空题 13.据统计,2015 年,我国发明专利申请受理量达 1102000 件,连续 5 年居世界首位,将 1102000 用科学记数法表示为 1.102〓106 . 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【解析】科学记数法的表示形式为 a〓10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的 值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 1102000 用科学记数法表示为 1.102〓106, 故答案为:1.102〓106. 14.若 2x﹣3y﹣1=0,则 5﹣4x+6y 的值为 3 . 【考点】代数式求值. 【解析】首先利用已知得出 2x﹣3y=1,再将原式变形进而求出答案. 【解答】解:∵2x﹣3y﹣1=0, ∴2x﹣3y=1, ∴5﹣4x+6y=5﹣2(2x﹣3y) =5﹣2〓1 =3. 故答案为:3.

15.计算:6

﹣(

+1)2= ﹣4 .

【考点】二次根式的混合运算.

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【解析】首先化简二次根式,进而利用完全平方公式计算,求出答案. 【解答】解:原式=6〓 =2 ﹣4﹣2 =﹣4. 故答案为:﹣4. 16.已知一组数据为 1,2,3,4,5,则这组数据的方差为 2 . 【考点】方差. 【解析】先求出这 5 个数的平均数,然后利用方差公式求解即可. 【解答】解:平均数为=(1+2+3+4+5)〔5=3, S2= [(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2. ﹣(3+2 +1)

故答案为:2. 17.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E, 若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 22.5 度.

【考点】矩形的性质. 【解析】首先证明△AEO 是等腰直角三角形,求出∠OAB,∠OAE 即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC=BD,OA=OC,OB=OD, ∴OA=OB═OC, ∴∠OAC=∠ODA,∠OAB=∠OBA, ∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC, ∵∠EAC=2∠CAD, ∴∠EAO=∠AOE, ∵AE⊥BD, ∴∠AEO=90°, ∴∠AOE=45°, ∴∠OAB=∠OBA= =67.5°,

∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°. 故答案为 22.5°.

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18.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P, 连接 AC,若∠A=30°,PC=3,则 BP 的长为 .

【考点】切线的性质. 【解析】在 RT△POC 中,根据∠P=30°,PC=3,求出 OC、OP 即可解决问题. 【解答】解:∵OA=OC,∠A=30°, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°, ∵PC 是⊙O 切线, ∴∠PCO=90°,∠P=30°, ∵PC=3, ∴OC=PC? tan30°= ,PC=2OC=2 , ∴PB=PO﹣OB= , 故答案为 .

19.如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第二象限内,点 B 在 x 轴上,∠AOB=30°,AB=BO, 反比例函数 y= (x<0)的图象经过点 A,若 S△ABO= ,则 k 的值为 ﹣3 .

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【解析】过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,由∠AOB=30°可得出 = ,由此可是点 A 的坐标为

(﹣3a, a) ,根据 S△ABO= 结合三角形的面积公式可用 a 表示出线段 OB 的长,再由勾 股定理可用含 a 的代数式表示出线段 BD 的长,由此即可得出关于 a 的无理方程,解方程即 可得出结论. 【解答】解:过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,如图所示.

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∵∠AOB=30°,AD⊥OD, ∴ =tan∠AOB= , a) .

∴设点 A 的坐标为(﹣3a, ∵S△ABO= OB? AD= ∴OB= . ,

在 Rt△ADB 中,∠ADB=90°,AD=

a,AB=OB= ,

∴BD2=AB2﹣AD2=

﹣3a2,BD=



∵OD=OB+BD=3a,即 3a= + 解得:a=1 或 a=﹣1(舍去) . ∴点 A 的坐标为(﹣3, ) , ∴k=﹣3〓 =﹣3 . 故答案为:﹣3 .



20.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 CD=CE,连接 DE 并延 长至点 F,使 EF=AE,连接 AF,CF,连接 BE 并延长交 CF 于点 G.下列结论: ①△ABE≌△ACF;②BC=DF;③S△ABC=S△ACF+S△DCF;④若 BD=2DC,则 GF=2EG.其中正确的结论 是 ①②③④ . (填写所有正确结论的序号)

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【解析】①正确.根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断. ②正确.只要证明四边形 ABDF 是平行四边形即可. ③正确.只要证明△BCE≌△FDC. ④正确.只要证明△BDE∽△FGE,得 = ,由此即可证明.

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【解答】解:①正确.∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°, ∵DE=DC, ∴△DEC 是等边三角形, ∴ED=EC=DC,∠DEC=∠AEF=60°, ∵EF=AE, ∴△AEF 是等边三角形, ∴AF=AE,∠EAF=60°, 在△ABE 和△ACF 中, , ∴△ABE≌△ACF,故①正确. ②正确.∵∠ABC=∠FDC, ∴AB∥DF, ∵∠EAF=∠ACB=60°, ∴AB∥AF, ∴四边形 ABDF 是平行四边形, ∴DF=AB=BC,故②正确. ③正确.∵△ABE≌△ACF, ∴BE=CF,S△ABE=S△AFC, 在△BCE 和△FDC 中, , ∴△BCE≌△FDC, ∴S△BCE=S△FDC, ∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF,故③正确. ④正确.∵△BCE≌△FDC, ∴∠DBE=∠EFG,∵∠BED=∠FEG, ∴△BDE∽△FGE, ∴ ∴ = = , ,

∵BD=2DC,DC=DE, ∴ =2,

∴FG=2EG.故④正确.

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三、解答题 21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外都相同,其中红球有 1 个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为 . (1)求袋子中白球的个数; (请通过列式或列方程解答) (2)随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球 的概率. (请结合树状图或列表解答) 【考点】列表法与树状图法;概率公式. 【解析】 (1)首先设袋子中白球有 x 个,利用概率公式求即可得方程: = ,解此方程

即可求得答案; (2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜 色的小球的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解: (1)设袋子中白球有 x 个, 根据题意得: = ,

解得:x=2, 经检验,x=2 是原分式方程的解, ∴袋子中白球有 2 个; (2)画树状图得:

∵共有 9 种等可能的结果,两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况, ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为: .

22.如图,已知四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E. (1)若∠A=60°,求 BC 的长; (2)若 sinA= ,求 AD 的长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

【考点】解直角三角形.

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【解析】 (1)要求 BC 的长,只要求出 BE 和 CE 的长即可,由题意可以得到 BE 和 CE 的长, 本题得以解决; (2)要求 AD 的长,只要求出 AE 和 DE 的长即可,根据题意可以得到 AE、DE 的长,本题得 以解决. 【解答】解: (1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA= ∴∠E=30°,BE=tan60°? 6=6 又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE= , ,∠E=30°, ,

∴CE=

=8, ﹣8; ,

∴BC=BE﹣CE=6

(2) )∵∠ABE=90°,AB=6,sinA= = ∴设 BE=4x,则 AE=5x,得 AB=3x, ∴3x=6,得 x=2, ∴BE=8,AE=10, ∴tanE= 解得,DE= = = , = , = ,

∴AD=AE﹣DE=10﹣ 即 AD 的长是 .

23.一幅长 20cm、宽 12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 3:2.设竖彩条的宽度为 xcm,图案中三条彩条所占面积为 ycm2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ,求横、竖彩条的宽度.

【考点】一元二次方程的应用;根据实际问题列二次函数关系式. 【解析】 (1)由横、竖彩条的宽度比为 3:2 知横彩条的宽度为 xcm,根据:三条彩条面积 =横彩条面积+2 条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积,可列函数关系式;

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(2)根据:三条彩条所占面积是图案面积的 ,可列出关于 x 的一元二次方程,整理后求 解可得. 【解答】解: (1)根据题意可知,横彩条的宽度为 xcm, ∴y=20〓 x+2〓12? x﹣2〓 x? x=﹣3x2+54x, 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=﹣3x2+54x;

(2)根据题意,得:﹣3x2+54x= 〓20〓12, 整理,得:x2﹣18x+32=0, 解得:x1=2,x2=16(舍) , ∴ x=3, 答:横彩条的宽度为 3cm,竖彩条的宽度为 2cm. 24.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=CB,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A、B 重合) ,DE 的延长线交⊙O 于点 G,DF⊥DG,且交 BC 于点 F. (1)求证:AE=BF; (2)连接 GB,EF,求证:GB∥EF; (3)若 AE=1,EB=2,求 DG 的长.

【考点】圆的综合题. 【解析】 (1)连接 BD,由三角形 ABC 为等腰直角三角形,求出∠A 与∠C 的度数,根据 AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB 为直角,即 BD 垂直于 AC,利用直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半,得到 AD=DC=BD= AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角 相等得到一对角相等, 利用 ASA 得到三角形 AED 与三角形 BFD 全等, 利用全等三角形对应边 相等即可得证; (2)连接 EF,BG,由三角形 AED 与三角形 BFD 全等,得到 ED=FD,进而得到三角形 DEF 为 等腰直角三角形, 利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等, 利用同位角 相等两直线平行即可得证; (3)由全等三角形对应边相等得到 AE=BF=1,在直角三角形 BEF 中,利用勾股定理求出 EF 的长, 利用锐角三角形函数定义求出 DE 的长, 利用两对角相等的三角形相似得到三角形 AED 与三角形 GEB 相似,由相似得比例,求出 GE 的长,由 GE+ED 求出 GD 的长即可. 【解答】 (1)证明:连接 BD,

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在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC, ∴∠A=∠C=45°, ∵AB 为圆 O 的直径, ∴∠ADB=90°,即 BD⊥AC, ∴AD=DC=BD= AC,∠CBD=∠C=45°, ∴∠A=∠FBD, ∵DF⊥DG, ∴∠FDG=90°, ∴∠FDB+∠BDG=90°, ∵∠EDA+∠BDG=90°, ∴∠EDA=∠FDB, 在△AED 和△BFD 中, , ∴△AED≌△BFD(ASA) , ∴AE=BF; (2)证明:连接 EF,BG, ∵△AED≌△BFD, ∴DE=DF, ∵∠EDF=90°, ∴△EDF 是等腰直角三角形, ∴∠DEF=45°, ∵∠G=∠A=45°, ∴∠G=∠DEF, ∴GB∥EF; (3)∵AE=BF,AE=1, ∴BF=1, 在 Rt△EBF 中,∠EBF=90°, ∴根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2, ∵EB=2,BF=1, ∴EF= = ,

∵△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF=90°, ∴cos∠DEF= ∵EF= ∴DE= , 〓 = , ,

∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED, ∴△GEB∽△AED, ∴ = ,即 GE? ED=AE? EB,

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? GE=2,即 GE= .



则 GD=GE+ED=

25.如图,已知一个直角三角形纸片 ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F 分别是 AC、 AB 边上点,连接 EF. (1)图①,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处,且使 S 四边 形 ECBF=3S△EDF,求 AE 的长; (2)如图②,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处,且使 MF ∥CA. ①试判断四边形 AEMF 的形状,并证明你的结论; ②求 EF 的长; (3)如图③,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE= ,求 的值.

【考点】三角形综合题. 【解析】 (1) 先利用折叠的性质得到 EF⊥AB, △AEF≌△DEF, 则 S△AEF≌S△DEF, 则易得 S△ABC=4S
△AEF

,再证明 Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的性质得到

=(

)2,再利

用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长; (2)①通过证明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形; ②连结 AM 交 EF 于点 O,如图②,设 AE=x,则 EM=x,CE=4﹣x,先证明△CME∽△CBA 得到 = = ,解出 x 后计算出 CM= ,再利用勾股定理计算出 AM,然后根据菱形的面积公式

计算 EF;

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(3) 如图③, 作 FH⊥BC 于 H, 先证明△NCE∽△NFH, 利用相似比得到 FH: NH=4: 7, 设 FH=4x, NH=7x,则 CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再证明△BFH∽△BAC,利用相似比可计算 出 x= ,则可计算出 FH 和 BH,接着利用勾股定理计算出 BF,从而得到 AF 的长,于是可计 算出 的值.

【解答】解: (1)如图①, ∵△ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处, ∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF, ∴S△AEF≌S△DEF, ∵S 四边形 ECBF=3S△EDF, ∴S△ABC=4S△AEF, 在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴AB= =5,

∵∠EAF=∠BAC, ∴Rt△AEF∽Rt△ABC, ∴ =( )2,即( )2= ,

∴AE= ; (2)①四边形 AEMF 为菱形.理由如下: 如图②,∵△ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处, ∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE, ∵MF∥AC, ∴∠AEF=∠MFE, ∴∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, ∴AE=EM=MF=AF, ∴四边形 AEMF 为菱形; ②连结 AM 交 EF 于点 O,如图②, 设 AE=x,则 EM=x,CE=4﹣x, ∵四边形 AEMF 为菱形, ∴EM∥AB, ∴△CME∽△CBA, ∴ = = ,即 = = ,解得 x= = ,CM= , = ,

在 Rt△ACM 中,AM= ∵S 菱形 AEMF= EF? AM=AE? CM,

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∴EF=2〓

=



(3)如图③,作 FH⊥BC 于 H, ∵EC∥FH, ∴△NCE∽△NFH, ∴CN:NH=CE:FH,即 1:NH= :FH, ∴FH:NH=4:7, 设 FH=4x,NH=7x,则 CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x, ∵FH∥AC, ∴△BFH∽△BAC, ∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x) :3=4x:4,解得 x= , ∴FH=4x= ,BH=4﹣7x= , 在 Rt△BFH 中,BF= ∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3, ∴ = . =2,

第 17 页 共 17 页

26.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx﹣2(a≠0)与 x 轴交于 A(1,0) 、 B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,其顶点为点 D,点 E 的坐标为(0,﹣1) ,该抛物线与 BE 交于另一点 F,连接 BC. (1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为 y=a(x﹣h)2+k 的形式; (2)若点 H(1,y)在 BC 上,连接 FH,求△FHB 的面积; (3)一动点 M 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动,连接 OM, BM,设运动时间为 t 秒(t>0) ,在点 M 的运动过程中,当 t 为何值时,∠OMB=90°? (4)在 x 轴上方的抛物线上,是否存在点 P,使得∠PBF 被 BA 平分?若存在,请直接写出 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题. 【解析】 (1)用待定系数法求出抛物线解析式; (2)先求出 GH,点 F 的坐标,用三角形的面积公式计算即可; (3)设出点 M,用勾股定理求出点 M 的坐标,从而求出 MD,最后求出时间 t; (4)由∠PBF 被 BA 平分,确定出过点 B 的直线 BN 的解析式,求出此直线和抛物线的交点 即可. 【解答】解: (1)∵抛物线 y=ax2+bx﹣2(a≠0)与 x 轴交于 A(1,0) 、B(3,0)两点, ∴





∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ (x﹣2)2+ ;

第 18 页 共 18 页

(2)如图 1,

过点 A 作 AH∥y 轴交 BC 于 H,BE 于 G, 由(1)有,C(0,﹣2) , ∵B(0,3) , ∴直线 BC 解析式为 y= x﹣2, ∵H(1,y)在直线 BC 上, ∴y=﹣ , ∴H(1,﹣ ) , ∵B(3,0) ,E(0,﹣1) , ∴直线 BE 解析式为 y=﹣ x﹣1, ∴G(1,﹣ ) , ∴GH= , ∵直线 BE:y=﹣ x﹣1 与抛物线 y=﹣ x2+ x﹣2 相较于 F,B, ∴F( ,﹣ ) , ∴S△FHB= GH〓|xG﹣xF|+ GH〓|xB﹣xG| = GH〓|xB﹣xF| = 〓 〓(3﹣ ) = . (3)如图 2,

第 19 页 共 19 页

由(1)有 y=﹣ x2+ x﹣2, ∵D 为抛物线的顶点, ∴D(2, ) , ∵一动点 M 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动, ∴设 M(2,m) , (m> ) , ∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9, ∵∠OMB=90°, ∴OM2+BM2=AB2, ∴m2+4+m2+1=9, ∴m= 或 m=﹣ (舍) , ∴M(0, ) , ∴MD= ﹣ ,

∵一动点 M 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动, ∴t= ﹣ ;

(4)存在点 P,使∠PBF 被 BA 平分,

如图 3,

∴∠PBO=∠EBO, ∵E(0,﹣1) , ∴在 y 轴上取一点 N(0,1) , ∵B(3,0) , ∴直线 BN 的解析式为 y=﹣ x+1①,

第 20 页 共 20 页

∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2+ x﹣2②上,

联立①②得,



(舍) ,

∴P( , ) , 即:在 x 轴上方的抛物线上,存在点 P,使得∠PBF 被 BA 平分,P( , ) .

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包头市 2016 年中考数学试卷
一、选择题 1.若 2(a+3)的值与 4 互为相反数,则 a 的值为( A.﹣1 B.﹣ C.﹣5 D. 2.下列计算结果正确的是( ) A.2+ =2 B. =2 C. (﹣2a2)3=﹣6a6D. (a+1)2=a2+1 3.不等式 ﹣ ≤1 的解集是( )



A.x≤4 B.x≥4 C.x≤﹣1 D.x≥﹣1 4.一组数据 2,3,5,4,4,6 的中位数和平均数分别是( ) A.4.5 和 4 B.4 和 4 C.4 和 4.8 D.5 和 4 5.120°的圆心角对的弧长是 6π,则此弧所在圆的半径是( ) A.3 B.4 C.9 D.18 6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面向上的概率是( A. B. C. D.



7.若关于 x 的方程 x2+(m+1)x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身,则 m 的值是( A.﹣ B. 8.化简( C.﹣ 或 D.1 ) ? ab,其结果是( )



A.

B.

C.

D. )

9.如图,点 O 在△ABC 内,且到三边的距离相等.若∠BOC=120°,则 tanA 的值为(

A.

B.

C.

D.

10.已知下列命题:①若 a>b,则 a2>b2;②若 a>1,则(a﹣1)0=1;③两个全等的三角 形的面积相等;④四条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

第 22 页 共 22 页

11.如图,直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C、D 分别为线段 AB、OB 的 中点,点 P 为 OA 上一动点,PC+PD 值最小时点 P 的坐标为( )

A. (﹣3,0) B. (﹣6,0) C. (﹣ ,0) D. (﹣ ,0) 12.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,E 是 AB 上一点,且 DE⊥CE.若 AD=1, BC=2,CD=3,则 CE 与 DE 的数量关系正确的是( )

A.CE=

DE B.CE=

DE C.CE=3DE D.CE=2DE

二、填空题 13.据统计,2015 年,我国发明专利申请受理量达 1102000 件,连续 5 年居世界首位,将 1102000 用科学记数法表示为 . 14.若 2x﹣3y﹣1=0,则 5﹣4x+6y 的值为 . 15.计算:6 ﹣( +1)2= .

16.已知一组数据为 1,2,3,4,5,则这组数据的方差为 . 17.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E, 若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 度.

18.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P, 连接 AC,若∠A=30°,PC=3,则 BP 的长为 .

第 23 页 共 23 页

19.如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第二象限内,点 B 在 x 轴上,∠AOB=30°,AB=BO, 反比例函数 y= (x<0)的图象经过点 A,若 S△ABO= ,则 k 的值为 .

20.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 CD=CE,连接 DE 并延 长至点 F,使 EF=AE,连接 AF,CF,连接 BE 并延长交 CF 于点 G.下列结论: ①△ABE≌△ACF;②BC=DF;③S△ABC=S△ACF+S△DCF;④若 BD=2DC,则 GF=2EG.其中正确的结论 是 . (填写所有正确结论的序号)

三、解答题 21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外都相同,其中红球有 1 个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为 . (1)求袋子中白球的个数; (请通过列式或列方程解答) (2)随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球 的概率. (请结合树状图或列表解答) 22.如图,已知四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E. (1)若∠A=60°,求 BC 的长; (2)若 sinA= ,求 AD 的长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

第 24 页 共 24 页

23.一幅长 20cm、宽 12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 3:2.设竖彩条的宽度为 xcm,图案中三条彩条所占面积为 ycm2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ,求横、竖彩条的宽度.

24.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=CB,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A、B 重合) ,DE 的延长线交⊙O 于点 G,DF⊥DG,且交 BC 于点 F. (1)求证:AE=BF; (2)连接 GB,EF,求证:GB∥EF; (3)若 AE=1,EB=2,求 DG 的长.

25.如图,已知一个直角三角形纸片 ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F 分别是 AC、 AB 边上点,连接 EF. (1)图①,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处,且使 S 四边 形 ECBF=3S△EDF,求 AE 的长; (2)如图②,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处,且使 MF ∥CA. ①试判断四边形 AEMF 的形状,并证明你的结论; ②求 EF 的长; (3)如图③,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE= ,求 的值.

第 25 页 共 25 页

26.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx﹣2(a≠0)与 x 轴交于 A(1,0) 、 B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,其顶点为点 D,点 E 的坐标为(0,﹣1) ,该抛物线与 BE 交于另一点 F,连接 BC. (1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为 y=a(x﹣h)2+k 的形式; (2)若点 H(1,y)在 BC 上,连接 FH,求△FHB 的面积; (3)一动点 M 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动,连接 OM, BM,设运动时间为 t 秒(t>0) ,在点 M 的运动过程中,当 t 为何值时,∠OMB=90°? (4)在 x 轴上方的抛物线上,是否存在点 P,使得∠PBF 被 BA 平分?若存在,请直接写出 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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