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高一数学教案正弦定理、余弦定理(2)


正弦定理、余弦定理(2)
教学目的: 1.掌握正弦定理、余弦定理; 2.使学生能初步运用它们解斜三角形,并会解决斜三角形的计算问题。 教学重点:正弦定理、余弦定理的运用。 教学难点:正弦定理、余弦定理的灵活运用 教学过程: 一、复习引入: 1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,且都等于其外 接圆的直径. 即
a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) s i An sin B sin C

2.正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角; 2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。
1 若 A 为锐角时: ○

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
?a ? b 无解 2 若 A 为直角或钝角时: ? ○ ?a ? b 一解 (锐角)

3.在 Rt△ABC 中(若 C=90?)有: c 2 ? a 2 ? b 2 余两边平方和及其夹角还有什么关系呢? 二、讲解新课:

在斜三角形中一边的平方与其

1.余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍。 即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。 三、讲解范例: 例 1 在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C. 例 2 在Δ ABC 中,已知 a=2.730,b=3.696,C=82°28′,解这个三角形. 例 3 Δ ABC 三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求 A. ? ? ? ? a 与 b 的夹角为? (0≤?≤?) 例 4 设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)
? ? 求证:x1x2+ y1y2=| a || b |cos?

四、课堂练习: 1.在△ABC 中,bcosA=acosB,则三角形为( A.直角三角形 B. C. ) D.等边三角形

2. 在 △ ABC 中 , 若 a2 > b2+c2 , 则 △ ABC 为 ; 若 a2=b2+c2 , 则 △ ABC 为 为 . . .
sin C 2 ? ( 6 ? 1) ,A= sin B 5

; 若 a2 < b2+c2 且 b2 < a2+c2 且 c2 < a2+b2 , 则 △ ABC

3.在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 4.在△ABC 中,BC=3,AB=2,且 五、作业:习题 5.9 6~9.



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