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正弦定理和余弦定理练习题(新课标)


正弦定理和余弦定理练习题
一、选择题 1. 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,A= 等于( A. 1 ) B. 2 C.

? ,a= 3 ,b=1,则 c 3
D.

3 ?1

3
) D.

2. 已知△ ABC 中,a=1,b= 3 ,A

= 30 ? ,则角 B 等于( A.

60 ?

B.

60 ? 或 120 ?

C.

30 ? 或 150 ?
2 2

120 ?
2

3. 在△ ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,且 b ? c ? 3bc ? a ,则 A 等于( A. 60 ? ) B.
2

30 ?
2 2

C.

120 ?
) D.

D.

150 ?

4. 在△ ABC 中,已知 a ? b ? bc ? c ,则角 A 为( A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

? 2? 或 3 3

5. 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 (a 2 ? c 2 ? b2 ) tan B ? 3ac, 则角 B 的值为( A. ) B.

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3
) D. 等边三角形 )

6. 在△ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,则△ ABC 的形状是( A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 7. 在△ ABC 中,若

a b c ? ? ,则△ ABC 是( cos A cos B cos C

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在△ ABC 中,2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是 ( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 9. 在△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则 B 的大小是( ) A.

? 3
2 3
B.

B.

? 6
C.

C.

2? 3
D.

D.

? 2? 或 3 3
)

10. 在△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为 ( A.

?

2 3

1 4

?

1 4
)

11. 满足条件 a=4,b= 3 2 ,A= 45 ? 的△ ABC 的个数是 (

1

A. 1 个

B. 2 个

C. 无数个

D. 不存在 )

12. △ ABC 的周长为 20,面积为 10 3 ,A= 60 ? ,则 BC 边长为( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

14.在△ ABC 中,A= 60 ? ,b=1,且面积为 3 ,则

a?b?c ?( sin A ? sin B ? sin C
D.



A.

8 3 3

B.

2 39 3

C.

26 3 3

2 3

二、填空题 13 在△ ABC 中,若 B= 30 ? ,AB= 2 3 ,AC=2,则△ ABC 的面积是 17. 在△ ABC 中,已知 BC=8,AC=5,△ ABC 的面积为 12,则 cos2C= 15 在△ ABC 中,a:b:c=2: 6 :( 3 +1),则△ ABC 的三个内角的度数 为 . 20. 在△ ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC 的值为 . 21、已知 △ ABC 的面积是 30 ,内角 A 、B 、C 所对边分别为 a 、b 、c , . .

cos A ?

12 ,若 c ? b ? 1 ,则 a 的值是 13

.5

三、解答题 22、△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,B= (1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC 的面积.

? 4 ,cosA= ,b= 3 . 3 5

23、如图所示,在△ ABC 中,AC=2,BC=1,cosC= (1)求 sin(2A+C)的值.

3 . 4

求 AB 的值;

24、 已知 A、 B、 C 为△ ABC 的三个内角, 它们的对边分别为 a、 b、c, 若 m= (cosB, sinC) ,n=(cosC, ? sinB) ,且 m·n= (1)求 A; (2)若 a= 2 3 ,△ ABC 的面积 S= 3 ,求 b+c 的值.

1 . 2

2

25. 在△ ABC 中,cosB= ? (1)求 sinA 的值; (2)设△ ABC 的面积为

5 4 ,cosC= . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2

26. 三角形 ABC 中的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 :2,求角 C 的大小. a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,且 a:c=( 3 +1)

27、在 ?ABC 中,若

cos B ?b ? cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小 (2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积

28、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,cosB= ( I)求△ABC 的面积; ( II)若 a=7,求角 C。

3 ,且 AB ? BC =—21. 5

29、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 ,

? . (I)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (II)若 sin B ? 2sin A ,求 3 △ ABC 的面积. C?

3

30、已知:在 ?ABC 中, A ? 120 , a ? 7, b ? c ? 8 .
?

(1)求 b,c 的值;(2)求 sin B 的值.

c ? 3, cos B ? 31、 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a ? 2 ,
(I) 求 b 的值; (II)求 sin C 的值.

1 . 4

32、已知 ?ABC 的周长为 4( 2 ? 1) ,且 sin B ? sin C ? (1)求边长 a 的值; (2)若 S ?ABC ? 3 sin A ,求 cos A 的值.

2 sin A .

33、在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

34、 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B. (1)求 cosB 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c 的值.

4

35、已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 ,

cos B ?

1 ;(1)求边 b 的值;(2)求 sin C 的值。 4

36、 在 ? ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ABC的周长为5,求b的长. 4
(I)求

37、 在 ? ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= ,b=2, ?ABC 的面积 S。 4
(I)求

38、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 a ? 2b sin A, c ? 3b (1)求 B 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a , b 的值

5

39、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a , b, c ,满足 a ? c ? 2b , 且 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 , (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 2 ,求△ABC 的面积。

40、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知:

a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B 。 (Ⅰ)B; (Ⅱ)若 A ? 75?, b ? 2 ,求△ABC
的面积

41、在△ABC 中,已知 a2+b2=c2+ab. (1)求角 C 的大小; 3 (2)又若 sin Asin B= ,判断△ABC 的形状. 4

42、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 3 且 S= (a2+b2-c2). 4 (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A+sin B 的最大值.

6

43、一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°相距 20 里处,随后货轮 按北偏西 30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东 45°,求货轮 的速度 (要求作图) (8 分)
王新敞
奎屯 新疆

44、如图,隔河看两目标 A、B,但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两 点,并测得∠ACB=750,∠BCD=450,∠ADC=300,∠ADB=450(A、B、C、D 在同一 平面),求两目标 AB 之间的距离。

45、 一海轮以 20n mile/h 的速度向正东航行,它在 A 点测得灯塔 P 在船的北偏东 600,2 个小时后船到达 B 点时,测得灯塔在船的北偏东 450,求 (1)船在 B 点时与灯塔 P 的距离. (2)已知以 P 为圆心,55n mile 的半径的圆形水域内有暗礁,那么船工继续向正东航 行,有无 触礁的危险.

46、在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船. 在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船,奉命以 10 3 海里/ 时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/时的速度,从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜.问:辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 ?并求出所需时间。 (12 分)
7

8


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